WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 1 - odpowiedzi

Klasy I

1. Oblicz wartość wyrażenia:

Odp. Rozwiązując powyższe zadanie znacznie ułatwimy sobie pracę podstawiając:
,
. Wtedy, np.:
, a
.

Obliczamy wartość wyrażenia:
=
=
=

Odp. 1

Klasy II

1. Wczoraj Marek nastawił na właściwą godzinę i nakręcił stary zegar oraz stary budzik swojego dziadka. Dziś z rana stwierdził, że zegar pokazuje godzinę 7:00, a budzik godzinę 6:00. Marek przypomina sobie, że według słów dziadka, zegar śpieszy się 1 minutę na godzinę, podczas gdy budzik spóźnia się 3 minuty na godzinę. O której godzinie Marek nakręcił zegar i budzik?

Odp. Przyjmijmy, że:
-ilość godzin, które upłynęły od nakręcenia zegara i budzika.

Zegar śpieszy się 1 minutę na godzinę, czyli co 60 minut zegar pokazuje, że upłynęło 61 minut. Stąd zegar nakręcono o godzinie:
.

Budzik spóźnia się 3 minuty na godzinę, czyli co 60 minut budzik pokazuje, że upłynęło 57 minut. Stąd zegar nakręcono o godzinie:
.

Budzik i zegar nastawiono na tą samą godzinę i nakręcono o tej samej porze, stąd równanie:
, równoważne
,
,
.

Stąd zegar nakręcono o godzinie:
.Czyli zegar nakręcono 8 godzin i 15 minut przed godziną 0:00 (północą), czyli o godzinie 15:45.

II rozwiązanie. Bardzo ładnie rozwiązała to zadanie 2F04.

Co godzinę różnica czasu pokazywanego przez zegarek i budzik rośnie o 4 minuty. Skoro wynosi godzinę, to znaczy, że minęło 15 godzin, a według zegara 15 godzin i 15 minut.

Odp. 15:45

Klasy III

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
nierówność
jest zawsze prawdziwa.

Odp. Założenie:
- dowolne liczby rzeczywiste.

Teza: Nierówność
jest zawsze prawdziwa.

Dowód wprost. (Przyjmujemy, że założenie jest prawdziwe i pokazujemy prawdziwość tezy).

Niech
- dowolne liczby rzeczywiste. Dla dowolnych liczb rzeczywistych
prawdziwa jest nierówność:

. (Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną)

Korzystając z wzoru skróconego mnożenia można zapisać tę nierówność w równoważnej postaci:

, czyli:

.

Dodając do obu stron nierówności
, otrzymujemy nierówność równoważną:

, czyli:

, czyli

. Co należało udowodnić.

Uwaga. Aby pomóc sobie w dowodzie mogliśmy przekształcać (w brudnopisie) nierówność z tezy. Jednakże ostatecznie zapisując dowód powinniśmy przekształcenia te zapisać w odwrotnej kolejności.

---