metody obliczeniowep1 10

background image

Metody obliczeniowe

Semestr II

Metody numeryczne - sposoby rozwiązania
zadania matematycznego za pomocą operacji
na liczbach

1.

Rozwiązywanie układów równań liniowych. Metody bezpośrednie i iteracyjne.

2.

Sposoby rozwiązywania równań nieliniowych, zagadnienie optymalizacji.

3.

Aproksymacja i interpolacja, pojęcie modelu regresji.

4.

Wzory przybliżonego różniczkowania i całkowania.

5.

Metoda Monte Carlo.

6.

Przykłady zastosowania metod obliczeniowych w zadaniach inżynierskich.

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 2

Literatura

A.

Bjorck, G. Dahlquist

,

Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1983.

Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski

,

Metody numeryczne, WNT, Warszawa 2005.

J. Stoer, R. Bulirsch

,

Wstęp do metod numerycznych I-II, PWN 1990

S. Rosłaniec

,

Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach
in
żynierskich, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2002.

A. Brozi

,

Scilab, Nakom 2007

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 3

http://www.put.poznan.pl/~albert.kubzdela

http://www.ikb.poznan.pl/zaklady/komp/

Portale internetowe

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 4

wykład nr 1

– metody rozwiązywania układów równań

liniowych

Metody obliczeniowe

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 5

Poj

ę

cie układu równa

ń

liniowych

Układ powyższy nazywamy

układem m równań liniowych o n niewiadomych

.

Skalary a

i, j

nazywamy

współczynnikami układu

, skalary b

i

to

wyrazy wolne

.

Rozwiązaniem układu

nazywamy dowolną n-kę (r

1

, r

2

, ..., r

n

), które po

podstawieniu w miejsce x

i

do powyższych równań dają równości prawdziwe



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

(sprawdzenie poprawności rozwiązania – podstawienie n-ki (r

1

, r

2

, ..., r

n

) do lewych

stron równań i porównanie z wyrazami wolnymi).

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 6

przykład układu dwóch równań z trzema niewiadomymi:

=

=

+

+

4

2

2

2

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

Przykład układu równa

ń

Odpowiednio:

a

1,1

= 2, a

1,2

= 1, a

1,3

= 1, a

2,1

= 0, a

2,2

= 1, a

2,3

= -2;

– wyrazami wolnymi są liczby 2 i -4.

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, jednym z nich

jest trójka:

x

1

= 0, x

2

= 0, x

3

= 2.

=

4

2

2

1

0

1

1

2

3

2

1

x

x

x

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 7

Postać równania
macierzowego:

b

x

A

b

b

b

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

m

n

mn

m

m

n

n

=

=

]

[

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

L

L

L

L

L

L

L

L

L

Zapis macierzowy układu równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 8

Postać równania
macierzowego:

b

x

A

b

b

b

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

m

n

mn

m

m

n

n

=

=

]

[

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

L

L

L

L

L

L

L

L

L

=

m

mn

m

m

n

n

rozszerz

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

.

L

L

L

L

L

L

L

Z danym układem równań związane są dwie ważne macierze.

=

mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

L

L

L

L

L

L

L

2

1

2

22

21

1

12

11

macierz główna układu równań

(macierz współczynników):

macierz rozszerzona

(powstaje z macierzy głównej przez
dołączenie do niej kolumny wyrazów
wolnych:

Zapis macierzowy układu równa

ń

liniowych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 9

Rzędem macierzy

A (rank(A), rz(A) ) nazywamy największą liczbę

liniowo niezależnych wektorów kolumnowych w macierzy A.

Istnienie rozwi

ą

zania układu równa

ń

Rz

ą

d macierzy

2

)

(

3

)

(

2

1

1

1

1

0

3

1

2

,

1

1

1

2

1

0

1

1

2

=

=

=

=

B

rank

A

rank

B

A

Skończony układ wektorów

{w

1

,...,w

n

}

nazywamy układem liniowo niezależnym,

gdy

a

1

w

1

+ ... +a

n

w

n

≠≠≠≠

0

jeśli skalary

a

1

,...,a

n

nie wszystkie są równe zero

=

+

2

1

3

1

1

1

1

0

2

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 10

Sprawę rozwiązalności układu równań wyjaśnia Twierdzenie

Kroneckera-Capellego:

Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,

gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy
rozszerzonej.

Istnienie rozwi

ą

zania układu równa

ń

Rz

ą

d macierzy

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 11

• układ równań posiadający rozwiązanie:



=

+

+

=

=

+

+

2

4

2

2

2

3

2

1

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

[

]

[

]

T

T

2

4

2

1

2

1

*

2

=

Rz

ą

d macierzy - przykłady

3

)

(

3

)

(

2

4

2

1

1

1

2

1

0

1

1

2

,

1

1

1

2

1

0

1

1

2

=

=

=

=

a

rozszerzon

a

rozszerzon

A

rank

A

rank

A

A

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 12

• układ równań posiadający rozwiązanie:



=

+

+

=

=

+

+

2

4

2

2

2

3

2

1

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

2

)

(

1

)

(

5

2

2

4

1

2

,

2

4

1

2

=

=

=

=

a

rozszerzon

a

rozszerzon

A

rank

A

rank

A

A

[

]

[

]

T

T

2

4

2

1

2

1

*

2

=

Rz

ą

d macierzy - przykłady

• układ równań nie posiadający rozwiązania:

=

+

=

+

5

2

4

2

2

2

1

2

1

x

x

x

x

3

)

(

3

)

(

2

4

2

1

1

1

2

1

0

1

1

2

,

1

1

1

2

1

0

1

1

2

=

=

=

=

a

rozszerzon

a

rozszerzon

A

rank

A

rank

A

A

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 13

• Układ jednorodny

Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe 0, to układ równań nazywamy

jednorodnym

. Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie.



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

0

det

,

]

[

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

=

=

A

b

x

A

b

b

b

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

L

L

L

L

L

L

L

L

L

Typy układów równa

ń

liniowych

• Układ kwadratowy

Jeżeli n = m układ równań nazywamy kwadratowym

.

rank(A) < rank ([A,b])

brak rozwiązania;

rank(A) = rank ([A,b]) < n

nieskończenie wiele rozwiązań;

rank(A) = rank ([A,b]) = n

dokładnie jedno rozwiązanie

.

(

wówczas wyznacznik macierzy A jest różny od zera)

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 14

Metody rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

20

,...,

3

,

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

L

L

L

L

=

+

=

+

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a



=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

,...

20

,

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

L

L

L

L

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 15

bezpośrednie

(dokładne)

– metody które przy braku błędów zaokrągleń dają dokładne rozwiązanie po

skończonej liczbie przekształceń układu wejściowego

• duża efektywność dla układów o

macierzach pełnych

• duże obciążenie pamięci

• możliwa niestabilność ze względu na błędy zaokrągleń

iteracyjne

– polegają na konstrukcji nieskończonego ciągu wektorów, zbieżnych do

szukanego rozwiązania,

x

(0)

x

(1)

x

(2)

...

