Wykład dwunasty

Pochodne cząstkowe

Zał. n ­ 2 , f : D → R , D ⊂ R

n

, i – ustalona liczba naturalna, 1 ¬ i ¬ n. Wybieramy punkt

P

0

, P ∈ D, przy czym tylko i – te współrzędne tych punktów są różne.

Def. Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x

i

w punkcie P

0

(ozn.

∂f

∂x

i

|

P

0

) nazywamy

wartość granicy właściwej

∂f

∂x

i

|

P

0

df

= lim

∆x

i

→0

f (P ) − f (P

0

)

∆x

i

Dla n = 2 można więc określić dwie pochodne cząstkowe:

∂f

∂x

|

P

0

oraz

∂f

∂y

|

P

0

.

Niech P

0

(x

0

, y

0

). Wówczas

∂f

∂x

|

(x

0

,y

0

)

= lim

∆x→0

f (x

0

+ ∆x, y

0

) − f (x

0

, y

0

)

∆x

i

∂f

∂y

|

(x

0

,y

0

)

= lim

∆y→0

f (x

0

, y

0

+ ∆y) − f (x

0

, y

0

)

∆y

Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f istnieją w każdym punkcie zbioru D, to można mówić o

funkcjach pochodnych cząstkowych:

∂f

∂x

oraz

∂f

∂y

- to są funkcje dwóch zmiennych.

Uwaga 1. Pochodne cząstkowe funkcji względem różnych zmiennych istnieją niezależnie od sie-
bie.
Uwaga 2. Ciągłość funkcji nie jest WK istnienia pochodnych cząstkowych.
Uwaga 3. Ciągłość funkcji nie jest WW istnienia pochodnych cząstkowych.

Def. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f są to pochodne cząstkowe pochodnych cząst-

kowych

∂f

∂x

i

, i = 1, . . . , n. Oznaczenia

∂f

∂x

j

∂f

∂x

i

!

ozn

=

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

dla i 6= j oraz

∂

2

f

∂x

2

j

dla i = j.

Podobnie określamy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.

Tw.(Schwarza) Jeżeli funkcja f ma w pewnym obszarze D ⊂ R

n

n ­ 2 ciągłe pochodne mie-

szane drugiego rzędu

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

oraz

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

, to są równe w tym obszarze.

C

m

(D) oznacza zbiór wszystkich funkcji, które na obszarze D mają ciągłe pochodne cząstkowe

do m – tego rzędu włącznie.

Ekstremum funkcji

Niech f : D → R , D ⊂ R

n

, n ­ 1. Niech P

0

∈ D będzie punktem wewnętrznym zbioru D.

1

Def. Funkcja f ma w punkcie P

0

minimum lokalne (odp. maksimum lokalne), jeśli istnieje

sąsiedztwo S punktu P

0

takie, że

∀P ∈ S f (P ) ¬ f (P )

(odp.∀P ∈ S f (P ) ­ f (P ))

Jeżeli w definicji jest nierówność ostra, to mówimy o minimum (odp.maksimum) właściwym.
Funkcja f ma w punkcie P

0

ekstremum, jeśli ma w tym punkcie minimum lub maksimum.

Uwaga 4. Funkcja f ma w punkcie P

0

ekstremum, jeśli w pewnym otoczeniu Q tego punktu

przyrost ∆f = f (P ) − f (P

0

) ma stały znak.

Tw.(WK istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie P

0

ekstremum i istnieją pochodne

cząstkowe pierwszego rzędu

∂f

∂x

i

|P

0

, i = 1, . . . n, to

∂f

∂x

i

|P

0

= 0 dla każdego i = 1, . . . n.

Uwaga 5. Ekstremum funkcji f poszukujemy wśród takich punktów P

0

, że

∂f

∂x

i

|P

0

= 0 dla

każdego i = 1, . . . n , lub

∂f

∂x

i

|P

0

nie istnieje dla co najmniej jednego i.

Punkt P

0

taki, że

∂f

∂x

i

|P

0

= 0 dla i = 1, . . . n nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f .

Tw. (WW istnienia ekstremum dla n = 2) Jeżeli funkcja f jest klasy C

2

(Q(x

0

, y

0

); r) oraz

1.

∂f

∂x

|(x

0

, y

0

) =

∂f

∂y

|(x

0

, y

0

) = 0,

2. W (x

0

, y

0

) =











∂

2

f

∂x

2

∂

2

f

∂y∂x

∂

2

f

∂x∂y

∂

2

f

∂y

2











|(x

0

,y

0

)

> 0

to funkcja f ma w punkcie W (x

0

, y

0

) ekstremum właściwe: maksimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

|(x

0

, y

0

) < 0;

minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

|(x

0

, y

0

) > 0.

Uwaga 6. Jeśli spełnione są dwa pierwsze założenia poprzedniego tw., ale W (x

0

, y

0

) < 0, to w

punkcie W (x

0

, y

0

) funkcja f nie ma ekstremum.

Pochodne funkcji złożonych

Niech D

1

⊂ R

m

, D

2

⊂ R

n

n, m ∈ N; oraz określone są funkcje: x : D

1

→ D

2

, f : D

2

→ R.

1. n = m = 1 , f (x(t)) – funkcja jednej zmiennej i (f (x(t)))

0

= f

0

(x(t)) · x

0

(t);

2. n ­ 1, m = 1 , f (x

1

(t), . . . , x

n

(t)) – funkcja jednej zmiennej;

3. n = 1, m ­ 2 , f (x(t

1

, . . . , t

m

)) – funkcja m zmiennych;

2

4. n ­ 2, m ­ 2 , f (x

1

(t

1

, . . . , t

m

), . . . , x

n

(t

1

, . . . , t

m

)) – funkcja m zmiennych.

Tw.1 Jeżeli funkcja f (x

1

, . . . , x

n

) jest klasy C

1

(D

2

) oraz funkcje x

1

(t), . . . , x

n

(t) posiadają w

przedziale (α; β) pochodne x

0
1

(t), . . . , x

0
n

(t), to funkcja złożona z(t)

df

= f (x

1

(t), . . . , x

n

(t)) posiada

pochodną z

0

(t) w przedziale (α; β) i zachodzi równość

z

0

(t) =

∂f

∂x

1

· x

0
1

(t) + · · · +

∂f

∂x

n

· x

0
n

(t)

Tw.2 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f (x) jest klasy C

1

((α; β)) i

funkcja x(t

1

, . . . , t

m

) posiada pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D

1

, to funkcja złożona

z(t

1

, . . . , t

m

)

df

= f (x(t

1

, . . . , t

m

)) ma pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D

1

i prawdziwe są

wzory

∂z

∂t

i

= f

0

(x(t

1

, . . . , t

m

)) ·

∂x

∂t

i

,

i = 1, . . . , m

Tw.3 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f (x

1

, . . . , x

n

) jest klasy C

1

(D

2

)

i funkcje x

1

(t

1

, . . . , t

m

), . . . , x

n

(t

1

, . . . , t

m

) posiadają pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D

1

,

to funkcja złożona z(t

1

, . . . , t

m

)

df

= f (x

1

(t

1

, . . . , t

m

), . . . , x

n

(t

1

, . . . , t

m

)) posiada pochodne cząst-

kowe I rzędu w obszarze D

1

i prawdziwe są wzory

∂z

∂t

i

=

∂f

∂x

1

·

∂x

1

∂t

i

+ · · · +

∂f

∂x

n

·

∂x

n

∂t

i

, i = 1, . . . , m

3