Wykład trzynasty

Równania różniczkowe

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

F (x, y, y

0

, y

00

, ..., y

(n)

) = 0

(1)

w którym y = y(x) jest niewiadomą funkcją zmiennej rzeczywistej x; n ∈ N− jest rzędem
najwyższej pochodnej funkcji y(x), zaś funkcja F , określona na pewnym zbiorze D ⊆ R

n+2

o

wartościach w R jest dana.

Całką szczególną (rozwiązaniem szczególnym, CS) równania różniczkowego (1) na zbiorze X na-
zywamy każdą funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie zbioru X.

Zagadnienie Cauchy’go dla równania różniczkowego (1) polega na wyznaczeniu całki szczególnej
tego równania spełniającej warunki początkowe

y(x

0

) = y

0

, y

0

(x

0

) = y

1

, ..., y

(n−1)

(x

0

) = y

n−1

gdzie liczby x

0

, y

0

, y

1

, ..., y

n−1

, zwane wartościami początkowymi, są dane.

Przykłady.

1. Całką szczególną równania y

0

= 3x

2

jest np. funkcja y

1

= x

3

, jak i każda funkcja postaci

y = x

3

+ C , C ∈ R. Wstawiając warunek początkowy y(x

0

) = y

0

otrzymujemy stałą

C

0

= y

0

− x

3
0

;

2. Całkami szczególnymi równania y

00

+ y = 0 są funkcje y

1

= sin x , y

2

= cos x i każda

funkcja postaci y = C

1

cos x + C

2

sin x , C

1

, C

2

∈ R. Wstawiając warunek początkowy:

y(x

0

) = y

0

, y

0

(x

0

) = y

1

wyznaczamy wartości stałych C

1

, C

2

jednoznacznie;

3. Dla równania y

0

= 3

3

√

y

2

istnieją dwa różne rozwiązania szczególne: y

1

= x

3

i y

2

≡ 0

spełniające warunek początkowy y(0) = 0.

Def. Całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym, CO) równania różniczkowego (1) nazywamy n –
parametrową rodzinę funkcji {Φ(x, y, C

1

, . . . , C

n

)}, gdzie (C

1

, . . . , C

n

) ∈ A ⊂ R

n

, spełniającą

warunki:

1. dla każdych wartości (C

1

, . . . , C

n

) ∈ A istnieje CS y(x) równania (1) spełniająca warunek:

Φ(x, y(x), C

1

, . . . , C

n

) = 0

2. dla każdego układu wartości początkowych x

0

, y

0

, y

1

, ..., y

n−1

(dla których istnieje rozwiąza-

nie równania (1)) istnieją stałe (C

0

1

, . . . , C

0

n

) ∈ A takie, że równanie Φ(x, y, C

0

1

, . . . , C

0

n

) = 0

określa w pewnym otoczeniu punktu x

0

funkcję uwikłaną y = y(x) spełniającą równanie

(1) i warunek początkowy y(x

0

) = y

0

, y

0

(x

0

) = y

1

, ..., y

(n−1)

(x

0

) = y

n−1

.

Przykład. Z równania y

0

= −

x

y

⇔ y · y

0

= −x wynika, że y

2

= −x

2

+ C , C > 0. Wówczas

Φ(x, y) = x

2

+ y

2

− C , C > 0.

1

Uwaga.1 Rozwiązać równanie różniczkowe oznacza znaleźć jego całkę ogólną.

Uwaga 2. Całka ogólna nie musi zawierać wszystkich całek szczególnych tego równania.

Uwaga.3 Dla pewnych typów równań różniczkowych (np. dla równania o zmiennych rozdzie-
lonych, równania jednorodnego, równania liniowego pierwszego rzędu, równania Bernoulliego,
równania liniowego o stałych współczynnikach) istnieją metody umożliwiające znalezienie zbio-
ru wszystkich rozwiązań tych równań po wykonaniu skończonej liczby operacji elementarnych.
Dla większości równań takie algorytmy nie są znane.

Równania rzędu pierwszego

Równanie o zmiennych rozdzielonych.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

dy

dx

=

f (x)

h(y)

gdzie f - funkcja określona i ciągła na przedziale (a ; b), zaś h - funkcja określona i ciągła na
przedziale (c ; d), h(y) 6= 0 dla y ∈ (c ; d), nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych
rozdzielonych.

Rodzina krzywych określona wzorem

Z

h(y)dy =

Z

f (x)dx + C, gdzie C ∈ R

jest całką ogólną równania

dy

dx

=

f (x)

h(y)

.

Równanie jednorodne.

Równanie jednorodne jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

dy

dx

= f



y

x



gdzie f (u) 6= u jest funkcją ciągłą na pewnym przedziale (a ; b). Równanie to można sprowadzić

do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x) =

y(x)

x

. Z ostatniej

równości otrzymujemy zależność

dy

dx

= u(x) + x

du

dx

a następnie równanie różniczkowe z niewiadomą funkcją u

du

f (u) − u

=

dx

x

które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Przykłady

2

1. Równanie

dy

dx

= e

−y

cos 2x

jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, w którym : f (x) = cos 2x , h(y) = e

y

. Całką

ogólną tego równania jest rodzina krzywych e

y

=

1

2

sin 2x + C , C ∈ R.

