– Czy liczby są parzyste i nieparzyste tak same

z siebie, czy dopiero matematycy je tak podzielili? za-
pytała mnie Marta, gdy szliśmy groblą na bagnach
Puszczy Kampinoskiej. Było pogodne niedzielne popo-
łudnie, wracaliśmy z długiego spaceru. Opowiadałem
jej przedtem o swoich problemach w pracy ze studen-
tami i w ogóle trochę o matematyce. Niedzielny odpo-
czynek w lesie odprężył nas, z żalem stwierdziliśmy, że
za pół godziny będziemy już przy parkingu, gdzie zos-
tał samochód. Ale zanim zdążyłem odpowiedzieć, Mar-
ta kontynuowała: „ja myślę, że tak same z siebie, bo al-
bo coś jest po równo (i wtedy mamy liczby parzyste),
albo nierówno i wtedy wychodzi liczba nieparzysta”.

Zastanowiłem się, co odpowiedzieć. Czy zapre-

zentować się jako platonik, czy arystotelik? Być bar-
dziej Leibnizem czy Kartezjuszem? Postanowiłem za-
chować się, jak blondynka z dowcipu: „skąd mam
wiedzieć, co myślę, póki nie usłyszę, co mówię?”.

Zacząłem zatem opowiadać o liczbach, od Pita-

gorasa. Pitagorejczycy widzieli w liczbie 1 pierwotną
jedność, z której wszystko inne zostało stworzone,
2 było symbolem kobiecości, 3 – męskości. Liczba 4
oznaczała harmonię, ponieważ 2 jest parzyste i 4 =
= 2 × 2, a zatem 4 jest „parzyście parzyste”. Ta liczba
symbolizowała też cztery żywioły: ziemię, powietrze,
ogień i wodę, z których, jak sądzono, składało się
wszystko inne we Wszechświecie. Liczba 5, jako su-
ma męskiej 2 i kobiecej 3, przedstawiała małżeństwo.
Liczba 6 była symbolem zdrowia i była też liczbą
„doskonałą”, bo suma jej dzielników: 1, 2 i 3 wynosi 6.

Pitagorejczyków pociągała też liczba 10, bo ja-

ko 1 + 2 + 3 + 4, była ona ogarniającą wszystko mat-
ką, symbolem zupełności złożonej z pierwotnej jed-
ności, kobiecości, męskości i czterech żywiołów.
Wreszcie liczba 15: 5 (małżeństwo) + 10 (wszecho-
garniająca matka) była przepowiednią spokojnego,
szczęśliwego związku.

Już Arystoteles pisał, że wierzenia te były mie-

szaniną nauki, religii i naginania rzeczywistości do
swoich wydumanych teorii. Tym bardziej dziwi nas,
że to przecież pitagorejczykom zawdzięczamy pogląd,
który, rozwinięty potem przez setki myślicieli chrześ-
cijańskich, przez tysiące lat przyczyniał się do rozkwi-
tu Europy: powołaniem człowieka jest poznawanie
świata i boskiego w nim ładu.

* * *

Wydaje się, że na zdrowy rozsądek Marta miała

rację. Albo czegoś jest po równo, albo nie.

Sprawa nie jest bez znaczenia, jeżeli wdamy

się w filozofię, może niezbyt praktyczną, ale ciekawą.
Wszyscy wiemy, że „w przyrodzie” nie ma idealnych
linii prostych, idealnych kół i kwadratów. Że te figury,
które bada geometria, to jakieś doskonałe twory,
odarte z fizyczności, idealnie proste lub idealnie ok-
rągłe. Powstają w naszym, ludzkim umyśle i tam
mieszkają...

Skoro zgodzimy się, że tak właśnie jest z figura-

mi geometrycznymi, to musimy przyznać, że gdyby
nie było nas, ludzi, gdyby Ziemia była pusta jak
wszystkie inne planety, ..., to nie istniałyby linie pros-
te, kwadraty i koła. Po prostu by ich nie było.

