Wykład dziesiąty

Szeregi liczbowe - c.d.

WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych

Uwaga 1. Jeśli (a

n

­ 0, to ciąg sum (S

n

) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (S

n

) jest zbieżny

wtw gdy jest ograniczony z góry.

Tw.1.(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę na-
turalną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale hm; +∞), to szereg liczbowy

∞

X

n=m

f (n) i całka

Z

+∞

m

f (x)dx

są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Tw.2. (kryterium porównawcze) Jeżeli

∞

X

n=1

a

n

oraz

∞

X

n=1

b

n

są szeregami o wyrazach nieujemnych

oraz a

n

¬ b

n

dla n > n

0

, to

1. jeżeli szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg

∞

X

n=1

b

n

;

2. jeżeli szereg

∞

X

n=1

b

n

jest zbieżny, to zbieżny jest szereg

∞

X

n=1

a

n

.

Tw.3. (kryterium d’Alemberta) Jeżeli

∞

X

n=1

a

n

jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje

granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g (właściwa lub niewłaściwa), to

1. jeśli 0 ¬ g < 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny;

2. jeśli g > 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny.

Tw.4. (kryterium Cauchy’go) Jeżeli

∞

X

n=1

a

n

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje

granica lim

n→∞

n

√

a

n

= g (właściwa lub niewłaściwa), to

1. jeśli 0 ¬ g < 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny;

2. jeśli g > 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny.

W obu twierdzeniach jeśli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.

1

Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnego znaku

Def Szereg

∞

X

n=1

(−1)

n+1

a

n

, gdzie a

n

> 0 dla n ∈ N nazywamy szeregiem naprzemiennym.

Tw.5. (kryterium Leibniza) Jeżeli (a

n

)

n∈N

jest ciągiem nierosnącym i lim

n→∞

a

n

= 0, to szereg

∞

X

n=1

(−1)

n+1

a

n

jest zbieżny.

Def. Szereg zbieżny

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg

∞

X

n=1

|a

n

|. Jeśli szereg

∞

X

n=1

|a

n

| jest rozbieżny, to dany szereg jest zbieżny warunkowo.

Tw.6. Jeżeli szereg

∞

X

n=1

|a

n

| jest zbieżny, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny (bezwzględnie).

Szeregi potęgowe

Def. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci

∞

X

n=0

a

n

(x − x

0

)

n

= a

0

+ a

1

(x − x

0

) + a

2

(x − x

0

)

2

+ · · · ,

gdzie a

n

∈ R – współczynniki liczbowe, x

0

– ustalona liczba rzeczywista, a x oznacza zmienną.

Dla x

0

= 0 szereg potęgowy ma postać :

∞

X

n=0

a

n

x

n

. Wystarczy rozpatrywać własności szeregów

potęgowych tej postaci.

Uwaga 2. Jeżeli szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest zbieżny w punkcie x = a, to jest zbieżny w przedziale

(−|a|; |a|).

Niech X

df

={x ∈ R :

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest zbieżny}. X 6= ∅, bo 0 ∈ X. Zatem zbiór {|x| : x ∈ X} jest

niepustym podzbiorem R, więc posiada kresy; jego kres dolny jest równy 0, a jego kres górny

oznaczamy przez R i nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=0

a

n

x

n

. Oczywiście

0 ¬ R ¬ +∞.

Uwaga 3. Jeżeli promień zbieżności R jest

1. równy 0, to szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest zbieżny tylko w punkcie x = 0;

2. równy +∞, to szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest zbieżny dla każdego x ∈ R;

2

3. 0 < R < +∞, to szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest zbieżny w przedziale (−R; R) i jest rozbieżny w

zbiorze (−∞; −R) ∪ (R; +∞).

Tw.7 Jeżeli istnieje lim

n→∞






a

n+1

a

n






= λ lub lim

n→∞

n

q

|a

n

| = λ, to promień zbieżności R szeregu

potęgowego

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest równy

R =



















0

,

λ = +∞

1

λ

, 0 < λ < +∞

+∞ ,

λ = 0

3