• efektywne dla

macierzy rzadkich

, dużych rozmiarów

• stosunkowo nieduże obciążenie pamięci

• problemy ze zbieżnością

Metody rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 16

Przy użyciu macierzy odwrotnej

Wzory Cramera

Układ równań z macierzą trójkątną

Eliminacja Gaussa

Rozkłady trójkątne macierzy

Metoda sprzężonych gradientów

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 17

Przy użyciu macierzy odwrotnej

Metody bezpo

ś

rednie

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 18

Przy użyciu macierzy odwrotnej

– Układ równań A · x =b, znając macierz odwrotną można

rozwiązać:

A · x = b

A

-1

·A · x = A

-1

· b

x = A

-1

· b

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

x = inv(A) * b

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 19

Metody bezpo

ś

rednie – wykorzystanie macierzy odwrotnej

Przykład (wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego MS Excel)

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 20

Metody bezpo

ś

rednie – wykorzystanie macierzy odwrotnej

Przykład (wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego MS Excel)

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 21

Metody bezpo

ś

rednie – wykorzystanie macierzy odwrotnej

Przykład (wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego MS Excel)

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 22

Wzory Cramera

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 23

Gustaw Kramer ?

Wzory Cramera

Gabriel Cramer
1704-1752

Wybrane fakty z życiorysu

1722 – uzyskuje doktorat,
1724 – obejmuje katedrę matematyki w Genewie,
1727 – 1729 – odbywa dwuletnią podróż po Europie

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 24

Wzory Cramera

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 25

– Układ równań A · x =b o macierzy nieosobliwej A ma dokładnie

jedno rozwiązanie postaci

– macierz A

k

powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny

przez wektor b

– Cechy metody

• oszczędność pamięci

• bardzo duży nakład obliczeń (w praktyce nie do zastosowania dla

dużych układów równań)

n

k

A

A

x

k

k

,...,

1

)

det(

)

det(

=

=

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

Wzory Cramera

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 26

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 27

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

l x

b

l x

l x

b

l

x

l

x

l

x

b

l x

l x

l

x

l x

b

n

n

n

n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

1

21 1

22 2

2

1 1 1

1 2 2

1

1

1

1

1 1

2 2

1

1

=
+

=

+

+ +

=

+

+ +

+

=



...

...

...

,

,

,

,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 28

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

l x

b

l x

l x

b

l

x

l

x

l

x

b

l x

l x

l

x

l x

b

n

n

n

n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

1

21 1

22 2

2

1 1 1

1 2 2

1

1

1

1

1 1

2 2

1

1

=
+

=

+

+ +

=

+

+ +

+

=



...

...

...

,

,

,

,

x

b

u

x

u

b

u x

i

n

n

n

n

nn

i

ii

i

ij

j

j i

n

=

=



= −

= +

1

1

2

1

1

,

,...,

x

b

l

x

l

b

l x

i

n

i

ii

i

ij

j

j

i

1

1

11

1

1

1

2 3

=

=



=

=

, ,...,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 29

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

x

b

u

x

u

b

u x

i

n

n

n

n

nn

i

ii

i

ij

j

j i

n

=

=



= −

= +

1

1

2

1

1

,

,...,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

x(n)= b(n)/u(n,n)

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 30

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

x

b

u

x

u

b

u x

i

n

n

n

n

nn

i

ii

i

ij

j

j i

n

=

=



= −

= +

1

1

2

1

1

,

,...,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

x(n)= b(n)/u(n,n)

for i=[n-1:-1:1]

x(i)= b(i)

end

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 31

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

x

b

u

x

u

b

u x

i

n

n

n

n

nn

i

ii

i

ij

j

j i

n

=

=



= −

= +

1

1

2

1

1

,

,...,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

x(n)= b(n)/u(n,n)

for i=[n-1:-1:1]

x(i)= b(i)

for j=[i+1:n]

x(i)=x(i)-u(i,j)*x(j)

end

end

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 32

układ równań z macierzą trójkątną

– metoda rozwiązania – podstawianie wstecz (wprzód)

u x

u x

u

x

u x

b

u x

u

x

u x

b

u

x

u

x

b

u x

b

n

n

n n

n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

nn n

n

11 1

12 2

1

1

1

1

1

22 2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

+

+ +

+

=

+ +

+

=

+

=
=



...

...

...

,

,

,

,

x

b

u

x

u

b

u x

i

n

n

n

n

nn

i

ii

i

ij

j

j i

n

=

=



= −

= +

1

1

2

1

1

,

,...,

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

x(n)= b(n)/u(n,n)

for i=[n-1:-1:1]

x(i)= b(i)

for j=[i+1:n]

x(i)=x(i)-u(i,j)*x(j)

end

x(i)=x(i)/u(i,i)

end

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 33

Eliminacja Gaussa

Metody bezpo

ś

rednie – sposoby rozwi

ą

za

ń

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 34

Carl Friedrich Gauss 1777-1855

matematyk, fizyk, astronom, geodeta

jedno z pierwszych odkryć:

podanie konstrukcji siedemnastokąta foremnego przy użyciu cyrkla i linijki

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 35

• sprowadzenie układu do równoważnego układu

postaci trójkątnej –

eliminacja zmiennych

• rozwiązanie układu trójkątnego –

postępowanie

odwrotne



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

( )

( )

( )

( )

( )

( )



=

=

+

+

+

=

+

+

+

+

1

1

1

2

1

2

3

1

23

2

1

22

1

3

13

2

12

1

11

...

...

...

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

b

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 36

=

7

9

0

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

4

3

2

1

x

x

x

x

7

9

0

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

Układ równań zapisujemy w postaci macierzy rozszerzonej układu

Eliminacja Gaussa - przykład

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 37

Eliminacja Gaussa - przykład

7

9

0

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5

2

2

2

1

2

0

4

3

1

0

2

2

2

0

1

1

1

1

I krok

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 38

Eliminacja Gaussa - przykład

7

9

0

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5

2

2

2

1

2

0

4

3

1

0

2

2

2

0

1

1

1

1

I krok

( )

( )

4

,...,

1

4

,...,

2

1

11

1

1

1

11

1

1

=

=

=

=

j

i

b

a

a

b

b

a

a

a

a

a

i

i

i

j

i

ij

ij

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 39

Eliminacja Gaussa - przykład

7

9

0

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5

2

2

2

1

2

0

4

3

1

0

2

2

2

0

1

1

1

1

I krok

3

6

2

2

0

1

0

0

3

2

0

0

2

2

2

0

1

1

1

1

1

5

2

2

2

1

2

0

4

3

1

0

2

2

2

0

1

1

1

1

II krok

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 40

Eliminacja Gaussa - przykład

7

9

0

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5

2

2

2

1

2

0

4

3

1

0

2

2

2

0

1

1

1

1

I krok

3

6

2

2

0

1

0

0

3

2

0

0

2

2

2

0

1

1

1

1

1

5

2

2

2

1

2

0

4

3

1

0

2

2

2

0

1

1

1

1

II krok

III krok

3

6

2

2

0

1

0

0

3

2

0

0

2

2

2

0

1

1

1

1

6

6

2

2

5

.

