Wykład trzeci
Pochodna funkcji
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x
0
; ∆x 6= 0 – przyrost argumentu
x taki, że x
0
+ ∆x ∈ O.
Ułamek:
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy ilorazem różnicowym.
Def. Liczbę lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy
przez f
0
(x
0
).
Pochodne jednostronne (obliczane przy pomocy odpowiednich granic jednostronnych) funkcji f
oznaczamy przez: f
0
(x
−
0
) , f
0
(x
+
0
).
Interpretacja geometryczna Równanie siecznej wykresu f przechodzącej przez punkty (x
0
, f (x
0
))
(x
0
+ ∆x, f (x
0
+ ∆x)) ma postać y − f (x
0
) =
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
· (x − x
0
).
Granicznym położeniem tej siecznej (∆x → 0) jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)). Jeśli f
0
(x
0
) istnieje, to równanie tej stycznej: y − f (x
0
) = f
0
(x
0
) · (x − x
0
).
Α
Hx
0
, f
Hx
0
LL
Hx
0
+ Dx, f
Hx
0
+ Dx
LL
Α
Dx
y = f
HxL
sieczna
styczna
-1
1
2
3
4
X
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Y
Uwaga 1 Jeżeli lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
jest niewłaściwa, to styczną do wykresu f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)) jest prosta x = x
0
.
Int. fizyczna Jeżeli s(t) oznacza drogę zależną od czasu t, to iloraz różnicowy
s(t
0
+ ∆t) − s(t
0
)
∆t
przedstawia prędkość średnią ruchu między chwilami t
0
i t
0
+ ∆t, a s
0
(t
0
) - prędkość w chwili t
0
.
1
styczna do wykresu
w punkcie (1,0)
0.5
1.0
1.5
X
-1.0
-0.5
0.5
Y
Funkcję f
0
nazywamy pochodną funkcji f .
Wzory na pochodne podstawowych funkcji elementarnych
(f ± g)
0
= f
0
± g
0
; (f · g)
0
= f
0
· g + f · g
0
;
f
g
!
0
=
f
0
· g − g
0
· f
g
2
, g 6= 0
(c)
0
= 0 ; (x
α
)
0
= αx
α−1
, α 6= 0 ; (sin x)
0
= cos x ; (cos x)
0
= − sin x
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x ; (ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
; (a
x
)
0
= a
x
· ln a ; (e
x
)
0
= e
x
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji: f (x) = c , c ∈ R, f (x) = x
n
, n ∈ N,
f (x) = a
x
, a > 0 ∧ a 6= 1, f (x) = sin x.
Tw. Jeżeli f
0
(x
0
) istnieje, to funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
(WK istnienia pochodnej).
lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
· ∆x = 0
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ściśle monotoniczna i posiada po-
chodną f
0
(x) 6= 0, to funkcja odwrotna f
−1
posiada pochodną i prawdziwy jest wzór
(f
−1
(y))
0
=
1
f
0
(x)
, gdzie y = f (x)
2
Α
Α
Β
y = g
HxL
y = x
y = f
HxL
x
0
y
0
y
0
x
0
0.5
1.0
X
0.5
1.0
Y
f
0
(x
0
) = tg α, g
0
(y
0
) = tg β, tg β = ctg α =
1
tg α
Dalsze wzory na pochodne:
(ln x)
0
=
1
x
; (arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
; (arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
;
(arctg x)
0
=
1
x
2
+ 1
; (arcctg x)
0
= −
1
x
2
+ 1
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji: f (x) = ln x, f (x) = arcsin x.
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x i funkcja g ma
pochodną w punkcie y = f (x), to funkcja złożona g ◦ f ma pochodną w punkcie x i prawdziwy
jest wzór
(g ◦ f )
0
(x) = g
0
(f (x)) · f
0
(x)
Uwaga Powyższy wzór można stosować wielokrotnie.
Pochodne wyższych rzędów
Zał. f
0
jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Def. Granicę właściwą lim
∆x→0
f
0
(x
0
+ ∆x) − f
0
(x
0
)
∆x
nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji f
w punkcie x
0
i oznaczamy przez f
00
(x
0
).
f
00
– funkcja drugiej pochodnej funkcji f .
Ogólnie określamy pochodną n – tego rzędu funkcji f jako: f
(n)
(x)
df
=
f
(n−1)
(x)
0
, n = 2, 3, . . ..
Uwaga Jeżeli funkcja f ma pochodną n–tego rzędu, to ma pochodne wszystkich rzędów niższych
niż n.
3
Tw. de l’Hospitala
Tw. Jeżeli funkcje
f
h
oraz
f
0
h
0
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x
0
oraz
1. lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = 0 lub | lim
x→x
0
h(x)| = +∞ ;
2. istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
h
0
(x)
( właściwa lub niewłaściwa)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
h(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
h
0
(x)
.
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w nieskończoności.
Twierdzenie pozwala obliczyć wartości tzw. ”symboli nieoznaczonych” czyli granic typu:
0/0 , ∞/∞ , 0 · ∞ , ∞ − ∞ , 1
∞
, ∞
0
, 0
0
.
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
anl1 w11 lato2009
anl1 w12 lato2009
anl1 w02 lato2009 id 65271 Nieznany (2)
anl1 w13 lato2009
anl1 w10 lato2009
anl1 w09 lato2009
anl1 w04 lato2009 id 65274 Nieznany (2)
anl1 w06 lato2009
anl1 w03 zima2012 id 65273 Nieznany (2)
anl1 w14 lato2009
anl1 w07 lato2009
anl1 w11 lato2009
anl1 w12 lato2009
więcej podobnych podstron