Pójdźmy dalej. Gdyby ludzkość nie istniała, to

z tego samego powodu nie byłoby... liczb. Owszem,
istniałyby zbiorowości kamieni, planet i gwiazd, ale...
nikt by nie powiedział, nie pomyślał ani nie stworzył
w swoim umyśle p o j ę c i a liczby 3, 6, 2008, milion,
miliard, pi, pierwiastek z dwóch. Nie byłoby komu

m a t e m a t y k a

Michał Szurek tak mówi o sobie: „Urodzony w 1946.

Ukończyłem UW w 1968 r. i od tego czasu tam pracuję na
Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Specjalność
naukowa: geometria algebraiczna. Ostatnio zajmowałem
się wiązkami wektorowymi. Co to jest wiązka wektorowa?
No, trzeba wektory mocno powiązać sznurkiem i już mamy
wiązkę.
Do „Młodego Technika” zaciągnął mnie siłą kolega fizyk,
Antoni Sym (przyznaję, powinien mieć z tego powodu tan-
tiemy od moich honorariów autorskich). Napisałem kilka
artykułów, a potem zostałem i od 1978 roku co miesiąc
możecie Państwo czytać, co też myślę o matematyce.
Lubię góry i mimo nadwagi staram się chodzić. Uważam,
że najważniejsi są nauczyciele. Polityków, niezależnie od
opcji, jaką prezentują, trzymałbym w pilnie strzeżonym
miejscu, żeby nie mogli uciec. Karmił raz dziennie. Lubi
mnie jeden pies z Tulec, rasy beagle”.

Matematyk i polonistka

na spacerze w lesie

M i c h a ł S z u r e k

56

TEKST TRUDNY



myśleć o parzystości i nieparzystości... no i nikt by nie
spacerował po Puszczy Kampinoskiej. Szkoda.

Leszek Kołakowski pisze w eseju Matematyk

i mistyk:

„W samej rzeczy, jeśli Bóg jest bytem absolut-

nym, to również prawdy wieczne matematyki i logiki
albo musiały być przezeń arbitralnie zadekretowane,
albo też są z nim tożsame. Pozostawiam na boku tra-
dycyjne teologiczne pytanie – nader interesujące
zresztą – czy Bóg swobodnie stwarza prawdy mate-
matyczne – tak, iż gdyby zechciał, byłyby one inne niż
są – czy znajduje je niejako gotowe, jako reguły abso-
lutnie wiążące”.

Rzeczywiście, konsekwentne wyznawanie mo-

zolnie torującej sobie od średniowiecza zasady „dyk-
tatu rozumu” doprowadziło wielu filozofów do przeko-
nania, że nawet Bóg nie mógłby spowodować, by dwa
razy dwa dawało inny wynik niż cztery. Oto myśl Leib-
niza, w ujęciu Leszka Kołakowskiego O co nas pytają
wielcy filozofowie, seria 2, Znak, Kraków 2005.

„Prawdy [matematyczne] nie zostały przez Bo-

ga zadekretowane dowolnym jego nakazem, który
mógł był być inny, gdyby Bóg zechciał. Nie. Bóg nie
mógł sprawić, by liczba 3 pomnożona przez siebie nie
dała w wyniku liczby 9. Nie mógł też podać liczby od-
powiadającej dokładnie pierwiastkowi kwadratowe-
mu z liczby 2. To są cechy wpisane wiecznie w świat
liczb i Bóg sam nie może ich zmienić. Nie znaczy to,
że jest on w mocy jakiegoś innego prawodawstwa;
te prawdy są identyczne z nim samym, są, by tak
rzec, niezmiennym wyposażeniem tegoż ducha, nie
zaś tegoż ducha kaprysami”.

Jest to zatem dobry moment do zastanowienia

się nad dwoistością myślenia matematycznego i inte-
ligencji matematycznej. Z filozoficznego punktu wi-
dzenia matematycy są – formalnie – czystymi nomina-
listami. Zgodnie z tym poglądem filozoficznym, treści
wszelkiej wiedzy abstrakcyjnej nie mają innych odpo-
wiedników w rzeczywistości niż obiekty jednostko-
we. Rzecz wyczerpuje się w całości swoich cech, nie
istnieje „ogólna idea stołu”, a tylko poszczególne sto-