1

0

0

0

3

2

0

0

2

2

2

0

1

1

1

1

Wykonując postępowanie odwrotne, znajdujemy rozwiązanie x = [1, 2, 3, 4]

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 41

1.

Eliminacja zmiennych

Krok 1

Zakładamy, że

z pozostałych n-1 równań eliminujemy zmienną x

1

odejmując od i-tego równania (i=2,3,...,n)

równanie pierwsze

pomnożone przez

0

11

a

11

1

1

a

a

l

i

i

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a x

a x

a x

b

a x

a x

b

a x

a x

b

a

a

a

a

a

b

b

a

a

b

n n

n

n

n

nn

n

n

ij

ij

i

j

i

i

i

11 1

12 2

1

1

22

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

11

1

1

1

11

1

+

+ +

=

+ +

=

+ +

=

=

= −

...

...

...

...

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 42

1.

Eliminacja zmiennych

Krok 1

Zakładamy, że

z pozostałych n-1 równań eliminujemy zmienną x

1

odejmując od i-tego równania (i=2,3,...,n)

równanie pierwsze

pomnożone przez

Krok k-ty Zakładamy, że

z równań n-k eliminujemy zmienną x

k

odejmując od i-tego równania (i=k+1,...,n) równanie k-te

pomnożone przez

0

11

a

11

1

1

a

a

l

i

i

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a x

a x

a x

b

a x

a x

b

a x

a x

b

a

a

a

a

a

b

b

a

a

b

n n

n

n

n

nn

n

n

ij

ij

i

j

i

i

i

11 1

12 2

1

1

22

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

11

1

1

1

11

1

+

+ +

=

+ +

=

+ +

=

=

= −

...

...

...

...

0

)

(

i

ii

a



=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

)

(

)

(

1

)

(

1

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

2

1

)

1

(

1

2

)

1

(

2

2

)

1

(

22

1

1

1

1

1

1

2

12

1

11

...

.....

..........

..........

...

.....

..........

..........

...

...

...

...

k

n

n

k

nn

k

k

nk

k

k

n

k

kn

k

k

kk

k

k

kk

n

n

k

k

k

k

n

n

k

k

k

k

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

)

1

(

)

1

(

=

k

kk

k

ik

ik

a

a

l

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

( )

( )

( )
( )

( )

( )

( )

( )
( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

=

=

k

k

k

kk

k

ik

k

i

k

i

k

kj

k

kk

k

ik

k

ij

k

ij

b

a

a

b

b

a

a

a

a

a

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 43

1.

Eliminacja zmiennych (c.d.)

Po n-1 krokach ostatecznie otrzymujemy kład równań postaci:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )



=

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

1

1

2

3

2

3

3

2

33

1

2

1

2

3

1

23

2

1

22

1

1

3

13

2

12

1

11

...

...

...

...

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 44

1.

Eliminacja zmiennych (c.d.)

Po n-1 krokach ostatecznie otrzymujemy kład równań postaci:

2.

Postępowanie odwrotne

Rozwiązanie układu równań o trójkątnej macierzy współczynników

zakładając, że

, rozwiązanie dla i = n,...,1 otrzymuje się wg

wzorów:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )



=

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

1

1

2

3

2

3

3

2

33

1

2

1

2

3

1

23

2

1

22

1

1

3

13

2

12

1

11

...

...

...

...

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

0

)

1

(

i

ii

a

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

+

=

=

i

ii

n

i

j

j

i

ij

i

i

i

a

x

a

b

x

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 45

rozważmy układ równań

macierz układu jest nieosobliwa, więc istnieje jednoznaczne
rozwiązanie, ale ...

=

+

=

+

=

+

2

3

3

3

1

2

2

3

1

2

1

3

2

x

x

x

x

x

x

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 46

rozważmy układ równań

macierz układu jest nieosobliwa, więc istnieje jednoznaczne
rozwiązanie, ale ...

stosując eliminację Gaussa, obliczenia zostaną przerwane w kroku

k = 1 gdyż a

11

=0.

=

+

=

+

=

+

2

3

3

3

1

2

2

3

1

2

1

3

2

x

x

x

x

x

x

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 47

rozważmy układ równań

macierz układu jest nieosobliwa, więc istnieje jednoznaczne
rozwiązanie, ale ...

stosując eliminację Gaussa, obliczenia zostaną przerwane w kroku

k = 1 gdyż a

11

=0.

zmiana kolejności wierszy nie zmienia rozwiązania układu

=

+

=

+

=

+

2

3

3

3

1

2

2

3

1

2

1

3

2

x

x

x

x

x

x

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 48

rozważmy układ równań

macierz układu jest nieosobliwa, więc istnieje jednoznaczne
rozwiązanie, ale ...

stosując eliminację Gaussa, obliczenia zostaną przerwane w kroku

k = 1 gdyż a

11

=0.

zmiana kolejności wierszy nie zmienia rozwiązania układu

Eliminację można przeprowadzić bez przestawiania wierszy bądź
kolumn gdy macierz A jest macierzą:

z dominującą przekątną główną,

tzn.

lub

symetryczna i dodatnio określoną

tzn. A

T

= A i x

T

A x > 0 dla każdego

niezerowego wektora x

=

+

=

+

=

+

2

3

3

3

1

2

2

3

1

2

1

3

2

x

x

x

x

x

x

=

=

n

i

j

j

ij

ii

n

j

i

a

a

1

,...,

1

,

|

|

|

|

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 49

Elementem podstawowym (głównym)

nazywamy ten element

macierzy A, za pomocą którego dokonujemy eliminacji zmiennej z
dalszych równań

Strategie wyboru elementu podstawowego

:

– wybór częściowy

– wybór pełny

• Strategia z częściowym wyborem elementu podstawowego (metoda Gaussa-

Crouta) jest metodą niezawodną, tzn. zakładając brak błędów obliczeń, nie
nastąpi zatrzymanie procesu obliczeń z powodu dzielenia przez zero, w
przypadku gdy istnieje jednoznaczne rozwiązanie układu

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 50

wybiera się k jako najmniejszą

liczbę całkowitą dla której

i przestawia się wiersze k-ty oraz

j-ty

j

j

k

a

a

kj

i

j j

n

ij

=

=

+

max

,

,...,

1

a

a

kj

i

j j

n

ij

=

=

+

max

,

,...,

1

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór cz

ęś

ciowy elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 51

wybiera się k i l jako najmniejsze

liczby całkowite dla których

i przestawia się wiersze k-ty i m-ty

oraz kolumny l-tą i m-tą,

m

m

k

l

a

a

kl

i j m m

n

ij

=

=

+

max

.

