Liga zadaniowa 9 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa


WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 9 - odpowiedzi

Klasy I

9. Trójkąt o bokach 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
podzielono prostą równoległą do boku 0x01 graphic
na dwie części o równych polach. Obliczyć długości boków otrzymanych figur.

0x08 graphic
0x01 graphic

Odp.

„Mały” trójkąt jest podobny do „dużego” trójkąta w skali 0x01 graphic
. Wynika to z kryterium kąt - kąt.

Stąd 0x01 graphic
. Wiadomo, że 0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Czyli 0x01 graphic
.

Podobnie: 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
i

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
.

Odp. Otrzymaliśmy trójkąt o bokach długości: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i trapez o bokach długości: 8, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Klasy II

9. W koszu jest 16 owoców. Są tam jabłka, gruszki i pomarańcze. Pomarańcz jest co najmniej tyle ile jabłek, a jabłek jest więcej niż gruszek. Jeżeli z tego kosza wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch rodzajów. Gdybyśmy zaś, zamiast 9, wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce wszystkich trzech rodzajów. Ile w tym koszu mogło być pomarańcz, ile jabłek, a ile gruszek? Jeżeli jest więcej niż jedno rozwiązanie, to podać liczbę rozwiązań oraz to rozwiązanie, w którym liczba pomarańcz jest największa.

Odp.

Oznaczmy przez: 0x01 graphic
- ilość jabłek, 0x01 graphic
- ilość gruszek, 0x01 graphic
- ilość pomarańczy.

Wiadomo, że: 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Jeżeli z tego kosza wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch rodzajów. Wynika stąd, że: 0x01 graphic
i 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Gdybyśmy zaś wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce wszystkich trzech rodzajów. Wynika stąd, że: 0x01 graphic
i 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

wniosek

3

4

9

Sprzeczność: 0x01 graphic

5

8

6

7

4

5

7

6

6

5

6

5

Sprzeczność: 0x01 graphic

Odp. 4 rozwiązania. 3 gruszki, 5 jabłek, 8 pomarańczy.

Klasy III

9. W okręgu obieramy średnicę 0x01 graphic
i równoległą do niej cięciwę 0x01 graphic
. Udowodnić, że w trójkącie ACD różnica kątów przy wierzchołkach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
jest kątem prostym.

Odp.

0x08 graphic
0x01 graphic

1. Wykażę, że trapez ABDC jest równoramienny.

Trójkąty AOC, BDO, DCO są równoramienne. W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

co należało udowodnić

2. Wykażę, że różnica kątów przy wierzchołkach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
jest kątem prostym.

Kąt pisany oparty na średnicy jest prosty: 0x01 graphic

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic

Trapez ABDC jest równoramienny:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

co należało udowodnić.

8

6

4

x

y

z

A

B

C

D

D

C

B

A

O

1)

2)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Liga zadaniowa 12 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 4 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 1 (12-13)-odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 11 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 6 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 5 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 8 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 3 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 7 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 10 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 12 (12-13) - odpowiedzi, Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 5 (12-13), Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 13 (12-13), Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 12 (12-13), Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 6 (12-13), Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 10 (12-13), Liga zadaniowa
Liga zadaniowa 11 (12-13), Liga zadaniowa

więcej podobnych podstron