1
WYKŁAD 11+12
Przestrzeń R
2
Przestrzenią R
2
nazywamy zbiór punktów
{(x, y) : x, y ∈ R}
Jeśli punkty P (x, y) , P
0
(x
0
, y
0
) ∈ R
2
, to ich
odległość
(ozn.d(P, P
0
) ) określamy wzorem
d(P, P
0
)
df
=
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
Definicja 1.
Otoczeniem o promieniu
r punktu P
0
(ozn.Q(P
0
; r)) nazywamy zbiór
{P ∈ R
2
: d(P, P
0
) < r} = {(x, y) ∈ R
2
:
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< r}.
X
Y
0
(x ,y )
0
0
r
Definicja 2.
Sąsiedztwem o promieniu
r punktu P
0
(ozn.S(P
0
; r)) nazywamy zbiór
{P ∈ R
2
: 0 < d(P, P
0
) < r}.
X
Y
0
(x ,y )
0
0
r
2
Definicja 3. Punkt P
0
∈ D ⊂ R
2
jest
punktem wewnętrznym
zbioru D, jeżeli zbiór D
zawiera pewne otoczenie punktu P
0
.
X
Y
0
(x ,y )
0
0
D
Definicja 4. Zbiór D ⊂ R
2
nazywamy zbiorem
otwartym
, jeśli każdy jego punkt jest punk-
tem wewnętrznym zbioru D.
Definicja 5.
Obszar
w R
2
jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można
połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.
X
Y
0
Rysunek 1: Zbiór jest obszarem
X
Y
0
Rysunek 2: Zbiór nie jest obszarem
3
Funkcje dwóch zmiennych
Definicja 6. Funkcję f : D → R, gdzie D ⊂ R
2
, nazywamy funkcją dwóch zmiennych x , y.
Wartość funkcji f w punkcie P (x, y) oznaczamy przez f (x, y) lub f (P ).
Definicja 7.
Wykresem funkcji
f : D → R, gdzie D ⊂ R
2
, nazywamy zbiór
{(x, y, z) ∈ R
3
: z = f (x, y) ∧ (x, y) ∈ D}
Przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych
Y
X
Z
x + y + z = 1
1
1
1
0
Rysunek 3: Wykres funkcji z = 1 − x − y
X
Z
1
1
0
z = x + y
Y
1
2
2
Rysunek 4: Wykres funkcji z =
√
x
2
+ y
2
X
Z
1
1
0
z = x + y
Y
1
2
2
z = 4
4
Rysunek 5: Wykres funkcji z = x
2
+ y
2
4
X
Z
1
1
0
z = 4 - x - y
Y
1
2
2
2
2
2
Rysunek 6: Wykres funkcji z =
√
4 − x
2
− y
2
Granica funkcji dwóch zmiennych
Niech (P
n
(x
n
, y
n
)) – ciąg punktów w R
2
i P
0
(x
0
, y
0
) ∈ R
2
.
Definicja 8. Ciąg punktów (P
n
) jest
zbieżny
do punktu P
0
(ozn. P
n
→ P
0
lub lim
n→∞
P
n
= P
0
lub lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
)), jeśli
lim
n→∞
d(P
n
, P
0
) = 0
Uwaga 1. lim
n→∞
P
n
= P
0
⇔ lim
n→∞
x
n
= x
0
i lim
n→∞
y
n
= y
0
.
Załóżmy, że funkcja f : D → R, D ⊂ R
2
, jest określona w pewnym sąsiedztwie S punktu
(x
0
, y
0
).
Definicja 9. Liczba g jest
granicą podwójną
funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) (ozn. lim
x→x0
y→y0
f (x, y) = g
lub
lim
(x,y)→(x
0
, y
0
)
f (x, y) = g ), jeśli spełniony jest warunek:
∀((x
n
, y
n
)) ⊂ S
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
) ⇒ lim
n→∞
f (x
n
, y
n
) = g
Załóżmy, że funkcja f : D → R, D ⊂ R
2
, jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x
0
, y
0
).