,

,...,

1

a

a

kl

i j m m

n

ij

=

=

+

max

.

,

,...,

1

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

wybór pełny elementu podstawowego

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 52

w k-tym kroku, dla i = k+1, k+2, ..., n (wiersze) mamy

( )

( )

k

k

kk

k

ik

k

i

k

k

i

kj

k

kk

k

ik

k

k

ij

k

ij

b

a

a

b

b

n

k

k

j

a

a

a

a

a

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

,...,

1

,

,...

=

+

=

=

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 53

w k-tym kroku, dla i = k+1, k+2, ..., n (wiersze) mamy

( )

( )

k

k

kk

k

ik

k

i

k

k

i

kj

k

kk

k

ik

k

k

ij

k

ij

b

a

a

b

b

n

k

k

j

a

a

a

a

a

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

,...,

1

,

,...

=

+

=

=

for k= 1:n-1

end

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 54

w k-tym kroku, dla i = k+1, k+2, ..., n (wiersze) mamy

( )

( )

k

k

kk

k

ik

k

i

k

k

i

kj

k

kk

k

ik

k

k

ij

k

ij

b

a

a

b

b

n

k

k

j

a

a

a

a

a

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

,...,

1

,

,...

=

+

=

=

for k= 1:n-1

for i= k+1:n

end

end

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 55

w k-tym kroku, dla i = k+1, k+2, ..., n (wiersze) mamy

( )

( )

k

k

kk

k

ik

k

i

k

k

i

kj

k

kk

k

ik

k

k

ij

k

ij

b

a

a

b

b

n

k

k

j

a

a

a

a

a

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

,...,

1

,

,...

=

+

=

=

for k= 1:n-1

for i= k+1:n

b(i)= b(i)- a(i,k)*b(k)/ a(k,k)

end

end

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 56

w k-tym kroku, dla i = k+1, k+2, ..., n (wiersze) mamy

( )

( )

k

k

kk

k

ik

k

i

k

k

i

kj

k

kk

k

ik

k

k

ij

k

ij

b

a

a

b

b

n

k

k

j

a

a

a

a

a

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

,...,

1

,

,...

=

+

=

=

for k= 1:n-1

for i= k+1:n

for j= k:n

a(i,j)= a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)/a(k,k)

end

b(i)= b(i)- a(i,k)*b(k)/ a(k,k)

end

end

Zadanie: uzupełnij kod programu o wybór częściowy elementu
podstawowego

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 57

• Odmiana eliminacji Gaussa

– Wiersze są normalizowane poprzez dzielenie przez element główny

– Kolejna zmienna jest eliminowana z wszystkich równań, a nie tylko z

następnych

– Po n krokach eliminacji

otrzymuje się macierz jednostkową

, czego

efektem jest uzyskanie rozwiązania w wektorze prawych stron

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

...

..

..........

..........

..........

..........

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

)

0

(

1

)

0

(

1

2

)

0

(

12

1

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

2

)

1

(

22

)

1

(

1

)

1

(

1

2

)

1

(

12

1

...

........

..........

..........

...

...

n

n

nn

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

)

2

(

)

2

(

3

)

2

(

3

)

2

(

2

)

2

(

2

3

)

2

(

23

2

)

2

(

1

)

2

(

1

3

)

2

(

13

1

........

..........

..........

n

n

nn

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

b

x

a

x

a

x

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

K

K

K

)

1

(

)

1

(

2

2

)

1

(

1

1

.........

..........

..........

=

=

=

n

n

n

n

n

b

x

b

x

b

x

Metody bezpo

ś

rednie – Eliminacja Gaussa-Jordana

Zadanie: zapisz kod programu (wykorzystując instrukcję for) realizujący metodę

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 58

rozwiązanie układu równań

A x = b :

– jeśli istnieje rozkład trójkątny

A = LU

to:

LU x = b,

U x = y,

L y = b.

Twierdzenie:

Niech A będzie macierzą

n x n

. Niech A

k

oznacza macierz

k x k

utworzoną z

elementów początkowych k wierszy i kolumn macierzy A. Jeśli det(A

k

)

0 dla

k=1,...,n-1

to istnieje jedyny rozkład A=LU taki, że

macierz L jest macierzą

trójkątną dolną

z elementami na głównej przekątnej

równymi 1,

macierz U jest macierzą

trójkątną górną

.

Metody bezpo

ś

rednie – Rozkład trójk

ą

tny

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 59

zapamiętując rozkład LU możemy szybko rozwiązać wiele układów
różniących się wektorem b

Inne zastosowania rozkładu trójkątnego macierzy:

obliczanie wyznacznika macierzy A

– det(A)=det(LU)=det(L)det(U)=det(U)

wyznaczanie macierzy odwrotnej do A

– A

-1

= (LU)

-1

= U

-1

L

-1

(odwrotności macierzy trójkątnych oblicza się łatwo)

Metody bezpo

ś

rednie – Rozkład trójk

ą

tny

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 60

metoda Doolitle’a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

l

l

l

u

u

u

u

u

u

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

nn

11

12

1

21

22

2

1

2

21

1

2

11

21

1

22

2

1

1

1

K

K

M

M

O

M

K

M

M

O

K

K

K

O

M

=

n

i

i

j

u

u

l

a

l

n

i

i

j

u

l

a

u

n

i

ii

i

k

ki

jk

ji

ji

i

k

kj

ik

ij

ij

,...,

2

,

1

,

/

,...,

1

,

,

,...,

1

1

1

1

1

+

+

=

=

+

=

=

=

=

=

Metody bezpo

ś

rednie – Rozkład trójk

ą

tny

A = L U

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 61

metoda Crouta

– macierz U posiada jedynki na przekątnej głównej

n

j

j

k

l

u

l

a

u

n

j

j

i

u

l

a

l

n

j

jj

j

i

ik

ji

jk

jk

j

k

kj

ik

ij

ij

,...,

2

,

1

,

/

,...,

1

,

,

,...,

1

1

1

1

1

+

+

=





=

+

=

=

=

=

=

=

1

1

1

2

1

21

2

1

22

21

11

2

1

2

22

21

1

12

11

M

O

K

K

K

O

M

M

K

M

O

M

M

K

K

n

n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

u

u

u

l

l

l

l

l

l

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Metody bezpo

ś

rednie – Rozkład trójk

ą

tny

A = L U

Zadanie: zapisz kod programu (funkcję SciLaba) realizujący metodę Crouta –

WE: macierz A, WY: macierze L, U

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 62

Przykład zastosowania metody Doolitle’a

=

?

