WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 5

Warto±¢ oczekiwana, momenty zwykªe i centralne, macierz kowariancji.

1. Sprawdzi¢, czy zmienna losowa X o rozkªadzie P (X = (−1)

k

k

−1

2

k

) = 2

−k

, k = 1, 2, . . ., ma

warto±¢ oczekiwan¡.

2. Sprawdzi¢, czy zmienna losowa X o rozkªadzie Couchy'ego (tj. zadany przez g¦sto±¢ f(x) =

(1/π) · (1/(1 + x

2

))

, ma warto±¢ oczekiwan¡.

3. Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ rozkªadu dwumianowego.

4. Wyznaczy¢ wariancj¦ rozkªadu Poissona.

5. Bolek i Lolek graj¡ w ko±ci. Wygrywa ten z nich, który przy rzucie dwoma kostkami wyrzuci

wi¦ksz¡ sum¦ oczek. Zmienna losowa X przyjmuje warto±¢ −1 je±li Bolek przegra, 1 je»eli bolek

wygra oraz 0 w przypadku remisu. Zmienna losowa Y jest równa sumie oczek na wszystkicj

czterech kostkach liczonej modulo 6. Oblicz warto±ci oczekiwane zmiennych losowych X, Y

oraz zbadaj ich niezale»no±¢.

6. Wykonujemy rzuty monet¡ a» do otrzymania po raz pierwszy sekwencji dwóch jednakowych

wyników (tj. OO, RR) w dwóch kolejnych rzutach. Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ wykonanych

rzutów.

(Akt. 12.01.2002 zad 6)

7. Niech Ω = [0, 1]

2

z σ-ciaªem zbiorów borelowskich i jednostajnym rozkªadem prawdopodobie«-

stwa. Zmienna losowa X : Ω → R jest zdeniowana jako odlegªo±¢ punktu ω od brzegu Ω.

Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X.

8. Wyznaczy¢ wariancje rozkªadu wykªadniczego z paramatrem λ > 0.

9. Przy okr¡gªym stole zasiadªo w sposób losowy jeden Polak, dwóch Niemców oraz trzech Fran-

cuzów. Jaka jest oczekiwana liczba Francuzów siedz¡cych pomi¦dzy Niemcami po tej stronie

stoªu, po której nie siedzi Polak?

10. Jasio i Stasio graj¡ w ko±ci. Ka»dy z nich rzuca dwiema kostkami do gry. Je±li Stasio wyrzuci

wi¦ksz¡ sum¦ oczek to Ja± pªaci mu 1 zª. Je±li Ja± wyrzuci wi¦ksz¡ sum¦ oczek, to Sta± pªaci

Jasiowi 3 zª. W przypadku równej liczby oczek Ja± pªaci Stasiowi tyle zªorych ile wynosi

suma oczek na wszystkich ko±ciach. Czy gra jest sprawiedliwa? (tzn. czy warto±ci oczekiwane

wygranych s¡ równe?)

11. Na okr¦gu o promieniu 1 wybieramy losowo i niezal¦»nie dwa punkty. Obliczy¢ warto±¢ ocze-

kiwan¡ odlegªo±ci mi¦dzy nimi (wzdªu» ci¦ciwy).

12. Zmiena losowa X ma rozkªad normalny N(m, σ). Wyznaczy¢ warto±ci oczekiwane zmiennych

losowych Y = (X − a)

2

oraz Z = X

2

− 2X + 1

.

13. Zmiena losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ = 1. Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡

zmiennej losowej Y = sin X.

14. Niech X ∼ Exp(λ). Obliczy¢ E(N) je»eli N = [X], gdzie [a] oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ liczby a.

1

15. Niech U

1

, . . . U

n

niezale»ne zmienne losowe o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Wy-

znaczy¢ wspóªczynnik kowariancji zmiennych losowych X oraz Y , gdzie X = min{U

1

, . . . U

n

}

oraz Y = max{U

1

, . . . U

n

}

.

16. Wektor losowy (X, Y ) ma g¦sto±¢ f(x, y) = c · exp(−x

2

− y

2

/2 + xy)

. Wyznaczy¢ staª¡ c.

Obliczy¢ wariancj¦ zmiennej losowej Z = 4Y − X.

17. Zmienna losowa (X

1

, X

2

, X

3

)

0

∼ N

3

(0, Σ)

, gdzie

Σ =





4

1, 5

1

1, 5

1

0, 5

1

0, 5

1





Zmienna losowa Y speªniaj¡ca równanie X

1

= aX

2

+ bX

3

+ Y

jest nieskorelowana ze zmiennymi

losowymi X

2

, X

3

. Wyznaczy¢ a.

18. Zmienna loswa (X

1

, X

2

, X

3

)

0

ma rozkªad zdeniowany w poprzednim zadaniu.

a) Wyznaczy¢ g¦sto±¢ ª¡czn¡.

b) Wyznaczy¢ wspóªczynnik korelacji ρ

X

1

,X

2

.

19. Pokaza¢, »e wspóªczynnik korelacji nie zale»y od wyboru jednostek, tzn. dla dowolnych staªych

a > 0

, b, c > 0, d oraz zmiennych losowych X, Y mamy: ρ(X, Y ) = ρ(aX + b, cY + d).

20. Stosuj¡c nierówno±¢ Czebyszewa oszacowano, »e prawdopodobie«stowo tego, »e liczba orªów k w

serii rzutów symetryczn¡ monet¡ b¦dzie si¦ ró»ni¢ od swojej warto±¢i oczekiwanej o conajmniej
25%

tej warto±ci oczekiwanej, nie jest wi¦ksze ni» 1/160. Z ilu conajmniej rzutów skªada si¦ ta

seria?

21. Korzystaj¡c z nierówno±ci Czebyszewa oszacowa¢ prawdopodobie«stwo P (|

1

n

X

n

−

1
3

| ≥ 0, 01)

,

gdzie X

n

oznacza liczb¦ wyst¡pie« zdarzenia A w n niezale»nych do±wiadczeniach, w których

P (A) =

1
3

.

2