WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 2

Prawdopodobie«stwo geometryczne. Niezale»no±¢ zdarze«.

Schemat Bernulliego. Prawdopodobie«stwo caªkowite, wzór Bayes'a

1. W przypadkowych momentach odcinka [0, A] mog¡ nadej±¢ do odbiornika dwa sygnaªy. Od-

biornik zostaje popsuty je»eli ró»nica w czasie pomi¦dzy sygnaªami jest mniejsza ni» a (a < A).

Obliczy¢ prawdopodobie«stwo uszkodzenia odbiornika w ci¡gu czasu A.

2. Z przedziaªu [0, 1] wybieramy w sposób losowy dwa punkty b oraz c. Jakie jest prawdopodo-

bie«stwo, »e równaie x

2

+ bx + c = 0

nie ma pierwiastków rzeczywistych?

3. Pªaszczyzn¦ podzielono prostymi równolegªymi odlegªymi o 2a. Na t¦ pªaszczyzn¦ rzucamy w

sposób losowy odcinek o dªugo±ci 2l < 2a. Jakie jest prawdopodobie«stwo, i» odcinek przetnie

jedn¡ z prostych?

4. Odcinek o dªugo±ci 10 cm podzielono w sposób losowy na trzy cz¦±ci. Obliczy¢ prawdopodo-

bie«stwo, »e z tych cz¦±ci mo»na zbudowa¢ trójk¡t.

5. Mi¦dzy dwoma miastami równolegle prowadz¡ dwie linie telefoniczne. Odleglo±¢ mi¦dzy nimi

wynosi 70 km, a linie s¡ oddalone od siebie o 6 km. W czasie burzy dwie linie byªy uszkodzone

(po jednym uszkodzeniu na ka»dej linii). Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e odleglo±¢ pomi¦dzy

tymi uszkodzeniami nie przekracza 10 km?

6. Na przystanek autobusowy, co cztery minuty podje»d»a autobus linii 125 i co sze±¢ minut auto-

bus linii 115. Odcinek czasu pomi¦dzy momentami przybycia autobusu linii 125 i najbli»szego

po tym autobusu linii 115 jest jednakowo mo»liwy w granicach od zera do czterech minut.

Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, tego, i» pierwszy nadje»d»aj¡cy autobus b¦dzie autobusem linii

125. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w ci¡gu dwóch minut nadjedzie autobus którejkolwiek

linii.

7. Wykaza¢, »e je»eli zdarzenia A, B s¡ niezale»ne, to A

0

, B

0

s¡ niezale»ne oraz A

0

, B s¡ niezale»ne.

8. Rzucamy symetryczn¡ monet¡ a» do momentu, gdy po raz pierwszy wypadnie orzeª. Policzy¢

prawdopodobie«stwo, »e liczba rzutów b¦dzie:

a) parzysta,

b) podzielna przez m.

9. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, i» przy wielokrotnym rzucaniu par¡ symetrycznych kostek suma

oczek 7 wypadnie przed sum¡ oczek 6. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e suma oczek 7 lub

suma oczek 6 nie pojawi si¦ nigdy?

10. Niech Ω = (0, 1i B = B

|(0,1i

, P - miara Lebesgue'a. ω =

∞

X

n=1

d

n

(ω)

2

n

, gdzie d

n

(ω)

przyjmuje

warto±¢ 1 albo 0.

Niech A

n

= {ω : d

n

(ω) = 1}

, n = 1, 2, . . .. Czy {A

n

}

∞
n=1

s¡ niezale»ne?

11. Rzucono 10 razy symetryczna kostk¡. Jaka jest szansa otrzymania

1

a) sze±ciu oczek conajmniej raz,

b) pi¦ciu oczek dokªadnie trzy razy?

12. Dla pewnego gatunku zwierz¡t prawdopodobie«stwo urodzenia samicy wynosi 0,4. Obliczy¢

prawdopodobie«stwo, i» w miocie, w którym urodziªo si¦ cztery mªode, b¦d¡ conajmniej trzy

samce.