]

0

[

?

?

?

?

?

1

?

?

1

?

]

0

[

1

1

1

3

2

1

2

1

1

1

n

i

i

j

u

u

l

a

l

n

i

i

j

u

l

a

u

n

i

ii

i

k

ki

jk

ji

ji

i

k

kj

ik

ij

ij

,...,

2

,

1

,

/

,...,

1

,

,

,...,

1

1

1

1

1

+

+

=

=

+

=

=

=

=

=

=

2

]

0

[

0

1

1

1

1

1

2

3

1

2

]

0

[

1

1

1

3

2

1

2

1

1

1

Metody bezpo

ś

rednie – Rozkład trójk

ą

tny

A = L U

2

2

,

3

0

1

2

,

23

32

13

31

33

33

22

12

31

32

32

11

31

31

13

21

23

23

12

21

22

22

21

21

?

1

?

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

u

l

u

l

a

u

u

u

l

a

l

u

a

l

u

l

a

u

u

l

a

u

a

l

a

u

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 63

Przykład zastosowania metody Doolitle’a

=

?

]

0

[

?

?

?

?

?

1

?

?

1

?

]

0

[

1

1

1

3

2

1

2

1

1

1

n

i

i

j

u

u

l

a

l

n

i

i

j

u

l

a

u

n

i

ii

i

k

ki

jk

ji

ji

i

k

kj

ik

ij

ij

,...,

2

,

1

,

/

,...,

1

,

,

,...,

1

1

1

1

1

+

+

=

=

+

=

=

=

=

=

2

2

,

3

0

1

2

,

23

32

13

31

33

33

22

12

31

32

32

11

31

31

13

21

23

23

12

21

22

22

21

21

?

1

?

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

u

l

u

l

a

u

u

u

l

a

l

u

a

l

u

l

a

u

u

l

a

u

a

l

a

u

=

2

]

0

[

0

1

1

1

1

1

2

3

1

2

]

0

[

1

1

1

3

2

1

2

1

1

1

Metody bezpo

ś

rednie – Rozkład trójk

ą

tny

A = L U

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 64

• A – macierz symetryczna, dodatnio określona

rozkład Cholesky’ego

A = L L

T

• A –macierz symetryczna

jednoznaczny rozkład

A = L D L

T

D – macierz diagonalna

n

j

j

i

n

j

l

l

a

l

l

l

a

l

j

k

ik

jk

ij

jj

ij

j

k

jk

jj

jj

,...,

2

,

1

,...,

2

,

1

,

)

(

1

,

1

1

1

1

2

+

+

=

=

=

=

=

=

Układy równa

ń

z macierzami specjalnymi

Zadanie: zapisz kod programu (funkcję SciLaba, przy użyciu instrukcji
for) realizuj
ący rozkład Cholesky’ego, WE: macierz A, WY: macierz L

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 65

Ax = b – układ równań

otrzymane przybliżone rozwiązanie x

0

jeśli rozwiązanie jest rozwiązaniem dokładnym to

Ax – b = [0]

jeśli nie jest rozwiązaniem dokładnym to obliczamy
wektor residuum

r

0

= b – Ax

0

≠≠≠≠

[0]

Jak dobrym przybliżeniem rozwiązania dokładnego jest

wektor x

0

?

Układy równa

ń

– analiza rozwi

ą

za

ń

przybli

ż

onych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 66

x, y – liczby rzeczywiste

– odległość d=|x – y|

x=(x

1

,x

2

), y =(y

1

,y

2

), – punkty w przestrzeni 2D

– odległość

2

2

1

2

2

1

)

(

)

(

y

y

x

x

d

+

=

Norma – mierzenie odległo

ś

ci

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 67

x, y – liczby rzeczywiste

– odległość

d=|x – y|

x=(x

1

,x

2

), y =(y

1

,y

2

), – punkty w przestrzeni 2D

– odległość

2

2

1

2

2

1

)

(

)

(

y

y

x

x

d

+

=

Norma – mierzenie odległo

ś

ci

Norma

– nieujemna funkcja rzeczywistą ||.||: X

R, spełniającą

następujące warunki

:

1.

||x|| = 0

wtedy i tylko wtedy gdy

x = 0

2.

||ax|| = |a|*||x||

dla każdej liczby rzeczywistej

a

R

3.

||x + y||

≤≤≤≤

||x|| + ||y||

(tzw. nierówność trójkąta).

(odległość elementu przestrzeni liniowej od punktu 0)

Odległość dwóch elementów przestrzeni liniowej

x, y

d = || x-y ||

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 68

w przestrzeni R

n

,

x =(x

1

,x

2

,..., x

n

)

R

n

:

przestrzeni ciągów

x =(x

n

)

n

p

n

i

p

i

p

n

i

i

n

i

i

i

n

i

x

x

x

x

x

x

x

x

/

1

1

1

2

2

1

1

,...,

1

)

(

||

||

,

||

||

|

|

||

||

|

|

max

||

||

=

=

=

=

=

=

=

=

|,

|

sup

||

||

,...

2

,

1

i

i

x

x

=

=

Norma – przykłady

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 69

macierzowe ( A

nm

-macierz kwadratowa n=m)

∑∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

n

i

n

j

ij

ij

n

j

n

i

n

j

ij

n

i

a

A

a

A

a

A

1

1

2

2

,...,

1

,...,

1

1

,...,

1

||

||

|

|

max

||

||

,|

|

max

||

||

=

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

2

1

2

22

21

1

12

11

Norma – przykłady

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 70

w przestrzeni funkcji C[a,b]

f, g

C[a,b]

ε

<

=

=

||

||

|

)

(

|

||

||

|,

)

(

|

sup

||

||

]

,

[

2

2

]

,

[

g

f

dx

x

f

f

x

f

f

b

a

b

a

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.8

0.2

1.2

2.2

3.2

4.2

5.2

funkc ja f

funkc ja g

Norma – przykłady

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 71

norma macierzowa

x : wektor lub macierz (rzeczywiste lub zespolone)

flag : rodzaj normy (domyślnie =2)

Opis (macierze)

norm(x): norm(x,2) : największa wartość bezwzględna elementu macierzy

norm(x,1): największa suma kolumny

norm(x,'inf'),norm(x,%inf): największa suma wiersza

wektory

norm(v,p): || . ||

p

norm(v): || . ||

2

norm(v,'inf'): norma supremalna

Norma – mierzenie odległo

ś

ci

[y]=norm(x [,flag])

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 72

Norma – przestrze

ń

unormowana

Przestrze

ń

liniowa w której zdefiniowano norm

ę

= przestrze

ń

unormowana

Stefan Banach

Hugo Steinhaus

Władysław Orlicz

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 73

Ax = b – układ równań

otrzymane przybliżone rozwiązanie x

0

jeśli rozwiązanie jest rozwiązaniem dokładnym to

Ax – b = [0]

jeśli nie jest rozwiązaniem dokładnym to obliczamy
wektor residuum

r

0

= b – Ax

0

≠≠≠≠

[0]

Jak dobrym przybliżeniem rozwiązania dokładnego jest

wektor x

0

?