Definicja 10. Funkcja f jest
ciągła w punkcie
(x
0
, y
0
), jeśli
lim
(x,y)→(x
0
, y
0
)
f (x, y) = f (x
0
, y
0
)
Funkcja f jest
ciągła w zbiorze
, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
5
Pochodne cząstkowe
Zał. f : D → R , D ⊂ R
2
. Wybieramy i ustalamy punkt P
0
(x
0
, y
0
) ∈ D oraz dowolny punkt
P ∈ D taki, że P różni się od P
0
tylko na jednej współrzędnej.
Definicja 11.
Pochodną cząstkową
funkcji f względem zmiennej x w punkcie P
0
(ozn.
∂f
∂x
(P
0
)
lub
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) ) nazywamy wartość granicy właściwej
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)
df
= lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
∆x
;
Definicja 12.
Pochodną cząstkową
funkcji f względem zmiennej y w punkcie P
0
(ozn.
∂f
∂y
(P
0
)
lub
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)) nazywamy wartość granicy właściwej
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)
df
= lim
∆y→0
f (x
0
, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
∆y
;
Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f istnieją w każdym punkcie zbioru D, to można mówić o
funkcjach pochodnych cząstkowych
:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
– są to funkcje dwóch zmiennych.
Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych polega na tym, że jedną
zmienną traktujemy jako stałą i obliczamy pochodną funkcji ze względu na drugą zmien-
ną; wówczas możemy korzystać ze wzorów i reguł obliczania pochodnych dla funkcji jednej
zmiennej.
Uwaga 2. Pochodne cząstkowe funkcji względem różnych zmiennych istnieją niezależnie od
siebie.
Uwaga 3. Ciągłość funkcji nie jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnych cząstko-
wych.
Uwaga 4. Ciągłość funkcji nie jest warunkiem wystarczającym istnienia pochodnych cząst-
kowych.
Definicja 13.
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
funkcji f są to pochodne cząstkowe po-
chodnych cząstkowych
∂f
∂x
i
∂f
∂y
Oznaczamy je następująco
∂
∂x
∂f
∂x
!
ozn
=
∂
2
f
∂x
2
,
∂
∂y
∂f
∂y
!
ozn
=
∂
2
f
∂y
2
, ,
∂
∂x
∂f
∂y
!
ozn
=
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
∂y
∂f
∂x
!
ozn
=
∂
2
f
∂y∂x
Dwie ostatnie pochodne cząstkowe drugiego rzędu nazywamy pochodnymi mieszanymi, róż-
nią się kolejnością obliczania pochodnych.
Podobnie określamy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
6
Twierdzenie 1. (Schwarza) Jeżeli funkcja f ma w pewnym obszarze D ⊂ R
2
ciągłe pochod-
ne mieszane drugiego rzędu
∂
2
f
∂x∂y
i
∂
2
f
∂y∂x
, to są one równe w tym obszarze.
C
m
(D) oznacza zbiór wszystkich funkcji, które w obszarze D mają ciągłe pochodne cząstko-
we do m – tego rzędu włącznie.
Niech f : D → R , D ⊂ R
2
; P
0
∈ D – punkt wewnętrzny zbioru D.
Definicja 14. Funkcja f ma w punkcie P
0
minimum lokalne
(odp.
maksimum lokalne
), jeśli
istnieje sąsiedztwo S punktu P
0
takie, że
∀P ∈ S [f (P
0
) ¬ f (P )]
(odp.∀P ∈ S [f (P
0
) f (P )])
Funkcja f ma w punkcie P
0
ekstremum
, jeśli ma w tym punkcie minimum lub maksimum.
Uwaga 5. Funkcja f ma w punkcie P
0
ekstremum, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu
przyrost ∆f = f (P ) − f (P
0
) ma stały znak.
