WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa
Zestaw 3
Lemat Borela-Cantelliego, absolutna ci¡gªo±¢,
pochodna Radona-Nikodyma, dystrybuanta.
1. Zdarzenia A1, A2, . . . s¡ niezale»ne i maj¡ równe prawdopodobie«stwa. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zajdzie sko«czenie wiele zdarze« spo±ród nich.
2. W niesko«czonym ci¡gu prób Bernoulliego z prawdopodobie«stwem sukcesu w pojedynczej próbierównym p ∈ (0, 1) zdarzenia An polega na pojawieniu si¦ serii n sukcesów w próbach o numerach zawartych pomi¦dzy 2n a 2n+1 − 1. Zbada¢, w zale»no±ci od p, szans¦ pojawienia si¦
niesko«czenie wielu zdarze« An.
3. Niech ν, µ, m b¦d¡ miarami σ-sko«czonymi na (Ω, F). Wykaza¢, »e: W1 (ν µ ∧ µ m) ⇒ (ν m ∧
dν = dν · dµ ),
dm
dµ
dm
W2 dµ = 1 (µ − p.w.),
dµ
W3 ν ≡ µ ⇒ dν = dµ−1.
dµ
dν
4. Dane s¡ dwa dwumianowe rozkªady prawdopodobie«stwa: P1 ∼ B(n, p) oraz P2 ∼ B(k, q), gdzie n, k ∈ N, n > k, 0 < q ≤ p < 1. Zbada¢ czy P1 P2 oraz czy P2 P1.
5. Rozkªady prawdopodobie«stwa P1, P2 na (R, B) s¡ zadane caªkami: Z
Pi(A) =
pi(x)dx
dla A ∈ B,
A
gdzie p1(x) = β exp(−β(x − b)) · 1[b,∞)(x) (b > 0) oraz p2(x) = β exp(−βx) · 1[0,∞)(x). Zbada¢
czy P1 P2 lub P2 P1.
6. Dane s¡ przestrze« mierzalna ([0, 1]2, B|[0,1]2), λ2 miara Lebesgue'a oraz miara ν(A) = λ(projy(A ∩ I)), gdzie A ∈ B|[0,1]2, I = {(x0, y) : y ∈ [0, 1]} dla ustalonego x0.
a) Jaka jest zale»no±¢ mi¦dzy miarami λ2, ν na B|[0,1]2.
b) Jaka jest zale»no±¢ mi¦dzy miarami λ2, ν na Bx = {[0, 1] × C : C ∈ B|[0,1]}.
7. Dobra¢ staª¡ c tak, aby funkcja
c ln x dla x ∈ (1, 2)
f (x) =
0
dla x 6∈ (1, 2)
byªa wersj¡ pochodnej Radona-Nikodyma pewnej miary probabilistycznej P wzgl¦dem miary Lebesgue'. Wyznaczy¢ dystrybuant¦ rozkªadu P . Obliczy¢ P ((−∞, 3)), P ((1, 1)).
2
4
2
8. Wyznaczy¢ a tak, by funkcja
a cos x + a dla x ∈ (0, π)
f (x) =
0
dla x 6∈ (0, π)
byªa g¦sto±ci¡ rozkªadu prawdopodobie«stwa wzgl¦dem miary Lebesgue'a.
Wyznaczy¢ dystrybuant¦ tego rozkªadu.
1
9. Na zbiorze (0, 1) dana jest miara µ absolutnie ci¡gªa wzgl¦dem miary Lebesgue'a λ(0,1) z g¦-
sto±ci¡ dµ/λ(0,1) = 1(0,1). Dana jest funkcja mierzalna g : (0, 1) → R. Deniujemy rozkªad
∀A ∈ B|(0,1) ν(A) = µ(g(A)) .
Wyznaczy¢ dν/λ(0,1) je±li:
a) g(x) = −x + 1,
√
b)
x.
10. Niech (R, B, P ) przesrze« probabilistyczna na R. Niech F : R → R taka, »e F (x) = P ((−∞, x]).
Wykaza¢, »e:
W1 F jest niemalej¡ca,
W2 F jest prawostronnie ci¡gªa,
W3 limx→−∞ F (x) = 0 i limx→∞ F (x) = 1.
11. Wyznaczy¢ dystrybuant¦ rozkªadu jednostajnego na odcinku (a, b). (Rozkªad jednostajny jest absolutnie ci¡gªy wzgl¦dem miary Lebesgue'a, a jego g¦sto±¢ przyjmuje staª¡ warto±¢ dodatni¡
na odcinku (a, b) oraz zero poza tym przedziaªem.)
12. Wyznaczy¢ dystrybuant¦ rozkªadu wykªadniczego z paramatrem λ > 0. (Rozkªad wykªadniczy jest absolutnie ci¡gªy wzgl¦dem miary Lebesgue'a i jest zadany przez g¦sto±¢ f(x) = λ e−λx ·
1{x>0}(x).)
13. Niech F1, . . . Fn dystrybuanty, p1, . . . pn ≥ 0 : Pn p i=1
i = 1.
Wykaza¢, »e F = Pn p
i=1
i · Fi
jest dystrybuant¡.
14. Dobra¢ staªe a, b, c tak, aby funkcja
0
dla x < 1
F (x) =
b(1 − c/x) dla x ∈ h0, ai
1
dla x > a
byªa dystrybuant¡.
15. Dobra¢ staªe a, b tak, aby funkcja
0
dla x < −1
F (x) =
a + b arcsin x dla x ∈ h−1, 1)
1
dla x ≥ 1
byªa dystrybuant¡.
2