Wykład 13 i 14

Równania różniczkowe

Definicja 1.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n

nazywamy równanie

F (x, y, y

0

, y

00

, ..., y

(n)

) = 0

(1)

gdzie: y = y(x) – niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej x;
n ∈ N – najwyższy rząd pochodnej funkcji y(x);
F – funkcja określona na pewnym zbiorze D ⊆ R

n+2

o wartościach w R.

Definicja 2.

Całką szczególną

(ozn.CS, in.

rozwiązaniem szczególnym

) równania różniczkowego

(1) na przedziale X nazywamy każdą funkcję y(x) taką, że

F (x, y(x), y

0

(x), y

00

(x), ..., y

(n)

(x)) = 0 dla każdego x ∈ X.

Definicja 3.

Warunkiem początkowym

dla równania (1) nazywamy układ równości

y(x

0

) = y

0

, y

0

(x

0

) = y

1

, ..., y

(n−1)

(x

0

) = y

n−1

(2)

gdzie liczby x

0

, y

0

, y

1

, ..., y

n−1

, zwane

wartościami początkowymi

, są dane.

Definicja 4.

Całka ogólna

(ozn. CO, in.

rozwiązanie ogólne

) równania różniczkowego (1) jest to

tak duża rodzina rozwiązań szczególnych tego równania, aby dla każdych wartości początkowych
– dla których istnieje rozwiązanie – istniało rozwiązanie z tej rodziny.

Uwaga 1. Rozwiązać równanie różniczkowe oznacza znaleźć jego całkę ogólną.

Uwaga 2. Całka ogólna nie musi zawierać wszystkich całek szczególnych tego równania.

Równanie o zmiennych rozdzielonych.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

dy

dx

=

f (x)

h(y)

gdzie f - funkcja określona i ciągła na przedziale (a ; b), zaś h - funkcja określona i ciągła na
przedziale (c ; d), h(y) 6= 0 dla y ∈ (c ; d), nazywamy

równaniem różniczkowym o zmiennych

rozdzielonych

.

Wzór

Z

h(y)dy =

Z

f (x)dx + C, gdzie C ∈ R, a całki po obu stronach oznaczają dowolnie

ustalone funkcje pierwotne funkcji h i f , określa całką ogólną równania

dy

dx

=

f (x)

h(y)

, która przy

założeniach jak wyżej zawiera wszystkie rozwiązania tego równania .

1

Równania różniczkowe liniowe rzędu n­ 1

Niech n ­ 1 będzie dowolną liczbą naturalną. Równanie różniczkowe

y

(n)

+ p

n−1

(x)y

(n−1)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = f (x)

(3)

gdzie p

k

, k = 0, 1, . . . , n − 1 oraz f są to dane funkcje ciągłe na pewnym przedziale, nazywamy

równaniem różniczkowym liniowym rzędu n

. Jeżeli wszystkie funkcje p

k

, k = 0, 1, . . . , n − 1, są

stałe na tym przedziale, to jest to równanie o

stałych współczynnikach

.

Jeżeli f (x) ≡ 0, to równanie nazywamy

jednorodnym

(RJ), a w przeciwnym przypadku –

niejed-

norodnym

(RN).

Metoda rozwiązania RN wiedzie przez rozwiązanie RJ, które otrzymujemy z RN zastępując w
nim funkcję f przez funkcję tożsamościowo równą zeru

y

(n)

+ p

n−1

(x)y

(n−1)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = 0.

(4)

Wyznaczenie CO równania liniowego pierwszego rzędu

Równanie liniowe jednorodne pierwszego rzędu ma postać

y

0

+ p(x)y = 0

Funkcja y ≡ 0 jest CS tego równania, a dla y 6= 0 równanie jest równaniem o zmiennych
rozdzielonych.
CO tego równania ma postać

y(x) = C · exp(−

Z

p(x)dx)

,

C ∈ R

gdzie

Z

p(x)dx = P (x) oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji p na danym prze-

dziale .

Układ podstawowy całek

Definicja 5. Układ całek szczególnych y

1

(x), y

2

(x), . . . , y

n

(x) równania (4) w przedziale X na-

zywamy

układem podstawowym całek

(ozn.UPC) tego równania, jeśli wyznacznik (

wrońskian

)

W (x) =

y

1

(x)

y

2

(x)

. . . y

n

(x)

y

0

1

(x)

y

0

2

(x)

. . . y

0

n

(x)

. . .