ły. Nawet David Hilbert (1862–1943) mówił o matema-
tyce jako grze, którą rozgrywamy na papierze, posłu-
gując się pozbawionymi znaczenia symbolami. Prze-
strzeń euklidesowa (czy raczej kartezjańska) R

n

jest

po prostu zbiorem ciągów n-elementowych o wyra-
zach rzeczywistych i niczym więcej. Możemy oczy-
wiście nakładać na tę przestrzeń dodatkowe struktu-
ry. Ale każdy matematyk „wie”, że mędrca szkiełko
i oko to trochę za mało nawet do badania wymyślo-
nych przestrzeni. Nawet dla własnego zdrowia psy-
chicznego musimy wierzyć, że badamy obiekty miesz-
kające w jakimś odległym świecie, ale jednak istnieją-
ce. Przypomina to znaną z teorii literatury koncepcję
„zawieszenia niewiary”. Leszek Kołakowski pisze:
„Wiedza tak zwana ścisła bardziej przypomina pod
tym względem technikę: matematyk, który może czy-
tać Hilberta, nie musi studiować Euklidesa (jakkol-
wiek należy sądzić, że trzeba studiować Euklidesa,
żeby być Hilbertem; prawdopodobnie na poziomie
bardzo syntetyzujących przedsięwzięć, gdzie współ-

działa mało uchwytny element humanistyczny, wie-
dza historyczna jest i tutaj potrzebna)”. C. Northcote
Parkinson pisał, że „nauki ścisłe nie dają człowiekowi
nic oprócz samej wiedzy”, zaś na łamach miesięczni-
ka „Delta” Marek Kordos ubolewa, że „stawiamy co-
raz wyraźniej mądrość poza obrębem nauki”. –
– Czy czytałaś Wahadło Foucalta Umberto Eco?
– Oczywiście – odpowiedziała Marta. – Czyżbyś za-
pomniał, że jestem polonistką?
– No tak. Ja za to czytałem dość wyrywkowo i powierz-
chownie. Zapamiętałem taki fragment, lubię literackie
opisy konstrukcji matematycznych. Nie zawsze są
udane, ten bardzo; może dlatego, że tłumacz, nieżyją-
cy już Adam Szymanowski, był matematykiem.

„I wtedy zobaczyłem Wahadło.
Ruchoma kula na końcu długiego sznura umo-

cowanego do sklepienia chóru z izochronicznym ma-

jestatem i rozmachem przemierzała swój szlak.

Wiedziałem – ale każdy wyczułby to z magii te-

go spokojnego oddechu – że okres zależy od ilorazu
pierwiastka kwadratowego z długości sznura i owej
liczby

π

, irracjonalnej dla przyziemnych umysłów, lecz

z boskiego nakazu wiążącej nieuchronnie we wszys-
tkich możliwych kołach obwód ze średnicą – tak że
czas wędrówki tej kuli od jednego do drugiego skraj-
nego wychylenia był skutkiem tajemnej zmowy mię-
dzy najbardziej ponadczasową z miar, jedynością
punktu zawieszenia, dualizmem abstrakcyjnego wy-
miaru, troistą naturą

π

, sekretnym tetragonem pier-

wiastka, doskonałością okręgu”.

– Ale jak naprawdę jest z tymi parzystymi i nie-

parzystymi – nie dawała spokoju Marta.

– Nie ma naprawdę. Matematyka bardzo znacz-

nie różni się od fizyki. Fizyka bada świat, ten, co za
oknem. Matematyka – swój własny. Ale z tego mate-
matycy zdali sobie sprawę stosunkowo niedawno.
Jeszcze Immanuel Kant (1726–1804) uważał, że twier-
dzenia geometryczne są prawdami o otaczającym nas

L i c z b a 6 b y ł a s y m b o l e m z d r o w i a i b y ł a t e ż l i c z b ą
„ d o s k o n a ł ą ” , b o s u m a j e j d z i e l n i k ó w : 1 , 2 i 3 w y n o s i 6 .

57

Wszyscy wiemy, że „w przyrodzie” nie ma idealnych linii prostych, idealnych

kół i kwadratów. Że te figury, które bada geometria, to jakieś doskonałe twory,

odarte z fizyczności, idealnie proste lub idealnie okrągłe. Powstają w naszym,

ludzkim umyśle i tam mieszkają...