Układy równa

ń

– analiza rozwi

ą

za

ń

przybli

ż

onych

Oszacowanie przy użyciu normy (dla rozwiązań x

1

, x

2

) :

r

1

= b–Ax

1

r

2

= b–Ax

2

Jeśli

||r

1

||<||r

2

||

to rozwiązanie

x

1

jest bardziej

dokładne niż

x

2

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 74

A – macierz symetryczna

metoda sprzężonych gradientów

• ustalamy wektor początkowy niewiadomych x
• obliczamy wektor r

0

= b – Ax, przyjmujemy P

0

= r

0

• dla

i = 0,1,2,..., n-1

obliczamy

– podczas obliczeń

nie następuje przekształcenie

macierzy A

(wygodne dla macierzy rzadkich)

– zadawalającym przybliżeniem jest wektor x

i

dla pewnego i < n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

T

i

i

i

P

r

P

r

r

AP

r

r

P

x

x

AP

P

r

β

β

α

α

α

+

=

=

=

+

=

=

+

+

+

+

+

1

1

2

1

1

1

2

,

||

||

||

||

,

,

||

||

Układy równa

ń

z macierzami specjalnymi

Metoda sprz

ęż

onych gradientów

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 75

• wektor początkowy niewiadomych x

0

= [1, 1, 1, 1]

T

• uzyskiwane kolejne przybliżenia

– [ 2.0967742 1.

2.6451613 2.0967742 ]

– [ 0.8879310 0.3060345 3.6077586 3.6637931 ]
– [ 0.8548387 0.5967742 3.6290323 3.5645161 ]
– [ 1.

2.

3.

4.

]

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

T

i

i

i

P

r

P

r

r

AP

r

r

P

x

x

AP

P

r

β

β

α

α

α

+

=

=

=

+

=

=

+

+

+

+

+

1

1

2

2

1

1

1

2

,

||

||

||

||

,

,

||

||

=

3

5

0

5

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

4

3

2

1

x

x

x

x

Zadanie: zapisz kod programu (funkcję SciLaba) realizujący
metod
ę, WE: macierz A, wektor b, WY: wektor x

Układy równa

ń

z macierzami specjalnymi

Metoda sprz

ęż

onych gradientów - przykład

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 76

Sposoby zapisu macierzy

Profil macierzy rzadkiej

=

nn

n

n

a

a

a

a

a

A

..

..

0

..

..

..

..

0

..

..

..

..

..

..

..

0

0

..

..

0

2

2

22

11

=

}

{

}

2

{

}

2

{

}

2

2

{

}

1

1

{

)

(

2

2

22

11

n

n

a

n

a

n

a

a

a

sparse

A

nn

n

n

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 77

Sposoby zapisu macierzy

Posta

ć

blokowa macierzy

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 78

Metody iteracyjne - przykład

Obliczenie pierwiastka kwadratowego

x

x

c

x

c

=

=

2

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 79

Metody iteracyjne - przykład

Obliczenie pierwiastka kwadratowego

x

x

x

c

x

x

c

x

c

2

)

(

2

=

+

=

=

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 80

Metody iteracyjne - przykład

Obliczenie pierwiastka kwadratowego

)

(

2

1

2

)

(

2

x

x

c

x

x

x

x

c

x

x

c

x

c

+

=

=

+

=

=

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 81

Metody iteracyjne - przykład

Obliczenie pierwiastka kwadratowego

)

(

2

1

2

)

(

2

x

x

c

x

x

x

x

c

x

x

c

x

c

+

=

=

+

=

=

,...

2

,

1

)

(

2

1

1

=

+

=

+

i

x

x

c

x

i

i

i

x = 1, c = 2

for i= 1:n

x = (c/x + x)/2

end

x = 1, c = 2

eps = 0.00001

while abs(c-x*x) > eps

x = (c/x + x)/2

end

...

414216

.

1

416667

.

1

5

.

1

1

4

3

2

1

=

=

=

=

x

x

x

x

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 82

– startują z przybliżenia początkowego x

(0)

– polegają na konstrukcji nieskończonego ciągu wektorów,

zbieżnych do szukanego rozwiązania,

x

(0)

x

(1)

x

(2)

...

– liczba operacji wykonywanych w każdym kroku iteracyjnym jest

porównywalna z mnożeniem macierzy przez wektor

– stosowane w przypadkach gdy macierz A jest dużych rozmiarów

macierzą rzadką

– problem

• doboru początkowego przybliżenia (często wektor zerowy)

• przerwania procesu iteracyjnego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 83

Przerwanie procesu iteracyjnego

– oszacowanie

||x

(k+1)

- x

(k)

|| <

ε

k – indeks iteracji

dobre wyniki gdy proces jest szybko zbieżny

– oszacowanie

|| r

(k)

|| = || A x

(k)

– b || <

ε

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 84

– dla równania

A x = b

dany jest rozkład

A = L U

– wartość obliczona

– residuum

– proces iteracyjny

• należy przyjąć

• następnie obliczyć

wg formuł

x

x

A

b

r

=

x

x

=

:

)

1

(

,...

3

,

2

,

)

(

=

s

x

s

)

(

)

(

)

1

(

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

(

,

s

s

s

s

s

s

s

s

s

x

x

x

r

L

U

x

r

x

U

L

Ax

b

r

+

=

=

=

=

+

Ulepszanie iteracyjne rozwi

ą

zania

(metoda iteracji powtórnej)

Zadanie: zapisz kod programu realizujący metodę

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 85

metoda Jacobiego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

1

2

1

1

11

b

x

a

x

a

n

k

k

k

=

+

=

=

=

n

k

k

k

x

a

b

x

a

2

1

1

1

11

11

2

1

1

1

/

)

(

a

x

a

b

x

n

k

k

k

=

=

znane:

x

(0)

=(x

1

(0)

,..., x

n

(0)

)

szukane:

x

(1)

=(x

1

(1)

,..., x

n

(1)

)

1

,

/

)

(

11

2

)

0

(

1

1

)

1

(

1

=

=

=

j

a

x

a

b

x

n

k

k

k

dla j =1 :

,

,...,

2

,

1

,

,

1

n

j

b

x

a

x

a

j

n

j

k

k

k

jk

j

jj

=

=

+

=

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 86

metoda Jacobiego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

,

,...,

2

,

1

,

,

1

n

j

b

x

a

x

a

j

n

j

k

k

k

jk

j

jj

=

=

+

=

znane:

x

(m)