. . .

. . . . . .

y

(n−1)

1

(x) y

(n−1)

2

(x) . . . y

(n−1)

n

(x)

6= 0

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcje y

1

(x), y

2

(x), . . . , y

n

(x) tworzą UPC równania (4), to

y =

n

X

k=1

C

k

· y

k

(x)

gdzie C

k

∈ R, k = 1, . . . , n, jest CO tego równania.

2

Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego o
stałych współczynnikach

Poszukujemy rozwiązań RJ

y

(n)

+ p

n−1

y

(n−1)

+ . . . + p

1

y

0

+ p

0

y = 0

(5)

p

k

∈ R, k = 0, 1, . . . , n − 1, w postaci funkcji wykładniczej e

rx

, gdzie r jest liczbą zespoloną.

Wstawiając tę funkcję i jej kolejne pochodne do równania (5) otrzymujemy równanie algebra-
iczne, zwane

równaniem charakterystycznym

,

r

n

+ p

n−1

r

n−1

+ . . . + p

1

r + p

0

= 0.

(6)

Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego pierwszego rzędu

Równanie liniowe pierwszego rzędu jednorodne o stałych współczynnikach ma postać

y

0

+ py = 0 , p ∈ R

a odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest równaniem pierwszego stopnia

r + p = 0.

(7)

Funkcja y = e

−px

jest CS równania (7), zatem CO tego równania przedstawia wzór

y = Ce

−px

, C ∈ R

Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego drugiego rzędu

Równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

y

00

+ py

0

+ qy = 0

(8)

a odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym

r

2

+ pr + q = 0.

(9)

1.

∆ > 0. Równanie (9) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r

1

i r

2

. Funkcje e

r

1

x

, e

r

2

x

tworzą

układ podstawowy całek równania (8), a CO tego równania przedstawia wzór

y = C

1

e

r

1

x

+ C

2

e

r

2

x

, C

1

, C

2

∈ R.

2.

∆ = 0. Równanie (9) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r. Funkcje e

rx

, xe

rx

tworzą

układ podstawowy całek równania (8), a CO tego równania przedstawia wzór

y = (C

1

+ C

2

x) e

rx

, C

1

, C

2

∈ R.

3

3.

∆ < 0. Równanie (9) ma dwa różne pierwiastki zespolone sprzężone r

1

= α+jβ , r

2

= α−jβ.

Funkcje y

1

(x) = e

αx

cos βx , y

2

(x) = e

αx

sin βx tworzą układ podstawowy całek równania (8), a

CO tego równania przedstawia wzór

y = e

αx

(C

1

cos βx + C

2

sin βx) , C

1

, C

2

∈ R.

Wyznaczanie CO równania niejednorodnego

Dla znalezienia CORN stosujemy metodę przewidywań lub metodę uzmienniania stałych (me-
toda uniwersalna). Wykorzystujemy przy tym twierdzenie:

Twierdzenie. CORN=CORJ+CSRN

Metoda przewidywań

Metodę przewidywań stosujemy, gdy

1. dla wszystkich k = 0, 1, . . . , n−1 funkcje p

k

(x) ≡ p

k

, p

k

∈ R,

2. funkcja f jest postaci f (x) = e

αx

(W

1

(x) · cos βx + W

2

(x) · sin βx), gdzie W

i

(x) , i = 1, 2 są

wielomianami zmiennej x.

CSRN przewidujemy w postaci:

x

k

· e

αx

(V

1

(x) · cos βx + V

2

(x) · sin βx),

przy czym

i) V

i

(x) , i = 1, 2 są wielomianami zmiennej x i st(V

1

) = st(V

2

) = max( st(W

1

),st(W

2

)),

ii) liczba całkowita k ­ 0 jest równa krotności pierwiastka α + jβ w równaniu charaktery-

stycznym (6).

Metoda uzmienniania stałej dla n = 1

CO równania y

0

+ p(x)y = 0 określona jest wzorem:

y = C · e

−P (x)

, C ∈ R

P (x) – dowolnie ustalona funkcja pierwotna funkcji p(x).

