WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 12 - odpowiedzi

Klasy I

12. W 16 kg nasion znajduje się 10 % zanieczyszczeń. Ile kilogramów zanieczyszczeń trzeba usunąć, aby stanowiły one tylko 4%?

Odp. Oznaczmy przez
- ilość zanieczyszczeń (w kg), które trzeba usunąć.

Pierwotnie nasiona zawierały: 10% z 16 kg = 0,10∙16=1,6 kg zanieczyszczeń.

Po usunięciu x kg zanieczyszczeń zostało:
kg zboża, wśród których znajdowało się
kg zanieczyszczeń.

Wiemy, że: 4% z
=
.

Odp. Trzeba usunąć 1 kg zanieczyszczeń.

Klasy II

12. Spośród trojga uczniów, których imiona umieszczono na kartach wyborczych, ma być wybrana dwuosobowa reprezentacja do samorządu szkoły. Głos jest ważny, jeśli na karcie wyborczej pozostały nieskreślone dokładnie dwa imiona. W wyborach oddano 37 głosów i wszystkie były ważne. Ania otrzymała o 10 głosów więcej niż Bernard i o 12 głosów więcej niż Celina. Na ilu kartach wyborczych było skreślone imię Ani?

Odp. Oznaczmy przez
- ilość głosów oddanych na Anię.

Bernard otrzymał o 10 głosów mniej niż Ania, czyli otrzymał
głosów.

Celina otrzymała o 12 głosów mniej niż Ania, czyli otrzymała
głosów.

Łącznie oddano
głosów, stąd równanie:






.

Na 32 kartach imię Ani było nieokreślone, czyli było skreślone na
kartach.

Odp. Imię Ani było skreślone na 5 kartach.

Klasy III

12. Uzasadnij, że jeśli
, to
.

Odp. Niech
,
,
,
dowolne liczby rzeczywiste takie, że
.

Po wykonaniu działań otrzymujemy równoważne równanie:

Jedynym miejscem zerowym funkcji
jest 0 (innymi słowy skoro kwadrat liczby jest równy 0, to ta liczba musi być równa 0), stąd:

Co należało udowodnić

---