=(x

1

(m)

,..., x

n

(m)

)

szukane:

x

(m+1)

=(x

1

(m+1)

,..., x

n

(m+1)

)

m –ty krok :

// x(1:n,1) – rozw. pocz.

for m = 1:m_max

end

n

j

a

x

a

b

x

jj

n

j

k

k

k

m

jk

j

m

j

,...,

2

,

1

,

/

)

(

,

1

)

(

)

1

(

=

=

=

+

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 87

metoda Jacobiego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

,

,...,

2

,

1

,

,

1

n

j

b

x

a

x

a

j

n

j

k

k

k

jk

j

jj

=

=

+

=

znane:

x

(m)

=(x

1

(m)

,..., x

n

(m)

)

szukane:

x

(m+1)

=(x

1

(m+1)

,..., x

n

(m+1)

)

m –ty krok :

// x(1:n,1) – rozw. pocz.

for m = 1:m_max

for j = 1:n

s = b(j)

end

end

n

j

a

x

a

b

x

jj

n

j

k

k

k

m

jk

j

m

j

,...,

2

,

1

,

/

)

(

,

1

)

(

)

1

(

=

=

=

+

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 88

metoda Jacobiego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

,

,...,

2

,

1

,

,

1

n

j

b

x

a

x

a

j

n

j

k

k

k

jk

j

jj

=

=

+

=

znane:

x

(m)

=(x

1

(m)

,..., x

n

(m)

)

szukane:

x

(m+1)

=(x

1

(m+1)

,..., x

n

(m+1)

)

m –ty krok :

// x(1:n,1) – rozw. pocz.

for m = 1:m_max

for j = 1:n

s = b(j)

for k = 1:n

s = s– a(j,k)*x(k,m)

end

end

end

n

j

a

x

a

b

x

jj

n

j

k

k

k

m

jk

j

m

j

,...,

2

,

1

,

/

)

(

,

1

)

(

)

1

(

=

=

=

+

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 89

metoda Jacobiego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

,

,...,

2

,

1

,

,

1

n

j

b

x

a

x

a

j

n

j

k

k

k

jk

j

jj

=

=

+

=

znane:

x

(m)

=(x

1

(m)

,..., x

n

(m)

)

szukane:

x

(m+1)

=(x

1

(m+1)

,..., x

n

(m+1)

)

m –ty krok :

// x(1:n,1) – rozw. pocz.

for m = 1:m_max

for j = 1:n

s = b(j)

for k = 1:n

if k != j then

s = s– a(j,k)*x(k,m)

end

end

end

end

n

j

a

x

a

b

x

jj

n

j

k

k

k

m

jk

j

m

j

,...,

2

,

1

,

/

)

(

,

1

)

(

)

1

(

=

=

=

+

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 90

metoda Jacobiego

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

,

,...,

2

,

1

,

,

1

n

j

b

x

a

x

a

j

n

j

k

k

k

jk

j

jj

=

=

+

=

znane:

x

(m)

=(x

1

(m)

,..., x

n

(m)

)

szukane:

x

(m+1)

=(x

1

(m+1)

,..., x

n

(m+1)

)

m –ty krok :

// x(1:n,1) – rozw. pocz.

for m = 1:m_max

for j = 1:n

s = b(j)

for k = 1:n

if k != j then

s = s– a(j,k)*x(k,m)

end

end

x(j,m +1) = s/a(j,j)

end

end

n

j

a

x

a

b

x

jj

n

j

k

k

k

m

jk

j

m

j

,...,

2

,

1

,

/

)

(

,

1

)

(

)

1

(

=

=

=

+

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 91

Metody iteracyjne rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

Metoda Jacobiego - przykład

=

=

=

4

3

2

1

,

1

1

1

1

,

22

19

16

13

4

1

1

1

1

4

1

1

1

1

4

1

1

1

1

4

)

0

(

4

3

2

1

OK

x

x

x

x

x

x

=

=

=

3.9999394

2.999805

1.9999839

1.0004535

,...,

95

.

3

15

.

3

14

.

2

90

.

0

,

37

.

3

16

.

3

88

.

2

5

.

2

)

6

(

)

2

(

)

1

(

x

x

x

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 92

Metody iteracyjne rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

Metoda Jacobiego - przykład

=

=

=

4

3

2

1

,

1

1

1

1

,

4

.

6

3

.

7

2

.

8

1

.

9

1

.

0

1

1

1

1

1

.

0

1

1

1

1

1

.

0

1

1

1

1

1

.

0

)

0

(

4

3

2

1

OK

x

x

x

x

x

x

,...

08

293

32515003

3607298

400201

,

44396

4933

548

61

)

2

(

)

1

(

+

=

=

E

x

x

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 93

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

metoda Gaussa-Seidela

jj

n

j

k

i

k

jk

j

k

i

k

jk

j

i

j

j

n

j

k

i

k

jk

i

j

jj

j

k

i

k

jk

a

x

a

x

a

b

x

i

n

j

b

x

a

x

a

x

a

+

=

=

+

+

+

=

+

=

+

=

=

=

=

+

+

1

)

(

1

1

)

1

(

)

1

(

1

)

(

)

1

(

1

1

)

1

(

...

2

,

1

,

0

,

,...,

2

,

1

,



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

L

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

,

,...,

2

,

1

,

1

1

1

n

j

b

x

a

x

a

x

a

j

n

j

k

k

jk

j

jj

j

k

k

jk

=

=

+

+

+

=

=

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 94

• metoda Gaussa-Seidela jest z reguły

szybciej zbieżna

niż metoda

Jacobiego

• istnieją układy dla których metoda Gaussa-Seidela jest

rozbieżna

,

a metoda Jacobiego zbieżna

• Metoda Jacobiego i metoda Gaussa-Seidela są

zbieżne

jeśli

macierz A jest

macierzą ze ściśle dominującą przekątną

główną

, tzn.

=

=

>

n

i

j

j

ij

ii

n

j

i

a

a

1

,...,

1

,

|

|

|

|

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 95

metoda nadrelaksacji –

przyśpieszenie zbieżności metody Gaussa-

Seidela

– modyfikując wzór metody Gaussa-Seidela otrzymujemy

– parametr relaksacji

ω

ω

ω

ω

dobrany jest tak, aby zbieżność metody była jak

najszybsza (jeśli

ω

ω

ω

ω

= 1 to metoda redukuje się do metody Gaussa-Seidela

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

1

1

)

1

(

)

(

,

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

jj

n

j

k

i

k

jk

j

k

i

k

jk

j

i

j

r

x

x

r

x

x

a

x

a

x

a

b

r

ϖ

+

=

+

=

=

+

+

=

=

+

( )

...

