Wykład dziewiąty

Całki niewłaściwe

Całka niewłaściwa I rodzaju

Zał. a ∈ R – ustalona liczba rzeczywista, f – funkcja R – całkowalna na każdym przedziale
ha; T i , T > a.
Def. Całką niewłaściwą I rodzaju funkcji f na przedziale ha : +∞) nazywamy granicę

lim

T →+∞

T

Z

a

f (x)dx

ozn

=

+∞

Z

a

f (x)dx

Całka niewłaściwa

+∞

Z

a

f (x)dx jest zbieżna, jeśli powyższa granica jest właściwa. Jest rozbieżna

w pozostałych przypadkach.

Zał. a ∈ R – ustalona liczba rzeczywista; funkcja f jest R – całkowalna na każdym przedziale
hT ; ai , T < a. Wówczas można określić całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (−∞; ai:

a

Z

−∞

f (x)dx

df

= lim

T →−∞

a

Z

T

f (x)dx

Zał. Funkcja f jest R – całkowalna na każdym przedziale ograniczonym na prostej R. Wówczas

+∞

Z

−∞

f (x)dx

df

=

a

Z

−∞

f (x)dx +

+∞

Z

a

f (x)dx

gdzie a jest dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą.

Uwaga 1. Całka

+∞

Z

−∞

f (x)dx jest zbieżna ⇔ zbieżne są całki

a

Z

−∞

f (x)dx i

+∞

Z

a

f (x)dx, niezależnie

od siebie.

Tw.1.(kryterium porównawcze) Jeżeli funkcje f i h sa określone na przedziale ha : +∞), R –
całkowalne na każdym przedziale ha : T i , T > a oraz 0 ¬ f (x) ¬ h(x) dla każdego x ∈ ha : +∞),
to

1. jeżeli całka

+∞

Z

a

h(x)dx jest zbieżna, to całka

+∞

Z

a

f (x)dx jest zbieżna.

2. jeżeli całka

Z

+∞

a

f (x)dx jest rozbieżna, to całka

+∞

Z

a

h(x)dx jest rozbieżna.

Twierdzenie 1. pozostaje prawdziwe dla przedziałów (−∞; ai.

1

Całka niewłaściwa II rodzaju

Zał. Funkcja f jest określona w przedziale ha; b), gdzie a < b ∈ R, zmienia się w sposób nie-
ograniczony w lewostronnym sąsiedztwie punktu b i jest R – całkowalna w każdym przedziale
ha; b − i , 0 <  < b − a.
Def. Całką niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale ha; bi nazywamy granicę

lim

→0

+

b−

Z

a

f (x)dx

ozn

=

b

Z

a

f (x)dx

Zał. Funkcja f jest określona w przedziale (a; bi, gdzie a < b ∈ R, zmienia się w sposób nie-
ograniczony w prawostronnym sąsiedztwie punktu a i jest R – całkowalna w każdym przedziale
ha + ; bi , 0 <  < b − a.

Def. Całkę niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale ha; bi nazywamy granicę

lim

→0

+

b

Z

a+

f (x)dx

ozn

=

b

Z

a

f (x)dx

Pojęcia zbieżności oraz rozbieżności dla całek II rodzaju definiujemy analogicznie jak dla całek
I rodzaju.

Uwaga 2.

1

Z

0

dx

x

α

jest zbieżna ⇔ α < 1.

Uwaga 3. Jeżeli istnieją całki niewłaściwe II rodzaju funkcji f na przedziałach ha; ci oraz hc; bi,
to istnieje całka niewłaściwa II rodzaju funkcji f na przedziale ha; bi i zachodzi równość

b

Z

a

f (x)dx =

c

Z

a

f (x)dx +

b

Z

c

f (x)dx

Def. Zbieżną całkę niewłaściwą I rodzaju (odp.II rodzaju) funkcji f nazywamy bezwzględnie
zbieżną, jeśli jest zbieżna całka funkcji |f |. Jeżeli ta ostatnia całka jest rozbieżna, to całka funk-
cji f jest warunkowo zbieżna.

Uwaga 4. Jeżeli całka niewłaściwa funkcji |f | jest zbieżna i f jest R – całkowalna na każdym
odpowiednim podprzedziale przedziału zbieżności, to całka funkcji f jest zbieżna (bezwzględnie).

Szeregi liczbowe

(a

n

)

n∈N

– dowolny ciąg liczbowy (nieskończony);

Definiujemy nowy ciąg (S

n

) o wyrazie ogólnym S

n

df

= a

1

+ · · · + a

n

=

n

X

k=1

a

k

.

Def. Ciąg liczbowy (S

n

) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a

n

i oznaczamy:

∞

X

n=1

a

n

= a

1

+ a

2

+ a

3

+ · · ·

2

Szereg

∞

X

n=1

a

n

nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje granica właściwa S = lim

n→∞

S

n

. W przeciwnym

wypadku szereg jest rozbieżny.

Liczbę S nazywamy sumą szeregu

∞

X

n=1

a

n

, piszemy też S =

∞

X

n=1

a

n

.

Def. Szeregi

∞

X

n=1

a

n

i

∞

X

n=1

b

n

są równe ⇔ a

n

= b

n

dla każdego n ∈ N.

Sumą szeregów

∞

X

n=1

a

n

i

∞

X

n=1

b

n

nazywamy szereg

∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

). Jeżeli oba szeregi są zbieżne i

∞

X

n=1

a

n

= A oraz

∞

X

n=1

b

n

= B, to

∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

) = A + B.

Przyjmujemy ponadto: k ·

∞

X

n=1

a

n

=

∞

X

n=1

k · a

n

dla dowolnej liczby rzeczywistej k.

Tw.1(WK zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny, to lim

n→∞

a

n

= 0.

WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych

Uwaga 1. Jeśli (a

n

­ 0, to ciąg sum (S

n

) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (S

n

) jest zbieżny

wtw gdy jest ograniczony z góry.

Tw.(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę natu-
ralną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale hm; +∞), to szereg liczbowy

∞

X

n=m

f (n) i całka

Z

+∞

m

f (x)dx

są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Tw.2(kryterium porównawcze) Jeżeli

∞

X

n=1

a

n

oraz

∞

X

n=1

b

n

są szeregami o wyrazach nieujemnych

oraz a

n

¬ b

n

dla n > n

0

, to

1. jeżeli szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg

∞

X

n=1

b

n

;

2. jeżeli szereg

∞

X

n=1

b

n

jest zbieżny, to zbieżny jest szereg

∞

X

n=1

a

n

.

3