Twierdzenie 2. (WK istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie P
0
ekstremum
i istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
∂f
∂x
(P
0
) i
∂f
∂y
(P
0
), to są one równe zero.
Uwaga 6. Ekstremum funkcji f poszukujemy wśród takich punktów P
0
, że
∂f
∂x
(P
0
) =
=
∂f
∂y
(P
0
) = 0 lub co najmniej jedna z pochodnych cząstkowych
∂f
∂x
(P
0
),
∂f
∂y
(P
0
) nie istnieje.
Punkt P
0
taki, że
∂f
∂x
(P
0
) =
∂f
∂y
(P
0
) = 0 nazywamy
punktem stacjonarnym
funkcji f .
Twierdzenie 3. (WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest klasy C
2
(Q((x
0
, y
0
); r))
oraz
1.
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = 0,
2. W (x
0
, y
0
) =
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y∂x
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)
> 0
to funkcja f ma w punkcie (x
0
, y
0
) ekstremum właściwe:
– maksimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) < 0;
– minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) > 0.
Uwaga 7. Jeśli spełnione są dwa pierwsze założenia twierdzenia 3. i W (x
0
, y
0
) < 0, to w
punkcie (x
0
, y
0
) funkcja f nie ma ekstremum.
7
Dodatek
Pochodna przekształcenia
Niech g : D → R
2
, gdzie D ⊂ R
2
, tzn. dla t = (t
1
, t
2
) i g = (g
1
, g
2
):
g(t) = (g
1
(t
1
, t
2
), g
2
(t
1
, t
2
))
Określamy pochodną przekształcenia g(t) jako macierz (ozn.g
0
(t)):
g
0
(t)
df
=
∂g
1
∂t
1
∂g
1
∂t
2
∂g
2
∂t
1
∂g
2
∂t
2
.
Podobnie:
Dla g : P → R
2
, gdzie P ⊂ R, g
0
(t)
df
=
"
g
0
1
(t)
g
0
2
(t)
#
, g = (g
1
, g
2
).
Dla g : D → R, gdzie D ⊂ R
2
, g
0
(t)
df
=
"
∂g
∂t
1
∂g
∂t
2
#
, t = (t
1
, t
2
).
We wszystkich wzorach zakłada się, że odpowiednie pochodne istnieją.
Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej
P ⊂ R , D
2
⊂ R
2
. Dane są funkcje: (x, y) : P → D
2
oraz f : D
2
→ R;
Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f (x, y) jest klasy C
1
(D
2
) i funkcje x(t), y(t) posiadają po-
chodne x
0
(t), y
0
(t), to funkcja złożona z(t)
df
= f (x(t), y(t)) posiada pochodną z
0
(t) i prawdziwy
jest wzór
z
0
(t) =
"
∂f
∂x
∂f
∂y
#
·
"
x
0
(t)
y
0
(t)
#
D
1
⊂ R
2
, D
2
⊂ R
2
. Dane są funkcje: (x, y) : D
1
→ D
2
oraz f : D
2
→ R;
Twierdzenie 5. Jeżeli funkcja f (x, y) jest klasy C
1
(D
2
) i funkcje x(t
1
, t
2
), y(t
1
, t
2
) posia-
dają pochodne cząstkowe I rzędu, to funkcja złożona z(t
1
, t
2
)
df
= f (x(t
1
, t
2
), y(t
1
, t
2
)) posiada
pochodne cząstkowe I rzędu i prawdziwy jest wzór
z
0
(t) =
"
∂z
∂t
1
∂z
∂t
2
#
=
"
∂f
∂x
∂f
∂y
#
·
∂x
∂t
1
∂x
∂t
2
∂y
∂t
1
∂y
∂t
2
Zatem
∂z
∂t
1
=
∂f
∂x
·
∂x
∂t
1
+
∂f
∂y
·
∂y
∂t
1
∂z
∂t
2
=
∂f
∂x
·
∂x
∂t
2
+
∂f
∂y
·
∂y
∂t
2