WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 1

Prawdopodobie«stwo klasyczne. Przestrze« probabilistyczna.

1. Litery alfabetu Morse'a utworzone s¡ z ci¡gów kresek i kropek. Ile liter mo»na utworzy¢ z

dziesi¦ciu lub mniej symboli.

2. Ile jest ró»nych wyników przy rzucie dwoma nierozró»nialnymi kostkami?

3. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e przy rzucie dwoma nierozró»nialnymi kostkami otrzyma si¦:

a) na obywdu kostkach po jednym oczku,

b) jedno oczko na jednej z kostek, dwa oczka na drugiej.

4. n kul rozmieszczono losowo w n szuadach. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, i» dokªadnie

jedna szuada jest pusta.

5. n osób, wsród których jest jeden Bolek i jeden Lolek, ustawia si¦ w szereg. Jakie jest prawdo-

podobie«stwo, »e miedzy Bolkiem i Lolkiem jest dokªadnie k osób.

6. Dany jest zbiór wszystkich funkcji f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobie«stwo,

»e wybrana funkcja jest ró»nowarto±ciowa.

7. Wykonujemy cztery rzuty kostk¡ do gry. Oblicz¢ prawdopodobie«stwo, i» liczby oczek uzyskane

w kolejnych rzutach tworz¡ ci¡g ±ci±le malej¡cy.

8. Na parterze dziesi¦ciopi¦trowego budynku do windy wsiadªo siedem osób. Oblicz prawdopodo-

bie«stwo, »e wszyscy wysi¡d¡ na ró»nych pi¦trach.

9. Do poci¡gu skªadaj¡cego si¦ z n wagonów wsiada k pasa»erów. Oblicz prawdopodobie«stwo,

»e do ka»dego wagonu wsi¡dzie przynajmniej jeden pasa»er.

10. Dany jest n-elementowy zbiór S. Ze zbioru wszystkich podzbiorów zbioru S losujemy kolejno

ze zwracaniem dwa zbiory (prawdopodobie«stwo wylosowania ka»dego zbioru jest jednakowe).

Oblicz prawdopodobie«stwa zdarze«:
A

- przynajmniej jeden z wylosowanych zbiorów jwst pusty;

B

- wylosowane zbiory s¡ rozª¡czne.

11. Dziecko otrzymaªo w prezencie n jednakowych klocków sze±ciennych szczelnie wypeªniaj¡c pu-

deªko. Po zako«czonej zabawie dziecko ka»dorazowo wkªada klocki do pudeªka zbieraj¡c je na

cybiª-traª. Jakie jest prawdopodobie«stwo p

n

, »e po trzykrotnym u»yciu klocków przynaj-

mniej jeden z nich znajdzie si¦ w miejscu, na którym byª w chwili wr¦czania prezentu? Znajd¹

lim

n→∞

p

n

.

12. Bolek i Lolek graj¡ w ko±ci symetryczn¡ kostk¡ sze±cienn¡. Bolek rzuca dwa razy, za± Lolek raz.

Lolek wygrywa, je±li wyrzuci liczb¦ oczek jednocze±nie mniejsz¡ od wi¦kszej z liczb wyrzuconych

przez Bolka i wi¦ksz¡ od mniejszej z tych liczb. W przeciwnym przypadku wygrywa Bolek. Ile

wynosz¡ prawdopodobie«stwa wygrania ka»dego z nich?

1

13. Pokaza¢, »e rodzina F ⊂ 2

Ω

zbiorów przeliczalnych i zbiorów o przeliczalnych dopeªnieniach

jest σ-ciaªem.

Pokaza¢, »e je±li Ω jest nieprzeliczalna, to istnieje A ⊂ Ω, taki »e A 6∈ F.

14. Niech T b¦dzie dowolnym zbiorem indeksów, niech {F

t

}

t∈T

- rodzina σ-ciaª. Pokaza¢, »e

\

t∈T

F

t

jest σ-ciaªem.

15. Pokaza¢, »e σ-ciaªo niesko«czone jest nieprzeliczalne.

16. Niech Ω = h1, 4i. Wyznaczy¢ σ-ciaªo generowane przez {h1, 3), h2, 4i}.

17. Niech Ω - zbiór nieprzeliczalny, F - σ-ciaªo skªadaj¡ce si¦ ze zbiorów przeliczalnych i zbiorów

o przeliczalnych dopeªnieniach. Niech µ : F −→ h0, ∞) jest okre±lona nast¦puj¡co: µ(A) =
0

, gdy A jest przeliczlny, µ(A) = 1, gdy A ma przeliczalne dopeªnienie. Czy µ jest miar¡

probabilistyczn¡?

18. Niech (Ω, F, µ) przestrze« mierzalna. f : Ω −→ R jest F mierzalna oraz f ≥ 0 µ p.w. i

Z

Ω

f dµ = 1

. Wykaza¢, »e ν okre±lone ν(A) =

Z

A

f dµ

(∀A ∈ F) jest miar¡ probabilistyczn¡.

19. Niech F σ-ciaªo na Ω, B ∈ F, B 6= ∅. Niech F

B

= {C : C = A ∩ B, A ∈ F }

. Czy F

B

jest

σ

-ciaªem na B.

20. Niech A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C).

Pokaza¢, »e

1
6

≤ P (A) ≤

1
4

. Pokaza¢, »e oba ograniczenia mog¡ by¢ osi¡gniete.

21. P (A ∪ B) =

1
2

, P (A ∩ B) =

1
4

, P (A \ B) = P (B \ A). Obliczy¢ P (A) oraz P (A \ B).

22. Niech (Ω, F, P ) przestrze« probabilistyczna. Zakªadamy, i»

P (A) > 0

⇒

∃B ⊂ A

0 < P (B) < P (A) .

Wtedy

(P (A) > 0 ∧ ε > 0)

⇒

∃B ⊂ A

0 < P (B) < ε .

2