WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 3

Lemat Borela-Cantelliego, absolutna ci¡gªo±¢,

pochodna Radona-Nikodyma, dystrybuanta.

1. Zdarzenia A

1

, A

2

, . . .

s¡ niezale»ne i maj¡ równe prawdopodobie«stwa. Jakie jest prawdopodo-

bie«stwo, »e zajdzie sko«czenie wiele zdarze« spo±ród nich.

2. W niesko«czonym ci¡gu prób Bernoulliego z prawdopodobie«stwem sukcesu w pojedynczej

próbierównym p ∈ (0, 1) zdarzenia A

n

polega na pojawieniu si¦ serii n sukcesów w próbach o

numerach zawartych pomi¦dzy 2

n

a 2

n+1

− 1

. Zbada¢, w zale»no±ci od p, szans¦ pojawienia si¦

niesko«czenie wielu zdarze« A

n

.

3. Niech ν, µ, m b¦d¡ miarami σ-sko«czonymi na (Ω, F). Wykaza¢, »e:

W1 (ν  µ ∧ µ  m) ⇒ (ν  m ∧

dν

dm

=

dν
dµ

·

dµ

dm

)

,

W2

dµ
dµ

= 1

(µ − p.w.),

W3 ν ≡ µ ⇒

dν
dµ

=

dµ
dν

−1

.

4. Dane s¡ dwa dwumianowe rozkªady prawdopodobie«stwa: P

1

∼ B(n, p)

oraz P

2

∼ B(k, q)

,

gdzie n, k ∈ N, n > k, 0 < q ≤ p < 1. Zbada¢ czy P

1

 P

2

oraz czy P

2

 P

1

.

5. Rozkªady prawdopodobie«stwa P

1

, P

2

na (R, B) s¡ zadane caªkami:

P

i

(A) =

Z

A

p

i

(x)dx

dla A ∈ B,

gdzie p

1

(x) = β exp(−β(x − b)) · 1

[b,∞)

(x)

(b > 0) oraz p

2

(x) = β exp(−βx) · 1

[0,∞)

(x)

. Zbada¢

czy P

1

 P

2

lub P

2

 P

1

.

6. Dane s¡ przestrze« mierzalna ([0, 1]

2

, B

|[0,1]

2

)

, λ

2

miara Lebesgue'a oraz miara

ν(A) = λ(proj

y

(A ∩ I))

, gdzie A ∈ B

|[0,1]

2

, I = {(x

0

, y) : y ∈ [0, 1]}

dla ustalonego x

0

.

a) Jaka jest zale»no±¢ mi¦dzy miarami λ

2

, ν na B

|[0,1]

2

.

b) Jaka jest zale»no±¢ mi¦dzy miarami λ

2

, ν na B

x

= {[0, 1] × C : C ∈ B

|[0,1]

}

.

7. Dobra¢ staª¡ c tak, aby funkcja

f (x) =

 c

ln x dla x ∈ (1, 2)

0

dla x 6∈ (1, 2)

byªa wersj¡ pochodnej Radona-Nikodyma pewnej miary probabilistycznej P wzgl¦dem miary

Lebesgue'. Wyznaczy¢ dystrybuant¦ rozkªadu P . Obliczy¢ P ((−∞,

3
2

))

, P ((

1
4

,

1
2

))

.

8. Wyznaczy¢ a tak, by funkcja

f (x) =

 a cos x + a

dla x ∈ (0, π)

0

dla x 6∈ (0, π)

byªa g¦sto±ci¡ rozkªadu prawdopodobie«stwa wzgl¦dem miary Lebesgue'a.

Wyznaczy¢ dystrybuant¦ tego rozkªadu.

1

9. Na zbiorze (0, 1) dana jest miara µ absolutnie ci¡gªa wzgl¦dem miary Lebesgue'a λ

(0,1)

z g¦-

sto±ci¡ dµ/λ

(0,1)

= 1

(0,1)

. Dana jest funkcja mierzalna g : (0, 1) → R. Deniujemy rozkªad

∀A ∈ B

|(0,1)

ν(A) = µ(g(A)) .

Wyznaczy¢ dν/λ

(0,1)

je±li:

a) g(x) = −x + 1,

b)

√

x

.

10. Niech (R, B, P ) przesrze« probabilistyczna na R. Niech F : R → R taka, »e F (x) = P ((−∞, x]).

Wykaza¢, »e:

W1 F jest niemalej¡ca,
W2 F jest prawostronnie ci¡gªa,
W3 lim

x→−∞

F (x) = 0

i lim

x→∞

F (x) = 1

.

11. Wyznaczy¢ dystrybuant¦ rozkªadu jednostajnego na odcinku (a, b). (Rozkªad jednostajny jest

absolutnie ci¡gªy wzgl¦dem miary Lebesgue'a, a jego g¦sto±¢ przyjmuje staª¡ warto±¢ dodatni¡

na odcinku (a, b) oraz zero poza tym przedziaªem.)

12. Wyznaczy¢ dystrybuant¦ rozkªadu wykªadniczego z paramatrem λ > 0. (Rozkªad wykªadniczy

jest absolutnie ci¡gªy wzgl¦dem miary Lebesgue'a i jest zadany przez g¦sto±¢ f(x) = λ e

−λx

·

1

{x>0}

(x)

.)

13. Niech F

1

, . . . F

n

dystrybuanty, p

1

, . . . p

n

≥ 0 :

P

n
i=1

p

i

= 1

.

Wykaza¢, »e F = P

n
i=1

p

i

· F

i

jest dystrybuant¡.

14. Dobra¢ staªe a, b, c tak, aby funkcja

F (x) =







0

dla x < 1

b(1 − c/x)

dla x ∈ h0, ai

1

dla x > a

byªa dystrybuant¡.

15. Dobra¢ staªe a, b tak, aby funkcja

F (x) =







0

dla x < −1

a + b arcsin x

dla x ∈ h−1, 1)

1

dla x ≥ 1

byªa dystrybuant¡.

2