! #"%$'&)()*)+,-,.

Na rozwia

/

zanie wszystkich zada´

n jest 90 minut

Rozwia

/

zania r´

o˙znych zada´

n maja

/

znale´

z´

c sie

/

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

/

cego, jego nr.

indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

/

cej ´

cwiczenia i nr. grupy ´

cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

/

dze´

n elektronicz-

nych; je´

sli kto´

s ma, musza

/

by´

c schowane i wy la

/

czone!

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

/

na twierdzenia, kt´

ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1.

Niech A =





−1

1

0

0 −1

1

0

0 −1





, A

T

=





−1

0

0

1 −1

0

0

1 −1





, ~e

1

=

1
0

0

, ~e

2

=

0
1

0

, ~e

3

=

0
0

1

i ~0 =

0
0

0

.

Znale´z´c macierz B = A · A

T

i det(B) .

Znale´z´c punkty p

1

= B~e

1

, p

2

= B~e

2

, p

3

= B~e

3

.

Znale´z´c obje

/

to´s´c czworo´scianu o wierzcho lkach 0 , p

1

, p

2

i p

3

.

2.

Niech C =





1 −1

0

−1

2 −1

0 −1

2





. Znale´z´c macierz C

−1

.

3.

Rozwia

/

za´c uk lad r´

owna´

n

(

3x + 2y + z = 1,
2x + 2y + z = 2,

x

+ y + z = 3.

Wolno skorzysta´

c z wynik´

ow uzyskanych w kt´

orym´

s z poprzednich zada´

n,

je´sli sie

/

uda.

4.

Znale´z´c f

0

(x) , je´sli f (x) = sin(2

√

3x

2

− x + 1 − 3) .

Znale´z´c g

0

(x) oraz g

0

(0) , je˙zeli g(0) = 0 i g(x) = x

2

cos e

1

/x

dla x 6= 0 .

5.

Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby x > 0 zachodzi nier´

owno´s´c 6xe

x

2

+ sin x > 7x oraz ˙ze istnieje liczba

δ ∈ 0,

π

2

taka, ˙ze je´sli 0 < x < δ , to 6xe

x

2

+ sin x < 7,1 x .

6.

W Grodzie Kaczym, na rogu prostopad lych ulic Kaczora Wielkiego i Kaczora Wspania lego stoi budy-

nek w kszta lcie prostopad lo´scianu. ´

Sciana budynku r´

ownoleg la do ulicy Kaczora Wielkiego ma 64 m

d lugo´sci a ´sciana r´

ownoleg la do ulicy Kaczora Wspania lego ma 27 m d lugo´sci. Pozosta le ´sciany granicza

/

z ogromnym, betonowym placem. Kaczka Dziwaczka idzie nad rzeczke

/

najpierw trawnikiem ulica

/

Kaczora

Wielkiego, a potem ma skre

/

ci´c w ulice

/

Kaczora Wspania lego. Musi jednak przej´s´c obok tego wielkiego

budynku, by ui´sci´c op late

/

klimatyczna

/

w kasie, kt´

ora jest ulokowana we wzmiankowym budynku, w jego

rogu od strony betonowego placu tj. tym, kt´

ory nie sa

/

siaduje z ˙zadna

/

z ulic. Jest ju˙z zme

/

czona, wie

/

c chce

skr´

oci´c droge

/

ida

/

c przez plac. W jakiej odleg lo´sci od skrzy˙zowania powinna wej´s´c Kaczka Dziwaczka na

betonowy plac, by ida

/

c prosto, przez betonowy plac przej´s´c po nim jak najkr´

otszy odcinek nie omijaja

/

c

kasy ?

Nale˙zy zak lada´

c, ˙ze trawniki na obu ulicach sa

/

prostoliniowe i sa

/

siaduja

/

ze ´scianami naro˙znego domu

oraz ˙ze obie ulice sa

/

bardzo d lugie.

Mo ˙ze warto co´

s narysowa´

c.