ALGEBRA I - LISTA DODATKOWA

ZAD.1 Udowodnij, ˙ze permutacja

1 2 3 4 5

2 3 4 1 5

nie daje si

,

e przedstawi´

c w postaci

σ

1

◦ σ

2

◦ . . . ◦ σ

k

, gdzie σ

i

∈

n

1 2 3 4 5

2 3 1 4 5

,

1 2 3 4 5

1 2 4 5 3

o

ZAD.2 Rozstrzygnij, czy istniej

,

a takie liczby zespolone z

1

, z

2

, z

3

, z

4

, z

5

, z

6

, ´

ze zbi´

or

{z

1

, z

2

, z

3

, z

4

, z

5

, z

6

} z mno˙zeniem liczb zespolonych jako dzia laniem jest izomorficzny z grup

,

a

S

3

.

ZAD.3 W grupie G dla dowolnych a i b zachodzi r´

owno´s´

c ab = b

3

a

3

. Udowodnij, ˙ze grupa

G jest abelowa.

ZAD.4 W grupie G dla dowolnych a i b zachodzi r´

owno´s´

c (ab)

−1

= a

−1

b

−1

. Udowodnij, ˙ze

grupa G jest abelowa.

ZAD.5 Rozwa˙zmy przekszta lcenia α, β : R \ {0} → R \ {0} zadane wzorami α(x) = −x i

β(x) =

1
x

. Rozwa˙zmy podgrup

,

e V grupy bijekcji zbioru R \ {0} generowan

,

a przez α i β. Grup

,

e

t

,

e nazywamy czw´

orkow

,

a grup

,

a Kleina.

• Udowodnij, ˙ze |V | = 4 i ˙ze ka˙zdy element g ∈ V spe lnia r´

ownanie g

2

= e.

• Udowodnij, ˙ze wszystkie grupy rz

,

edu 4, w kt´

orych ka˙zdy element spe lnia r´

ownanie g

2

= e

s

,

a izomorficzne z V

• Poka˙z, ˙ze V jest izomorficzna z Z

2

× Z

2

, z Z

∗
8

, z Z

∗
12

i z grup

,

a izometrii prostok

,

ata

nieb

,

ed

,

acego kwadratem.

ZAD.6 Udowodnij, ˙ze ˙zadne dwie z grup Z

∗

, Q

∗

, R

∗

, C

∗

nie s

,

a izomorficzne.

ZAD.7 Niech α b

,

edzie automorfizmem grupy G takim, ˙ze α

2

= id i α(x) 6= x dla dowolnego

x 6= e. Udowodnij, ˙ze α(x) = x

−1

dla ka˙zdego x ∈ G i ˙ze G jest abelowa.

ZAD.8 Niech G b

,

edzie grup

,

a sko´

nczon

,

a i niech α b

,

edzie automorfizmem grupy G, kt´

orego

jedymym elementem sta lym jest e. Udowodnij, ˙ze ka˙zdy element grupy G mo˙zna zapisa´

c w

postaci g

−1

α(g)

ZAD.9 Udowodnij, ˙ze ˙zaden sko´

nczony pozdzbi´

or nie generuje grupy (Q, +). Znajd´z jaki´s

zbi´

or generuj

,

acy Q.

ZAD.10 Niech A, B ≤ G. Niech AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Udowodnij, ˙ze AB ≤ G wtedy

i tylko wtedy gdy AB = BA.

ZAD.11 Niech A, B, H ≤ G b

,

ed

,

a takie, ˙ze H ⊂ AB.

Udowodnij, ˙ze w´

owczas H ⊂

AB ∩ BA. Znajd´

z warunki konieczny i dostateczny na to, aby AB ∩ BA by lo podgrup

,

a G.

1

ZAD.12 Wyka˙z, ˙ze dla n ≥ 3 grupa Z

∗
2

n

nie jest cykliczna (wskaz´

owka: rozwa˙z podgrup

,

e

generowan

,

a przez elementy 2

n

− 1 i 2

n−1

+ 1).

ZAD.13 Udowodnij, ˙ze grupa cykliczna nie jest sum

,

a mnogo´sciow

,

a swoich podgrup w la´sciwych.

Podaj przyk lad grupy abelowej,ktor

,

a jest sum

,

a trzech swoich w la´sciwych podgrup.

ZAD.14 Udowodnij, ˙ze grupa automorfizm´

ow grupy cyklicznej jest abelowa.

ZAD.15 Niech |G| = 2p, gdzie p jest nieparzyst

,

a liczb

,

a pierwsz

,

a, to G zawiera dok ladnie

jedn

,

a podgrup

,

e rz

,

edu p.

ZAD.16 Nie G b

,

edzie nieabelow

,

a grup

,

a rz

,

edu 2p, gdzie p jest nieparzyst

,

a liczb

,

a pierwsz

,

a,

to G zawiera dok ladnie p element´

ow rz

,

edu 2.

ZAD.17 Niech k dzieli |G|. Udowodnij, ˙ze je´sli G zawiera dok ladnie jedn

,

a podgrup

,

e rz

,

edu

k, to jest to podgrupa normalna.

ZAD.18 Niech A, B / G. Udowodnij, ˙ze je´sli A ∩ B = {e}, to ab = ba dla dowolnych a ∈ A

i b ∈ B.

ZAD.19 Udowodnij, ˙ze je´sli H ≤ C

∗

jest podgrup

,

a sko´

nczonego indeksu, to H = C

∗

.

ZAD.20 Je˙zeli A ≤ G i H / G, to AH ≤ G, A ∩ H / A i A/(A ∩ H) ' (AH)/H.

ZAD.21 Udowodnij, ˙ze je´sli G ma podgrup

,

e normaln

,

a indeksu 4, to ma tak˙ze podgrup

,

e

normaln

,

a indeksu 2.

ZAD.22 Udowodnij, ˙ze Aut((Z

p

)

n

) ' GL(n, Z

p

). (wskaz´

owka: rozwa˙z naturaln

,

a struktur

,

e

przestrzeni liniowej na (Z

p

)

n

)

ZAD.23 Udowodnij, ˙ze Z nie rozk lada si

,

e na produkt swoich sko´

nczonych podgrup.

ZAD.24 Niech D = {(g, g) ∈ G × G : g ∈ G} b

,

edzie przek

,

atn

,

a produktu G × G. Znajd´

z

warunek konieczny i dostateczny na to, aby D / G × G.

ZAD.25 Udowodnij, ˙ze je´sli H ≤ Z(G) i G/H jest cykliczna, to G jest abelowa.

ZAD.26 Poka˙z, ˙ze ka˙zda grupa rz

,

edu p

2

jest abelowa.

ZAD.27* Niech |G| = p

n

, gdzie p jest liczb

,

a pierwsz

,

a. Udowodnij, ˙ze dla dowolnego k ≤ n

istnieje w G podgrup

,

a rz

,

edu p

k

.

2