Wykład jedenasty
Szeregi potęgowe c.d.
W zbiorze tych x – dla których dany szereg potęgowy jest zbieżny, można określić funkcjęS(x),
która jest jego sumą tzn. S(x)
df
=
∞
X
n=0
a
n
x
n
.
Tw.1. Jeżeli R > 0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
a
n
x
n
, to jego suma S(x)
jest funkcją ciągłą w przedziale (−R; R). Ponadto, jeżeli szereg liczbowy
∞
X
n=0
a
n
R
n
jest zbieżny, to
funkcja S(x) jest ciągła (lewostronnie) w punkcie x = R; jeżeli szereg liczbowy
∞
X
n=0
a
n
(−R)
n
jest
zbieżny, to funkcja S(x) jest ciągła (prawostronnie) w punkcie x = −R.
Tw.2 Jeżeli R > 0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
a
n
x
n
, to jego suma S(x)
1. jest funkcją R – całkowalną w przedziale (−R; R) oraz dla każdego x ∈ (−R; R)
Z
x
0
S(t)dt =
Z
x
0
∞
X
n=0
a
n
t
n
!
dt =
∞
X
n=0
Z
x
0
a
n
t
n
dt =
∞
X
n=0
a
n
x
n+1
n + 1
2. jest funkcją różniczkowalną w przedziale (−R; R) oraz dla każdego x ∈ (−R; R)
∞
X
n=0
a
n
x
n
!
0
=
∞
X
n=0
(a
n
x
n
)
0
=
∞
X
n=1
a
n
nx
n−1
przy czym promienie zbieżności otrzymanych nowych szeregów są też równe R.
Szereg Taylora
Zał. x
0
∈ D
f
i w pewnym otoczeniu Q(x
0
; r) funkcja f posiada pochodne wszystkich rzędów
(ozn. f ∈ C
∞
(Q(x
0
; r)) ). Wówczas dla każdej liczby naturalnej n można napisać wzór Taylora
dla funkcji f i punktu x
0
tzn.
f (x) =
n−1
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+
f
(n)
(c)
n!
(x − x
0
)
n
= S
n
(x) + R
n
(x) , c leży między x i x
0
.
Zatem
lim
n→∞
f (x) = f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ lim
n→∞
R
n
(x)
Uwaga 1. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x
0
lim
n→∞
R
n
(x) = 0, to
(?) f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
– szereg Taylora funkcji f w otoczeniu punktu x
0
.
1
Równość ? nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Taylora w otoczeniu punktu x
0
.
Dla x
0
= 0 mamy równość: f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(0)
n!
x
n
– szereg Maclaurina funkcji f .
Uwaga 2. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x
0
funkcja f jest klasy C
∞
i pochodne wszystkich
rzędów są wspólnie ograniczone, to lim
n→∞
R
n
(x) = 0.
Uwaga 3. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x
0
f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
, to a
n
=
f
n
(x
0
)
n!
(tzn.
w otoczeniu punktu x
0
rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora jest jednoznaczne).
Rozwinięcia w szereg Maclaurina najważniejszych funkcji
1. sin x =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
x
2n+1
– prawdziwe dla każdego x ∈ R
2. cos x =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n)!
x
2n
– prawdziwe dla każdego x ∈ R
3. e
x
=
∞
X
n=0
1
n!
x
n
– prawdziwe dla każdego x ∈ R
4.
1
1 − x
=
∞
X
n=0
x
n
– prawdziwe dla każdego x ∈ (−1; 1)
Funkcje wielu zmiennych
Niech n – ustalona liczba naturalna.
Przestrzenią R
n
nazywamy zbiór punktów {(x
1
, . . . , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, . . . , n}. Jeśli punkty
P (x
1
, . . . , x
n
) , P
0
(x
0
1
, . . . , x
0
n
) ∈ R
n
, to ich odległość (ozn.d(P, P
0
) ) określamy wzorem
d(P, P
0
)
df
=
q
(x
1
− x
0
1
)
2
+ . . . + (x
n
− x
0
n
)
2
1. dla n = 1 i P (x) , P (x
0
): d(P, P
0
) = |x − x
0
|
2. dla n = 2 i P (x, y) , P (x
0
, y
0
): d(P, P
0
) =
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
Def. Otoczeniem o promieniu r punktu P
0
(ozn.Q(P
0
; r)) nazywamy zbiór
{P ∈ R
n
: d(P, P
0
) < r}.
1. dla n = 1 Q(x
0
, r) = {x ∈ R : |x − x
0
| < r}
2. dla n = 2 Q((x
0
, y
0
), r) = {(x, y) ∈ R
2
:
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< r}
Def. Sąsiedztwem o promieniu r punktu P
0
(ozn.S(P
0
, ; r)) nazywamy zbiór
{P ∈ R
n
: 0 < d(P, P
0
) < r}.
2
Def. Zbiór D ⊂ R
n
nazywamy zbiorem otwartym, jeśli spełnia warunek
∀ P
0
∈ D ∃ r > 0 (Q(P
0
; r) ⊂ D)
Def. Obszar w R
n
jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można połączyć łamaną
zawartą w tym zbiorze. Obszar jest ograniczony, jeśli zawiera się w pewnym otoczeniu punktu
(0, . . . , 0).
Zbieżność ciągu punktów w R
n
Niech (P
k
) – ciąg punktów w R
n
i P
0
∈ R
n
.
Def. Ciąg punktów (P
k
) jest zbieżny do punktu P
0
(ozn. lim
k→∞
P
k
= P
0
lub P
k
→ P
0
), jeśli
lim
k→∞
d(P
k
, P
0
) = 0.
Uwaga 1. lim
k→∞
P
k
(x
k
1
, . . . , x
k
n
) = P
0
(x
1
, . . . , x
0
n
) ⇔ ∀ 1 ¬ i ¬ n lim
k→∞
x
k
i
= x
0
i
.
Niech D ⊂ R
2
, funkcja f : D → R jest określona w pewnym sąsiedztwie S punktu (x
0
, y
0
) .
Def. Liczba g jest granicą podwójną funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) (ozn.
lim
(x,y)→(x
0
, y
0
)
f (x, y) = g
lub
lim
x→x0
y→y0
f (x, y) = g), jeśli spełniony jest warunek:
^
((xn,yn))⊂S
(xn,yn)6=(x0,y0)
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
) ⇒ lim
n→∞
f (x
n
, y
n
) = g
definicja Heinego
Niech D ⊂ R
2
, funkcja f : D → R jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) .
Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie (x
0
, y
0
), jeśli
lim
(x,y)→(x
0
, y
0
)
f (x, y) = f (x
0
, y
0
).
Funkcja f jest ciągła w zbiorze, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
anl1 w12 lato2009
anl1 w02 lato2009 id 65271 Nieznany (2)
anl1 w03 lato2009
anl1 w13 lato2009
anl1 w10 lato2009
anl1 w09 lato2009
anl1 w04 lato2009 id 65274 Nieznany (2)
anl1 w06 lato2009
anl1 w14 lato2009
anl1 w07 lato2009
anl1 w12 lato2009
anl1 w11 zima2013
więcej podobnych podstron