Metoda uzmienniania stałej

polega na tym, że we wzorze na całkę ogólną równania jednorodnego

stałą C zastępujemy taką nieznaną funkcją C(x), aby funkcja C(x) · e

−P (x)

była rozwiązaniem

równania

y

0

+ p(x)y = f (x)

(10)

Zakładając, że taka funkcja C(x) istnieje, otrzymujemy po wstawieniu do równania (10)

C(x) =

Z

f (x) · e

P (x)

dx + C

1

, gdzie C

1

∈ R

CORN równania (10) określona jest wzorem:

y(x) = C

1

· e

−P (x)

+ e

−P (x)

·

Z

f (x) · e

P (x)

dx , C

1

∈ R

całka występująca we wzorze rozumiana jest jako dowolna, lecz ustalona funkcja pierwotna.

4

Metoda uzmienniania stałych dla n = 2

CO równania y

00

+ p(x)y

0

+ q(x)y = 0 określona jest wzorem:

y = C

1

y

1

(x) + C

2

y

2

(x) , C

1

, C

2

∈ R , {y

1

, y

2

} = U P C

Metoda uzmienniania stałych

polega na zastąpieniu stałych C

1

, C

2

we wzorze na całkę ogólną

równania jednorodnego funkcjami C

1

(x) , C

2

(x) takimi, żeby funkcja C

1

(x)y

1

(x) + C

2

(x)y

2

(x)

była rozwiązaniem równania

y

00

+ p(x)y

0

+ q(x)y = f (x)

(11)

Pochodne C

0

1

(x) , C

0

2

(x) wyznaczamy z układu równań

(

C

0

1

(x)y

1

(x) + C

0

2

(x)y

2

(x) = 0

C

0

1

(x)y

0

1

(x) + C

0

2

(x)y

0

2

(x) = f (x)

C

1

(x) =

Z

0

y

2

(x)

f (x) y

0

2

(x)

W (x)

dx + C

1

, C

1

∈ R,

C

1

(x) =

Z

y

1

(x)

0

y

0

1

(x) f (x)

W (x)

dx + C

2

, C

2

∈ R .

W (x) oznacza wrońskian; całki – dowolnie ustalone funkcje pierwotne

CORN równania (11) określona jest wzorem

y = C

1

(x)y

1

(x) + C

2

(x)y

2

(x).

Dodatek

Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego o
stałych współczynnikach rzędu n ­ 2

1.

Równanie (6) ma n różnych pierwiastków rzeczywistych r

1

, r

2

, . . . , r

n

. Wówczas funkcje

y

1

(x) = e

r

1

x

, y

2

(x) = e

r

2

x

, . . . , y

n

(x) = e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

2.

Równanie (6) ma n różnych pierwiastków r

1

, r

2

, . . . , r

n

, wśród których znajdują się pier-

wiastki zespolone. Niech np. r

1

= α + jβ , r

2

= α − jβ oraz r

3

, . . . , r

n

∈ R. Wówczas funkcje

y

1

(x) = e

αx

cos βx , y

2

(x) = e

αx

sin βx , y

3

(x) = e

r

3

x

, . . . , y

n

(x) = e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

5

3.

Równanie (6) ma n pierwiastków rzeczywistych r

1

, r

2

, . . . , r

n

, wśród których znajdują się

pierwiastki wielokrotne. Niech np. r

1

= r

2

= . . . = r

k

= r oraz pozostałe r

k+1

, . . . , r

n

są różne

między sobą i różne od r.
Wówczas funkcje e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, . . . , x

k−1

e

rx

są rozwiązaniami równania (4). Funkcje

e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, . . . , x

k−1

e

rx

, e

r

k+1

x

, . . . , e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

4.

Równanie (6) ma n pierwiastków r

1

, r

2

, . . . , r

n

, wśród których są pierwiastki zespolone wie-

lokrotne. Niech np. r

1

= r

2

= . . . = r

k

= α + jβ oraz r

k+1

= r

k+2

= . . . = r

2k

= α − jβ

zaś pozostałe pierwiastki r

2k+1

, . . . , r

n

są rzeczywiste i różne między sobą. Wówczas funkcje

e

αx

cos βx , xe

αx

cos βx , . . . , x

k−1

e

αx

cos βx , e

αx

sin βx , xe

αx

sin βx , . . . , x

k−1

e

αx

sin βx są są roz-

wiązaniami równania (4). Funkcje

e

αx

cos βx , xe

αx

cos βx , . . . , x

k−1

e

αx

cos βx , e

αx

sin βx , xe

αx

sin βx ,

. . . , x

k−1

e

αx

sin βx, e

r

2k+1

x

, . . . , e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

6