2. Równanie

dy

dx

=

x + y

x

jest równaniem jednorodnym, w którym f (u) = 1 + u. Wprowadzając nową funkcję nie-

wiadomą u =

y

x

otrzymujemy dla niej równanie o zmiennych rozdzielonych

u + x

du

dx

= 1 + u

którego całką ogólną jest

u = ln |x| + C , C ∈ R

Całką ogólną danego równania jest

y = x ln |x| + Cx , C ∈ R

Równania różniczkowe liniowe rzędu n­ 1

Niech n ­ 1 będzie dowolną liczbą naturalną. Równanie różniczkowe

y

(n)

+ p

n−1

(x)y

(n−1)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = f (x)

(2)

gdzie p

k

, k = 0, 1, . . . , n − 1 oraz f są to dane funkcje ciągłe na pewnym przedziale, nazywamy

równaniem różniczkowym liniowym rzędu n. Jeżeli wszystkie funkcje p

k

, k = 0, 1, . . . , n − 1, są

stałe na tym przedziale, to jest to równanie o stałych współczynnikach.
Jeżeli f (x) ≡ 0, to równanie nazywamy jednorodnym(RJ), a w przeciwnym przypadku – niejed-
norodnym(RN).

Metoda rozwiązania RN wiedzie przez rozwiązanie RJ, które otrzymujemy z RN zastępując w
nim funkcję f przez funkcję tożsamościowo równą zeru

y

(n)

+ p

n−1

(x)y

(n−1)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = 0.

(3)

Układ n całek szczególnych y

1

, y

2

, . . . , y

n

równania (3) na przedziale (a ; b) jest układem podsta-

wowym całek tego równania, jeżeli wyznacznik W (x), zwany wrońskianem, spełnia warunek

W (x) =












y

1

(x)

y

2

(x)

. . .

y

n

(x)

y

0

1

(x)

y

0

2

(x)

. . .

y

0

n

(x)

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

y

(n−1)

1

(x) y

(n−1)

2

(x)

. . .

y

(n−1)

n

(x)












6= 0

dla każdego x ∈ (a ; b).

3

Twierdzenie Jeżeli funkcje y

1

, y

2

, . . . , y

n

stanowią układ podstawowy całek równania (3), to

wzór

y =

n

X

k=1

C

k

· y

k

(x)

(4)

gdzie C

k

∈ R , k = 1, 2, . . . , n , określa CO tego równania.

Wyznaczenie CO równania liniowego pierwszego rzędu

Równanie liniowe jednorodne pierwszego rzędu ma postać

y

0

+ p(x)y = 0

Funkcja y ≡ 0 jest CS tego równania, a dla y 6= 0 równanie jest równaniem o zmiennych
rozdzielonych.CO tego równania ma postać

y(x) = C · exp(−

Z

p(x)dx)

,

C ∈ R

gdzie

Z

p(x)dx oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji p na danym przedziale .

Przykład. Wyznaczyć CO równania

y

0

− ctg x · y = 0 , x ∈ (0 ; π)

p(x) = − ctg x oraz −

Z

p(x)dx =

Z

ctg xdx =

Z

cos xdx

sin x

= ln |sin x| + A. Przyjmując A = 0, w

każdym przedziale ciągłości funkcji ctg x otrzymujemy CO y = C sin x , C ∈ R.

Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego dru-
giego rzędu o stałych współczynnikach

Równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

y

00

+ py

0

+ qy = 0

(5)

a odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym

r

2

+ pr + q = 0.

(6)

1.

∆ > 0. Równanie (6) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r

1

i r

2

. Funkcje e

r

1

x

, e

r

2

x

tworzą

układ podstawowy całek równania (5), a CO tego równania przedstawia wzór

y = C

1

e

r

1

x

+ C

2

e

r

2

x

, C

1

, C

2

∈ R.

2.

∆ = 0. Równanie (6) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r. Funkcje e

rx

, xe

rx

tworzą

układ podstawowy całek równania (5), a CO tego równania przedstawia wzór

y = (C

1

+ C

2

x) e

rx

, C

1

, C

2

∈ R.

4

3.

∆ < 0. Równanie (6) ma dwa różne pierwiastki zespolone sprzężone r

1

= α+jβ , r

2

= α−jβ.

Funkcje y

1

(x) = e

αx

cos βx , y

2

(x) = e

αx

sin βx tworzą układ podstawowy całek równania (5), a

CO tego równania przedstawia wzór

y = e

αx

(C

1

cos βx + C

2

sin βx) , C

1

, C

2

∈ R.

Przykłady

a. Znaleźć CORJ: y

00

+ 5y

0

+ 4y = 0. Równanie charakterystyczne

r

2

+ 5r + 4 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste: r

1

= −1 , r

2

= −4. Stąd

y = C

1

e

−x

+ C

2

e

−4x

, C

1

, C

2

∈ R

jest całką ogólną danego równania.

b. Znaleźć CORJ: y

00

+ 4y

0

+ 4y = 0. Ponieważ równanie charakterystyczne

r

2

+ 4r + 4 = 0

ma pierwiastek podwójny: r = −2 , więc całką ogólną tego równania jest

y = (C

1

+ C

2

x) e

−2x

, C

1

, C

2

∈ R.

c. Równanie różniczkowe: y

00

+ 4y = 0 ma równanie charakterystyczne

r

2

+ 4 = 0

którego pierwiastkami są liczby zespolone: r

1

= 2j , r

2

= −2j. Stąd

y = C

1

sin 2x + C

2

cos 2x , C

1

, C

2

∈ R

jest całką ogólną tego równania.

5