WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 4

Zmienne losowe i ich rozkªady, niezale»no±¢.

1. Poda¢ przykªad dwóch ró»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie.

2. Czas (liczony w latach) bezawaryjnej pracy silnika samochodowego ma rozkªad wykªadniczy

z parametrem λ =

1
4

. Wyznaczy¢ przeci¦tny czas bezawaryjnej pracy silnika. Ile wynosi

prawdopodobie«stwo, »e awaria nast¡pi nie wcze±nij ni» po 5 latach.

3. Niech czas (mierzony w tygodniach) oczekiwania na wizyt¦ do lekarza ma rozkªad wykªadniczy

z parametrem λ =

1
8

. Obliczy¢ prawdopodoie«stwo, i» czas oczekiwania b¦dzie krótszy ni» 4

tygodnie. Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ czasu oczekiwania na wizyt¦.

4. Ci¦»ar jabªek dostarczanych do skupu ma rozkªad normalny ze ±redni¡ 8 dag i wariancj¡ 9.

Jaki procent jabªek dostarczanych do skupu nadaje si¦ na eksport, je»eli za jabªka eksportowe

uwa»a sie tylko te, które wa»¡ wiecej ni» 11 dag.

5. Obliczy¢ odchylenie standardowe przyrz¡du pomiarowego o którym wiadomo, »e z prawdopo-

dobie«stwem 0.95 daje bª¡d nie przekraczaj¡cy trzech jednostek. Zakªadamy, »e rozkªad bª¦du

jest normalny z warto±ci¡ ±redni¡ zero.

6. Niech X, Y, Z niezale»ne zmienne losowe o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym, niech S =

X + Y + Z

. Obliczy¢ P (X > S/2 ∨ Y > S/2 ∨ Z > S/2).

7. Dobra¢ staª¡ c tak, aby funkcja

f (x) =

 c cos x

dla |x| ≤

π

2

0

dla |x| >

π

2

byªa g¦sto±ci¡ prawdopodobie«stwa miennej losowej X. Wyznaczy¢ jej dystrybuant¦. Obliczy¢
P (|X| <

1
2

)

. item Š¡czny rozkªad wektora losowego (X, Y ) dany jest g¦sto±ci¡:

f (x, y) = e

x−y

· 1

A

(x, y) ,

gdzie A = {0 ≤ x < 1 ∧ y ≥ x}

Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia {X +Y < 2}. Wyznaczy¢ g¦sto±ci brzegowe. Obliczy¢

wariancje zmiennej losowej Y .

8. Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne. X ma rozkªad normalny o warto±ci oczekiwanej 0 i

wariancji 0, 5. Natomiast Y ma rozkªad wykªadniczy z warto±ci¡ oczekiwan¡ równ¡ 1. Obliczy¢
P (Y > X

2

)

.

9. Zmienna losowa X ma rozkªad jednostajny na odcinku (−1, 3). Wyznaczy¢ g¦sto±¢ rozkªadu

zmiennej losowej Y = |X|.

10. Zmienna losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ. Wyznaczy¢ g¦sto±¢ rozkªadu

zmiennej losowej Y = ln X.

11. Na przestrzeni probabilistycznej (R, B, P ), gdzie P ma ci¡gª¡ i rosn¡c¡ dystrybuant¦ F okre-

±lono zmienn¡ losow¡ Y : Y (x) = F (x). Znale¹¢ rozkªad (g¦sto±¢ i dystrybuant¦) zmiennej

losowej Y .

1

12. Zmienne losowe X, Y s¡ niezale»ne i maj¡ ten sam rozkªad geometryczny o parametrze p ∈

(0, 1)

. Wyznaczy¢ rozkªad zmiennej losowej Z = max(X, Y ).

13. Niech U

1

, U

2

, . . . U

n

i.i.d takie, »e U

1

∼

U (0, 2)

.

Rozwa»amy zmienne losowe

X = min(U

1

, U

2

, . . . U

n

)

oraz Y = max(U

1

, U

2

, . . . U

n

)

. Wyznaczy¢ dystrubuant¦ rozkªadu

wektora losowego(X, Y ).

14. X i Y s¡ niezale»nymi zniennymi losowymi o rozkªadach jednostajnych na odcinku (0, 1).

Wyznaczy¢ g¦sto±¢ rozkªadu zmiennej losowej Z = − log(XY ).

15. Niech X ∼ N(0, 1). Niech Y = X · 1

{|X|<1}

− X · 1

{|X|≥1}

. Wyznaczy¢ rozkªad zmiennej losowej

Y

. Rozstrzygn¡¢, czy suma X + Y ma rozkªad normalny.

16. Niech X

1

, X

2

b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie normalnym (X

i

∼ N (m

i

, σ

2

i

)

).

Wyznaczy¢ rozkªad ich sumy.

17. Promie« koªa jest zmienn¡ losow¡ R o g¦sto±ci prawdopodobie«stwa

f (r) =

 e

−r

, r ≥ 0

0 ,

r < 0

Znale¹¢ g¦sto±¢ prawdopodobie«stwa g zmiennej losowej S okre±laj¡cej pole koªa

o promieniu R.

18. Niech U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). X, Y s¡ niezale»ne o tym samym rozkªadzie wykªad-

niczym z parametrem λ. Wykaza¢, »e U, V s¡ niezale»ne.

19. Niech wektor losowy (X, Y ) ma rozkªad dany przez g¦sto±¢ o wzorze:

f (x, y) =

 c

dla |x| + |y| < 1

0

dla |x| + |y| ≥ 1

Wyznaczy¢ c oraz sprawdzi¢ czy zmienne losowe X, Y s¡ niezale»ne. Wyznaczy¢ g¦sto±ci brze-

gowe.

20. Niech zmienna X, Y b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach Poissona odpowied-

nio z parametrami a, b. Wykaza¢, »e X + Y ma rozkªad Poissona z parametrem a + b.

21. Niech X, Y niezale»ne zmienne losowe o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Wyznaczy¢

g¦sto±¢ zmiennej losowej

X + Y

2

.

22. Niech X, Y niezale»ne zmienne losowe o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Wyznaczy¢

g¦sto±¢ zmiennej losowej X − Y .

23. Niech X, Y niezale»ne zmienne losowe o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (c −

1
2

, c +

1
2

)

(c ∈ R). Wykaza¢, »e rozkªad ró»nicy Z = X − Y nie zale»y od c. Wyznaczy¢ g¦sto±¢ zmiennej

losowej Z.

24. ϑ, φ oznazaj¡ szeroko±¢ i dªugo±¢ geograczn¡ na sferze jednostkowej w R

3

. Na sferze okre±lono

prawdopodobie«stwo proporcjonalne do pola zbioru. Znale¹¢ g¦sto±¢ zmiennych losowych ϑ, φ

i wykaza¢ ich niezale»no±¢.

2