WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY
LIGA ZADANIOWA
etap 9 - odpowiedzi
Klasy I
9. Trójkąt o bokach
,
,
podzielono prostą równoległą do boku
na dwie części o równych polach. Obliczyć długości boków otrzymanych figur.
Odp.
„Mały” trójkąt jest podobny do „dużego” trójkąta w skali
. Wynika to z kryterium kąt - kąt.
Stąd
. Wiadomo, że
. Stąd
. Czyli
.
Podobnie:
, czyli
i
, czyli
.
Odp. Otrzymaliśmy trójkąt o bokach długości:
,
,
i trapez o bokach długości: 8,
,
,
.
Klasy II
9. W koszu jest 16 owoców. Są tam jabłka, gruszki i pomarańcze. Pomarańcz jest co najmniej tyle ile jabłek, a jabłek jest więcej niż gruszek. Jeżeli z tego kosza wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch rodzajów. Gdybyśmy zaś, zamiast 9, wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce wszystkich trzech rodzajów. Ile w tym koszu mogło być pomarańcz, ile jabłek, a ile gruszek? Jeżeli jest więcej niż jedno rozwiązanie, to podać liczbę rozwiązań oraz to rozwiązanie, w którym liczba pomarańcz jest największa.
Odp.
Oznaczmy przez:
- ilość jabłek,
- ilość gruszek,
- ilość pomarańczy.
Wiadomo, że:
i
.
Jeżeli z tego kosza wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch rodzajów. Wynika stąd, że:
i
i
.
Gdybyśmy zaś wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce wszystkich trzech rodzajów. Wynika stąd, że:
i
i
.
. Stąd
oraz
|
|
|
wniosek |
3 |
4 |
9 |
Sprzeczność: |
|
5 |
8 |
|
|
6 |
7 |
|
4 |
5 |
7 |
|
|
6 |
6 |
|
5 |
6 |
5 |
Sprzeczność: |
Odp. 4 rozwiązania. 3 gruszki, 5 jabłek, 8 pomarańczy.
Klasy III
9. W okręgu obieramy średnicę
i równoległą do niej cięciwę
. Udowodnić, że w trójkącie ACD różnica kątów przy wierzchołkach
i
jest kątem prostym.
Odp.
1. Wykażę, że trapez ABDC jest równoramienny.
Trójkąty AOC, BDO, DCO są równoramienne. W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi
.
co należało udowodnić
2. Wykażę, że różnica kątów przy wierzchołkach
i
jest kątem prostym.
Kąt pisany oparty na średnicy jest prosty:
W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi
:
Trapez ABDC jest równoramienny:
co należało udowodnić.
8
6
4
x
y
z
A
B
C
D
D
C
B
A
O
1)
2)