2

,

1

,

0

,

,...,

2

,

1

,

)

(

1

1

)

1

(

1

)

(

1

1

)

1

(

)

1

(

=

=

+

=

=

=

=

+

+

=

=

+

+

i

n

j

a

x

a

x

a

x

a

b

a

x

a

x

a

b

x

jj

i

j

jj

n

j

k

i

k

jk

j

k

i

k

jk

j

jj

n

j

k

i

k

jk

j

k

i

k

jk

j

i

j

Metody iteracyjne

rozwi

ą

zywania układów równa

ń

liniowych

Zadanie: zapisz kod programu realizujący metodę Gaussa-Seidela

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 96

Złe uwarunkowanie układu równań

– układ równań postaci

A x = b

– wartość obliczona

– residuum

wniosek : jeśli oszacowanie r jest małe to jest dobrym rozwiązaniem ?

– Przykład

x

x

A

b

r

=

x

[

]

[

]

T

T

T

x

rozw

r

x

b

A

2

2

.

10

10

]

4870

,

0

9911

,

0

[

1440

,

0

8642

,

0

,

1441

,

0

2161

,

0

8648

,

0

2969

,

1

8

8

=

=

=

=

=

Analiza bł

ę

dów w układach równa

ń

liniowych

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 97

WE: a

11

a

12

a

21

a

22

b

1

b

2

WY: x,y

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

Przykład złego uwarunkowania zadania

2

10

000000002

.

8

999999999

.

5

2

8

6

2

=

=

=

+

=

+

y

x

y

x

y

x

1

1

000000001

.

8

000000001

.

6

2

8

6

2

=

=

=

+

=

+

y

x

y

x

y

x

wskaźnik uwarunkowania macierzy

A

||

||

||

||

)

(

1

=

A

A

A

κ

jeśli jest on duży, to małe zaburzenia względne macierzy

A

i wektora

b

mogą powodować duże zaburzenia

względne wektora

x

,

zadanie jest źle uwarunkowane

08

0

.

3

||

||

6

||

||

1

+

=

=

E

A

A

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 98

–Matematyczny opis powiązań pomiędzy danymi wejściowymi i wyjściowymi

(sposób wyznaczenia wyników na podstawie danych wejściowych).

–Zadanie jest dobrze określone jeśli wyniki są jednoznacznie określone dla
przyjętych danych wejściowych

Zadanie numeryczne

Uwarunkowanie zadania numerycznego

jak bardzo wynik

f(

f(

f(

f(x+D

+D

+D

+Dx)))) żni się od f(

f(

f(

f(x))))

• x – dane wejściowe

f- zadanie numeryczne

• y=

f(x )– wynik, D

D

D

Dy= f(

f(

f(

f(x+D

+D

+D

+Dx)))) - f(

f(

f(

f(x))))

Jeśli

to zadanie jest

źle uwarunkowane

x

x

y

y

〉〉

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 99

Przykład in

ż

ynierski – zadanie kratownicy

(metoda równowa

ż

enia w

ę

złów)

0

sin

:

1

0

cos

:

1

=

+

=

+

+

α

α

III

y

y

III

I

x

x

N

R

N

N

R

P

N

N

N

V

y

II

I

x

=

=

+

:

2

0

:

2

Zadanie: przygotuj arkusz MS Excel
rozwi
ązujący zadanie kratownicy
(przyj
ąć długości d

12

=d

23

=d

24

=1,

P = 100kN)

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 100

inv()

obliczenie macierzy odwrotnej

linsolve()

rozwiązanie układu równań liniowych dowolnej postaci

lu()

rozkład LU eliminacji Gaussa

chol()

rozkład Cholesky'ego

sparse()

formowanie macierzy rzadkich

full()

sformowanie pełnej macierzy w oparciu o profil macierzy
rzadkiej

lusolve()

rozwiązanie układu równań liniowych z macierzą rzadką

chfact()

rozkład Cholesky'ego dla macierzy rzadkich

chsolve()

rozwiązanie układu równań liniowych z macierzą rzadką za
pomocą metody Cholesky'ego

spchol()

rozkład Cholesky'ego dla macierzy rzadkich

Poj

ę

cie układu równa

ń

liniowych

Funkcje SciLaba

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 101

• LAPACK (Linear Algebra PACKage),

LINPACK

– biblioteki procedur służących do

rozwiązywania układów równań liniowych i
metody najmniejszych kwadratów

– http://www.netlib.org/lapack/

(

L A

P A C K

)

(

L -A

P -A C -K

)

(

L A

P A

-C -K

)

(

L -A

P -A

-C K

)

(

L A -P -A

C K

)

(

L -A -P A

C -K

)

Poj

ę

cie układu równa

ń

liniowych

Procedury w j

ę

zyku FORTRAN

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 102

Podsumowanie

Metody rozwiązywania układów równań liniowych.

Sformułowanie zagadnienia, podstawowe pojęcia

macierz główna układu, macierz rozszerzona,

twierdzenie Kroneckera-Capellego,

pojecie rzędu macierzy.

Podział metod rozwiązywania układów równań liniowych:

bezpośrednie

iteracyjne

Sposoby rozwiązań przy użyciu metod bezpośrednich

z zastosowaniem macierzy odwrotnej,

za pomocą wzorów Cramera,

układ równań z macierzą trójkątną.

Eliminacja Gaussa

eliminacja zmiennych,

postępowanie odwrotne,

wybór elementu podstawowego,

metoda eliminacji Gaussa-Jordana,

background image

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1

Nr: 103

Podsumowanie c.d.

Metody rozwiązywania układów równań liniowych.

Rozkład trójkątny macierzy

sposób postepowania,

metoda Doolitle’a,

metoda Crouta,

rozkład Cholesky’ego,

Metoda sprzężonych gradientów.

Metoda wielo-frontalna (metody blokowe)

Analiza błędów

złe uwarunkowanie układu równań

wskaźnik uwarunkowania macierzy A

ulepszanie iteracyjne rozwiązania (metoda iteracji powtórnej)

Metody iteracyjne

metoda Jacobiego,

metoda Gaussa-Seidela,

metoda nadrelaksacji


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2008 Metody obliczeniowe 10 D 2008 11 28 20 51 40
2008 Metody obliczeniowe 07 D 2008 10 29 19 28 1
2008 Metody obliczeniowe 06 D 2008 10 22 20 13 23
2008 Metody obliczeniowe 02 D 2008 10 1 21 28 5
2008 Metody obliczeniowe 03 D 2008 10 1 22 5 47
3 ANALITYCZNE METODY OBLICZANIA PŁYWÓW
Metody obliczeniowe
2008 Metody obliczeniowe 08 D 2008 11 11 21 31 58
Metody Obliczeniowe 2
bryły, METODY OBLICZENIOWE
moo-zadania, Elektrotechnika, Metody obliczeniowe optymalizacji, ćwiczenia
Metody badan 1 10

więcej podobnych podstron