WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw dodatkowy

Teoria miary.

Denicje:

•

Niech F σ-ciaªo na Ω. Wtedy par¦ (Ω, F) nazywamy przestrzeni¡ mierzaln¡.

•

Niech (Ω, F), (Ω

1

, F

1

)

przestrzenie mierzalne. Funkcj¦ f : Ω −→ Ω

1

nazywamy funkcj¡ mie-

rzaln¡ je»eli

∀ A ∈ F

1

f

−1

(A) ∈ F

1. Niech Ω = R. Wyznaczy¢ σ-ciaªo generowane przez przedziaªy h0, 5i oraz h1, 3).
2. Znale¹¢ σ-ciaªo podzbiorów zbioru Ω generowane przez zbiory A, B ⊂ Ω je»eli:

a) A ∩ B = ∅ i A ∪ B = Ω,
b) A ∩ B = ∅ i A ∪ B 6= Ω,
c) A ⊂ B = ∅ i ∅ 6= A 6= B 6= Ω.

3. Niech F oraz G σ-ciaªa podzbiorów zbioru Ω. Sprawdzi¢, czy F ∪ G jest σ-ciaªem na Ω.
4. Niech δ

x

oznacza miar¦ Diraca na przestrzeni mierzalnej (Ω, F). Dla jakich a, b ∈ R

µ = aδ

b

− bδ

a

jest miar¡, a dla jakich miar¡ probabilistyczn¡?

5. Rozwa»amy zbiór liczb rzeczywistych z σ-ciaªem zbiorów borelowskich oraz ró»nowarto±ciowy

ci¡g (x

n

)

∞
n=1

. Czy dla dowolnego ci¡gu liczbowego (a

n

)

∞
n=1

funkcja µ = P

∞
n=1

jest miar¡, a

miar¡ σ-sko«czon¡? Czy istnieje ci¡g liczbowy (a

n

)

∞
n=1

, dla kórego µ jest miar¡ σ-sko«czon¡, a

miar¡ probabilistyczn¡?

6. Niech Ω = {z ∈ C : |z| < 3}. Wykaza¢, »e F = {∅, Ω, {z ∈ Ω : |z| < 1}, {z ∈ Ω : |z| ≥ 1}}

jest σ-ciaªem.
a) Czy

f (z) =

 2,

|z| < 1

4,

|z| ∈ h1, 3)

jest funkcj¡ mierzaln¡?

b) Czy

g(z) =

 1,

Re

z < 1

3,

Re

z ∈ h1, 3)

jest funkcj¡ mierzaln¡?

7. Niech Ω = {z ∈ C : 0 < arg z < π}.

Wykaza¢, »e F = {∅, Ω, {z ∈ Ω : arg z ≤

π

4

}, {z ∈ Ω : arg z >

π

4

}}

jest σ-ciaªem oraz »e

f (z) =

 1,

arg z ∈ (0,

Π

4

i

3,

arg z ∈ (

Π

4

, π)

jest funkcj¡ mierzaln¡.

8. Niech Ω = h−1, 2i oraz f(x) = 2 sgn(x). Wyznaczy¢ najmniejsze σ-ciaªo, dla którego f jest

funkcj¡ mierzaln¡.

9. Poda¢ przykªad funkcji niemierzalnej.

1