Egzamin, matematyka A, 21 lutego 2005 —

150 minut

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia udowodnione

na zaje

,

ciach.

Rozwia

,

zanie ka˙zdego zadania nale˙zy napisa´c na oddzielnej kartce.

W lewym g´

ornym rogu ka˙zdej kartki nale˙zy umie´sci´

c numer swego indeksu, pod nim swoje

nazwisko, imie

,

, pod nimi numer grupy ´

cwiczeniowej.

L. Poda´c definicje

,

liczby log

a

x , czyli logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza

,

spe lnia´c liczby a oraz x , by mo˙zna by lo okre´sli´c log

a

x ?

Wykaza´c, ˙ze log 4 < log 3 + 0,125 i log 3 < 1,6 log 2 . Znale´z´c log

1

3

√

100

, log

10 ·

3

√

10 ·

3

p

3

√

10

.

T. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c tg(2t) ≥ ctg(t) . Zaznaczy´c na okre

,

gu x

2

+y

2

= 1 odpowiedni zbi´or, tj. z lo˙zony

z punkt´ow (x, y) = (cos t, sin t) , gdzie t oznacza liczbe

,

spe lniaja

,

ca

,

nier´owno´s´c tg(2t) ≥ ctg(t) .

1. Znale´z´c na paraboli y =

x

2

4

punkty: P znajduja

,

cy sie

,

najbli˙zej punktu A = (0, 1) , Q znajduja

,

cy

sie

,

najbli˙zej punktu B = (0, 2) i R znajduja

,

cy sie

,

najbli˙zej punktu C = (0, 3) .

2. Wykaza´c, ˙ze je´sli x, y ∈ R i x 6= y , to

sin x cos x − sin y cos y

< |x − y| .

3. Niech A = {(x, y):

0 ≤ x ≤

π

2

i

sin(2x) ≥ y ≥ sin x} be

,

dzie obszarem ograniczonym z do lu przez

wykres funkcji sin x , z g´ory przez wykres funkcji sin(2x) , a z bok´ow — przez odpowiednie proste
pionowe. Znale´z´c pole obszaru A . (Uwaga: zbi´or A nie ma punkt´ow wsp´olnych z prosta

,

x =

8π

21

).

4. Znale´z´c lim

x→∞

ln(x ln x+sin x)

ln(x

2

+

√

5+cos x)

i takie liczby a, b, c ∈ R , ˙ze granica lim

x→0

cos x−(a+bx

2

+cx

4

)

x

5

= 0 .

5. Znale´z´c ca lke

,

nieoznaczona

,

R

x

3

cos(x

2

)dx oraz ca lke

,

oznaczona

,

R

√

π

0

x

3

cos(x

2

)dx .

6. Niech f (x) =

3

14

x

14/3

+

3

11

x

11/3

−

9
8

x

8/3

−

3
5

x

5/3

+ 3x

2/3

.

Zachodza

,

wtedy r´owno´sci: f

0

(x) =

(x+1)(x+2)(1−x)

2

3

√

x

oraz

f

00

(x) =

11(x−1)(x−x

0

)(x

2

+px+q)

3

3

√

x

4

, gdzie −1,56939 < x

0

< −1, 56938 i p

2

< 4q .

Funkcja nie ma asymptot.
a. Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna

,

ca i przedzia ly, na kt´orych jest maleja

,

ca;

przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la i przedzia ly, na kt´orych jest wkle

,

s la.

b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?
d. Znale´z´c punkty przegie

,

cia wykresu funkcji f .

e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ±∞ .
f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f

0

(pochodnej funkcji f ) w ko´

ncach wszystkich przedzia l´ow

sk ladaja

,

cych sie

,

na jej dziedzine

,

.

G. Naszkicowa´

c wykres funkcji f uwzgle

,

dniaja

,

c otrzymane rezultaty.

inf. Informacje przer´o˙zne (po˙zyteczne lub zbe

,

dne):

log

10

x = log x ; sin

5π

6

=

1
2

; sin

5π

4

= −

√

2

2

; 1 + x ≤ e

x

dla x ∈ R ; sin x < x < tg x , gdy

π

2

> x > 0 ;

sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x ;

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ;

cos

2

x + sin

2

x = 1 ;

3

4

= 81 , 3

5

= 243 , 3

6

= 729 , 3

7

= 2187 , 3

8

= 6561 , 3

9

= 19683 , 3

10

= 59049 , 3

11

= 177147

2

5

= 32 , 2

6

= 64 , 2

7

= 128 , 2

8

= 256 , 2

9

= 512 , 2

11

= 2048 , 2

14

= 16384 , 2

16

= 65536