świecie. Tymczasem są to tylko prawdy o świecie,
który mamy w naszym własnym, prywatnym kompu-
terze. Tym komputerze, który nazywa się „mózg”.
Filozofia chce porządkować nasze myśli, układać je
w systemy – no więc nic dziwnego, że porządkuje je
zupełnie różnie. Własny pokój możemy umeblować na
swój sposób, a nasz sąsiad czy nawet najlepszy przy-
jaciel – w zupełnie inny. Platon wierzył w istnienie
świata idei, Arystoteles nie.

Dalej, kontynuowałem opowieść, mało który

matematyk przyzna się sam do tego, że badając świa-
ty matematyczne, wnika właśnie w strukturę swojego
własnego umysłu. „Swojego” w tym samym sensie,
w jakim nasze są podarowane nam przedmioty. Mało
kto tak myśli na co dzień – ale sądzę, że prawie każdy
tak myśli, gdy ma chwilę refleksji nad sobą samym.
W Weselu Stanisława Wyspiańskiego Pan Młody za-
daje retoryczne pytanie: „my jeno znamy połowę o so-
bie – któż resztę wie?”. Zaś Carroll V. Newsom
(w książce Istota matematyki, tłum. Barbara Stanosz,
PWN, Warszawa 1967) pisze: „Matematyk powinien
odczuć potrzebę wyjaśnienia samego siebie, to jest
struktury własnego umysłu”. Przekonanie to wpisuje

się w ogólniejszą maksymę Cognosco te ipsum (poz-
naj samego siebie).

– Tak – odpowiedziała Marta –p ważne jest, by

być sobą. Ale, ale, czy wiesz, co o tym pisał Stanisław
Barańczak? Nie? To ci przypomnę, bo pamiętam jesz-
cze, jak narzekałeś, że trudno ci być sobą, mój mate-
matyku.

Już wkrótce wezmę się za siebie, wezmę
się w garść, zrobię porządek w szufladzie,
przemyślę wszystko do końca, zaplombuję zęby,
uzupełnię luki w wykształceniu, zacznę
gimnastykować się co rano, w słowniku
sprawdzę kilka słów, których znaczenie jest

dla mnie wciąż niejasne,

więcej spacerów z dziećmi, regularny
tryb życia, odpisywać na listy, pić mleko,
nie rozpraszać się, więcej pracy nad sobą,
w ogóle być sobą, być wreszcie bardziej sobą,
ale właściwie jak to zrobić, skoro już,
i od tak dawna, tak bardzo nim jestem

Stanisław Barańczak, Już wkrótce

m a t e m a t y k a

BEST Engineering Competition to Ogólnopolski Konkurs Inżynierski,
organizowany na 5 uczelniach technicznych w Polsce:

Politechnice Łódzkiej, Politechnice Gdańskiej, Politechnice Śląskiej, Politechnice
Warszawskiej, Akademii Górniczo-Hutniczej

Konkurs składa się z 3 etapów: testu kwalifikacyjnego, eliminacji i Wielkiego Finału w Gdańsku.

Eliminacje: 22 IV 2008 roku w 5 miastach Polski.
Finał: 27 V 2008 roku w Gdańsku

Test kwalifikacyjny to pytania o podstawowe prawa fizyczne np. związane z mechaniką, jak i pytania wymaga-
jące od uczestników kreatywności np. Jesteś na bezludnej wyspie, masz scyzoryk. Co z nim zrobisz? :)
Eliminacje odbywają się tego samego dnia na wszystkich pięciu uczelniach. Studenci staną przed zadaniem
skonstruowania prostej maszyny, urządzenia z elementów, które zaproponują organizatorzy. Tymi elementami
mogą być np. przewody, diody, deski, karton, gwoździe, taśmy itp. Skonstru-
owane urządzenie będzie musiało spełniać określone warunki zadane w treści
zadania. Uczestnicy zatem będą musieli się wykazać znajomością fizyki czy me-
chaniki, jak i inżynierskimi zdolnościami. Nie zaszkodzi też trochę kreatywności.
Finał Konkursu odbywa się w Gdańsku. Tam czeka na zwycięzców drugiego eta-
pu nowe zadanie konstruktorskie, trudniejsze i zupełnie niezwiązane z zadaniem
z eliminacji.

Pokaż na co Cię stać!

ttp://www.bec.best.org.pl/

58