WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 5

Warto±¢ oczekiwana, momenty zwykªe i centralne, macierz kowariancji.

1. Sprawdzi¢, czy zmienna losowa X o rozkªadzie P (X = (−1)kk−12k) = 2−k, k = 1, 2, . . ., ma warto±¢ oczekiwan¡.

2. Sprawdzi¢, czy zmienna losowa X o rozkªadzie Couchy'ego (tj. zadany przez g¦sto±¢ f(x) =

(1/π) · (1/(1 + x2)), ma warto±¢ oczekiwan¡.

3. Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ rozkªadu dwumianowego.

4. Wyznaczy¢ wariancj¦ rozkªadu Poissona.

5. Bolek i Lolek graj¡ w ko±ci. Wygrywa ten z nich, który przy rzucie dwoma kostkami wyrzuci wi¦ksz¡ sum¦ oczek. Zmienna losowa X przyjmuje warto±¢ −1 je±li Bolek przegra, 1 je»eli bolek wygra oraz 0 w przypadku remisu. Zmienna losowa Y jest równa sumie oczek na wszystkicj

czterech kostkach liczonej modulo 6. Oblicz warto±ci oczekiwane zmiennych losowych X, Y

oraz zbadaj ich niezale»no±¢.

6. Wykonujemy rzuty monet¡ a» do otrzymania po raz pierwszy sekwencji dwóch jednakowych

wyników (tj. OO, RR) w dwóch kolejnych rzutach. Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ wykonanych

rzutów.

(Akt. 12.01.2002 zad 6)

7. Niech Ω = [0, 1]2 z σ-ciaªem zbiorów borelowskich i jednostajnym rozkªadem prawdopodobie«-

stwa. Zmienna losowa X : Ω → R jest zdeniowana jako odlegªo±¢ punktu ω od brzegu Ω.

Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X.

8. Wyznaczy¢ wariancje rozkªadu wykªadniczego z paramatrem λ > 0.

9. Przy okr¡gªym stole zasiadªo w sposób losowy jeden Polak, dwóch Niemców oraz trzech Fran-

cuzów. Jaka jest oczekiwana liczba Francuzów siedz¡cych pomi¦dzy Niemcami po tej stronie

stoªu, po której nie siedzi Polak?

10. Jasio i Stasio graj¡ w ko±ci. Ka»dy z nich rzuca dwiema kostkami do gry. Je±li Stasio wyrzuci wi¦ksz¡ sum¦ oczek to Ja± pªaci mu 1 zª. Je±li Ja± wyrzuci wi¦ksz¡ sum¦ oczek, to Sta± pªaci Jasiowi 3 zª. W przypadku równej liczby oczek Ja± pªaci Stasiowi tyle zªorych ile wynosi

suma oczek na wszystkich ko±ciach. Czy gra jest sprawiedliwa? (tzn. czy warto±ci oczekiwane

wygranych s¡ równe?)

11. Na okr¦gu o promieniu 1 wybieramy losowo i niezal¦»nie dwa punkty. Obliczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ odlegªo±ci mi¦dzy nimi (wzdªu» ci¦ciwy).

12. Zmiena losowa X ma rozkªad normalny N(m, σ). Wyznaczy¢ warto±ci oczekiwane zmiennych

losowych Y = (X − a)2 oraz Z = X2 − 2X + 1.

13. Zmiena losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ = 1. Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡

zmiennej losowej Y = sin X.

14. Niech X ∼ Exp(λ). Obliczy¢ E(N) je»eli N = [X], gdzie [a] oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ liczby a.

1

15. Niech U1, . . . Un niezale»ne zmienne losowe o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Wyznaczy¢ wspóªczynnik kowariancji zmiennych losowych X oraz Y , gdzie X = min{U1, . . . Un}

oraz Y = max{U1, . . . Un}.

16. Wektor losowy (X, Y ) ma g¦sto±¢ f(x, y) = c · exp(−x2 − y2/2 + xy). Wyznaczy¢ staª¡ c.

Obliczy¢ wariancj¦ zmiennej losowej Z = 4Y − X.

17. Zmienna losowa (X1, X2, X3)0 ∼ N3(0, Σ), gdzie



4

1, 5

1 

Σ =

1, 5

1

0, 5





1

0, 5

1

Zmienna losowa Y speªniaj¡ca równanie X1 = aX2 +bX3 +Y jest nieskorelowana ze zmiennymi

losowymi X2, X3. Wyznaczy¢ a.

18. Zmienna loswa (X1, X2, X3)0 ma rozkªad zdeniowany w poprzednim zadaniu.

a) Wyznaczy¢ g¦sto±¢ ª¡czn¡.

b) Wyznaczy¢ wspóªczynnik korelacji ρX

.

1,X2

19. Pokaza¢, »e wspóªczynnik korelacji nie zale»y od wyboru jednostek, tzn. dla dowolnych staªych a > 0, b, c > 0, d oraz zmiennych losowych X, Y mamy: ρ(X, Y ) = ρ(aX + b, cY + d).

20. Stosuj¡c nierówno±¢ Czebyszewa oszacowano, »e prawdopodobie«stowo tego, »e liczba orªów k w serii rzutów symetryczn¡ monet¡ b¦dzie si¦ ró»ni¢ od swojej warto±¢i oczekiwanej o conajmniej 25% tej warto±ci oczekiwanej, nie jest wi¦ksze ni» 1/160. Z ilu conajmniej rzutów skªada si¦ ta seria?

21. Korzystaj¡c z nierówno±ci Czebyszewa oszacowa¢ prawdopodobie«stwo P (| 1 X

| ≥ 0, 01),

n

n − 1

3

gdzie Xn oznacza liczb¦ wyst¡pie« zdarzenia A w n niezale»nych do±wiadczeniach, w których

P (A) = 1 .

3

2