WMS rok II, Rachunek Prawdopodobie«stwa

Zestaw 6

Centralne twierdzenie graniczne, prawa wielkich liczb.

1. Wiadomo, »e 60% ludzi woli czekolad¦ mleczn¡ od twardej. Osoba organizuj¡ca przyj¦cie dla

100 go±ci, z których ka»dy ma otrzyma¢ jako prezent tabliczk¦ czekoladek, przygotowuje 70

tabliczek czekolady mlecznej i 45 tabliczek czekolady twardej. Jakie jest prawdopodobie«stwo,

»e ka»dy z go±ci b¦dzie mógª sobie wybra¢ taki rodzaj czekoaladek, jaki lubi?

2. Na kampusie s¡ dwie restauracje maj¡ce po 120 miejsc. 200 osób idzie do nich jednocze±nie

na obiad, wybieraj¡c losowo i niezale»nie od siebie jedn¡ z nich. Jakie jest prawdopodobie«-

stwo, i» w której± restauracji zabraknie miejsc. Ile miejsc powinny mie¢ te restauracje, aby to

prawdopodobie«stwo nie przekraczaªo 0, 001?

3. Prawdopodobie«stwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi 0, 05. Ile detali powinna wy-

produkowa¢ fabryka, aby z prawdopodobie«stwem równym co najmniej 0, 9 przynajmniej 100

spo±ród nich nie byªo wybrakowanych. Podaj oszacowanie w oparciu o
a) nierówno±¢ Czebyszewa,

b) centralne twierdzenie graniczne.

4. Jak du»¡ liczb¦ posªów w parlamencie licz¡cym 460 parlamentarzystów musi dysponowa¢ ko-

alicja, aby z prawdopodobie«stwem niemniejszym ni» 90% uchwali¢ ustaw¦ je»eli wiadomo,

»e:
a) posªowie opozycji myl¡ si¦ przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem

0, 05

, a posªowie koalicji si¦ nie myl¡,

b) posªowie koalicji myl¡ si¦ przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem

0, 05

, a posªowie opozycji si¦ nie myl¡?

Zakªadamy, »e wszyscy posªowie s¡ obecni(!), a do uchwalenia ustawy potrzeba 231 gªosów.

5. Jak du»o losowa« nale»y wykona¢, aby z dokªadno±ci¡ do 10

−4

na conajmniej 99% obliczy¢

caªk¦:

Z

1

−1

g(x)dx ,

gdzie g(x) =



sin x

x

dla x 6= 0

1

dla x = 0

.

6. Józio zaªo»yª si¦ z Olkiem, »e w 100 rzutach kostk¡ uzyska w sumie nie mniej ni» 400 oczek i

wtym celu rozpocz¡ª ¢wiczenia. Ile serii po 100 rzutów musi ±rednio wykona¢, »eby doczeka¢

si¦ takiego wyniku?

7. Dany jest ciag niezale»nych zmiennych losowych X

n

o gesto±ciach:

f

n

(x) =

1

√

2π

4

√

n

· exp

 −(x − m

n

)

2

2

√

n



Czy speªnia on SPWL?

8. Dany jest ciag niezale»nych zmiennych losowych X

n

o gesto±ciach:

f

n

(x) = n · exp(−nx) · 1

(0,∞)

(x)

Czy speªnia on SPWL?

1