Wykład siódmy

Całka oznaczona

Zał. f jest funkcją ograniczoną na przedziale ha; bi.
Niech n – ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział ha; bi na n części punktami:

a = x

0

< x

1

< x < . . . < x

n−1

< x

n

= b.

Oznaczmy: ∆x

k

= x

k

− x

k−1

, k = 1, . . . , n oraz δ

n

df

= max ∆x

k

. W ten sposób tworzymy ciąg

podziałów (∆

n

) przedziału ha; bi.

Def. Ciąg podziałów (∆

n

) przedziału ha; bi jest normalny, jeżeli lim

n→+∞

δ

n

= 0.

Niech (∆

n

) – ustalony ciąg podziałów przedziału ha; bi. Przy ustalonym ∆

n

w każdym podprze-

dziale wybieramy dowolnie punkt t

k

∈ hx

k−1

; x

k

i i tworzymy sumę

S

n

=

n

X

k=1

f (t

k

) · ∆x

k

(jeśli f ­ 0 i f – jest ciągła, to S

n

jest liczbowo równa sumie pól prostokątów, wypełniających

obszar między wykresem funkcji f , osią OX i odcinkami prostych x = a , x = b).

a

b

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

y = f

HxL

-2

-1

1

2

X

10

20

30

Y

Def. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (∆

n

) przedziału ha; bi ciąg S

n

jest zbieżny do

tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów t

k

, to wartość tej granicy nazywamy

całką oznaczoną (R-całką, całką Riemanna) funkcji f na przedziale ha; bi i oznaczamy

b

Z

a

f (x)dx

a funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna lub R-całkowalną.
a – dolna granica całkowania, b – górna granica całkowania.

Tw.(WK R –całkowalności) Jeżeli funkcja f jest R –całkowalna na przedziale ha; bi, to jest
ograniczona na tym przedziale.

Tw. (WW R – całkowalności) Jeżeli funkcja f jest ograniczona w ha; bi i ma w tym przedziale
skończoną liczbę punktów nieciągłości, to jest R – całkowalna w ha; bi. W szczególności funkcja
ciągła na ha; bi jest R – całkowalna w tym przedziale.

Wniosek Każda funkcja monotoniczna na przedziale ha; bi jest R – całkowalna na tym prze-
dziale.

Własności R – całki

1. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i A ∈ R, to funkcj |f | i Af są R – całkowalne i

b

Z

a

A · f (x)dx = A ·

b

Z

a

f (x)dx

2. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi, to funkcja f + g jest R – całkowalna na

ha; bi i

b

Z

a

(f (x) + g(x))dx =

b

Z

a

f (x)dx +

b

Z

a

g(x)dx

3. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi, to funkcja f · g jest R – całkowalna na

ha; bi; w szczególności funkcja f

2

jest R – całkowalna.

4. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi, to dla każdego c ∈ (a; b) funkcja f jest R – całkowalna

w przedziałach ha; ci i hc; bi i prawdziwa jest równość

b

Z

a

f (x)dx =

c

Z

a

f (x)dx +

b

Z

c

f (x)dx

5. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i funkcja g różni się od f w przedziale ha; bi tylko w

skończonej liczbie punktów, to

b

Z

a

f (x)dx =

b

Z

a

g(x)dx.

6. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi oraz f (x) ¬ g(x) na tym przedziale, to

b

Z

a

f (x)dx ¬

b

Z

a

g(x)dx

(a) Wniosek 1. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i f ­ 0 na tym przedziale, to

b

Z

a

f (x)dx ­ 0.

(b) Wniosek 2. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi, to








b

Z

a

f (x)dx








¬

b

Z

a

|f (x)|dx

(c) Wniosek 3. Jeżeli m ¬ f (x) ¬ M na przedziale ha; bi i f jest R –całkowalna na tym

przedziale, to

m(b − a) ¬

b

Z

a

f (x)dx ¬ M (b − a)

Rozszerzenie pojęcia R – całki

Jeśli a = b, to

b

Z

a

f (x)dx

df

= 0;

jeśli a > b, to

b

Z

a

f (x)dx

df

= −

a

Z

b

f (x)dx.

Własności 1 – 5 pozostają prawdziwe, pozostałe nie.

Funkcja górnej granicy całkowania

Zał. Funkcja f jest R – całkowalna na przedziale ha; bi i a < b.
Niech α – dowolnie ustalona liczba z tego przedziału. Wówczas dla każdego x ∈ ha; bi funkcja

f jest R – całkowalna na przedziale o końcach α i x, zatem wartość

x

Z

α

f (t)dt jest wyznaczona

jednoznacznie przez x. Można więc określić funkcję F w przedziale ha; bi

F (x)

df

=

x

Z

α

f (t)dt

nazywamy ją funkcją górnej granicy całkowania.

Tw.(I twierdzenie główne rachunku całkowego)Jeżeli funkcja f jest R – całkowalne na

przedziale i liczba α ∈ ha; bi jest dowolnie ustalona, to funkcja F (x)

df

=

x

Z

α

f (t)dt jest ciągła w

przedziale ha; bi.
Ponadto, w każdym punkcie x ∈ α ∈ ha; bi, w którym f (x) jest ciągła funkcja F (x) ma pochodną
i F

0

(x) = f (x).

Wniosek Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale ha; bi, to funkcja F posiada pochodną w tym
przedziale i F

0

(x) = f (x) dla każdego x ∈ ha; bi, tzn. F jest funkcją pierwotną funkcji f w tym

przedziale.

Tw.(II twierdzenie główne rachunku podstawowego) Jeżeli funkcja f jest ciągłą w prze-
dziale o końcach a i b i φ jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale, to

b

Z

a

f (x)dx = φ(b) − φ(a) = φ(x)|

b
a