13. Sprawdzi¢ czy prawdziwa jest nierówno±¢: P (lim inf A

n

) ≤ lim inf P (A

n

)

.

14. Niech A

n

b¦dzie kwadratem {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1} obróconym o k¡t 2πnθ wokóª punktu

(0, 0)

. Wyznaczy¢ lim inf A

n

, lim sup A

n

, gdy θ ∈ Q. Dla jakich θ istnieje lim?

15. Niech A, B, C b¦d¡ zdarzeniami losowymi takimi, »e P (A|B ∩ C) = 0, 3, P (B|A ∩ C) = 0, 9

oraz P (C|B ∩ A) = 0, 6. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo warunkowe: P ((A ∩ B ∩ C)|(A ∩ B) ∪
(A ∩ C) ∪ (C ∩ B))

.

16. Mamy 4 kosze, a w ka»dym z nich po 4 piªki, przy czym w koszu k-tym jest k piªek czarnych

i 4 − k piªek niebieskich. Wybieramy losowo (z równym prawdopodobie«stwem wyboru) jeden

z czterech koszy. Z wybranego kosza losujemy kolejno bez zwracania dwie piªki. Jakie jest

prawdopodobie«stwo tego, »e druga piªka b¦dzie niebieska, gdy pierwsza byªa niebieska?

17. Owad skªada k jaj z prawdopodobie«stwem λ

k

/k!e

−λ

, dla k = 0, 1, 2, . . .. Potomek wyl¦ga si¦

z jaja z prawdopodobie«stwem p niezale»nie od innych. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, i»

liczba potomków b¦dzie l.

18. Wykaza¢ wzór Bayesa.

19. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e na »adnej kostce nie wypadªa

pi¡tka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek?

20. Rzucamy trzema monetami. W±ród nich tylko jedna jest niesymetryczna (orzeª wypada z

prawdopodobie«stwem

2
3

).

a) Oblicz prawdopodobie«stweo, »e orzeª wypadnie dwa razy,

b) oblicz prawdopodobi«stwo, »e orzeª wypadª na niesymetrycznej monecie, je»eli wiadomo, »e

wypadª dokªadnie jeden orzeª.

21. W urnie znajduj¡ si¦ dwie kule biaªe i cztery czarne. Powtarzamy nast¦puj¡ce do±wiadcze-

nie: losujemy z urny kul¦, odkªadamy na bok i dorzucamy do urny kul¦ czarn¡. Dopiero po

trzykrotnym powtórzeniu do±wiadczenia w urnie nie byªo ju» kul biaªych. Obliczy¢ prawdopo-

dobie«stwo, »e w pierwszym do±wiadczeniu wylosowano kul¦ czarn¡.

22. Telegraczne przekazywanie informacji odbywa si¦ metod¡ nadawania sygnaªów kropka, kreska.

Statystyczne wªa±ciwo±ci zakªóce« s¡ takie, »e bª¦dy wyst¦puj¡ przeci¦tnie w 2/5 przypadków

przy nadawaniu sygnaªu kropka i w 1/3 przypadków przy nadawaniu sygnaªu kreska. Wiadomo,

»e ogólny stosunek liczby nadawanych sygnaªów kropka do liczby sygnaªów kreska jest 5:3.

Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e przy przyjmowaniu sygnaªu kropka w rzeczywisto±ci

ten sygnaª zostaª nadany.

23. Fabryka wyrabia ±ruby na trzech maszynach A, B i C, których produkcja wynosi odpowiednio

25%, 35% i 40% caªej produkcji. Maszyny daj¡ odpowiednio 5%, 4% i 2% braków. W sposób

przypadkowy wybrano ±rub¦. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e jest ona brakiem oraz

prawdopodobie«stwo warunkowe tego, »e wyprodukowaªa j¡ maszyna A, je±li stwierdzono, »e

jest ona brakiem.

2