Podstawowe pojęcia

- Funkcje -

c

AT - 1

Wstęp

• Wartość bezwzgledna

|x| =











x

x ­ 0

−x

x < 0

.

Własności:

|x| ­ 0 ,

|x| = | − x| ,

−|x| ¬ x ¬ |x| .

Działania:

a ­ 0

⇒

"

|x| ¬ a ⇔ −a ¬ x ¬ a

#

;

a ­ 0

⇒

"

|x| ­ a ⇔ ( x ­ a ∨ x ¬ −a )

#

;

|a · b| = |a| · |b| ;

a

b

=

| a |

| b |

, |b| 6= 0 .

• Potęga

a

0

= 1 ;

a

−n

=

1

a

n

;

a

m

n

=

n

√

a

m

.

• Logarytm

( a ∈ R

+

\ {1} ∧ b ∈ R )

⇒

( log

a

b = c ⇔ b = a

c

) ;

log

a

1 = 0 ;

log

a

a = 1 ;

a

log

a

b

= b ;

log

10

a ≡ log a ;

log

e

a ≡ ln a ;

log

a

b

m

= m · log

a

b ;

b

1

, b

2

∈ R

+

⇒

log

a

b

1

+ log

a

b

2

= log

a

(b

1

· b

2

) ;

b

1

, b

2

∈ R

+

⇒

log

a

b

1

− log

a

b

2

= log

a

b

1

b

2

;

Podstawowe pojęcia

- Funkcje -

c

AT - 2

Funkcje

Definicja

Funkcją określoną na zbiorze X ⊂ R o wartościach w zbiorze Y ⊂ R nazywamy przyporządko-

wanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Oznaczamy: f : X → Y .

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f , a zbiór Y nazywamy jej

przeciwdziedziną.

ten wykres nie przedstawia funkcji

to jest wykres funkcji

Przydatne funkcje:

• funkcja potęgowa f (x) = x

n

- dla n ∈ N funkcja potęgowa jest wielomianem

- dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika n

• funkcje trygonometryczne

- f (x) = sin x

- f (x) = cos x

- f (x) = tg x

- f (x) = ctg x

• funkcja wykładnicza f (x) = a

x

, gdzie a ∈ R

+

\ {1}

• funkcja logarytmiczna f (x) = log

a

x, gdzie a ∈ R

+

\ {1}

- dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór R

+

- funkcja f (x) = ln x oznacza funkcję logarytmiczną f (x) = log

e

x (czyli podstawą loga-

rytmu jest tu liczba e i taki logarytm jest nazywany logarytmem naturalnym)

Symbol e jest jedną z najważniejszych stałych w matematyce i w przybliżeniu wynosi:

e ≈ 2.718281828459045235360287471352

Podstawowe pojęcia

- Funkcje -

c

AT - 3

66249775724709369995957496696762772407663035354759

45713821785251664274274663919320030599218174...

Definicja

Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A ⊂ D

f

, jeżeli istnieją takie liczby m, M ∈ R, że dla

każdego x ∈ D

f

mamy

m ¬ f (x) ¬ M .

Uwaga

Funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony pomiędzy dwiema prostymi poziomymi.

Definicja

Funkcja f : X → Y jest okresowa, jeżeli istnieje T > 0 takie, że dla każdego x ∈ X zachodzi

x ± T ∈ X

oraz f (x + T ) = f (x)

Definicja

Funkcja f : X → Y jest

• parzysta, jeżeli dla każdego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = f (x) .

• nieparzysta, jeżeli dla każdego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x) .

Podstawowe pojęcia

- Funkcje -

c

AT - 4

wykres funkcji parzystej

wykres funkcji nieparzystej

Definicja

Funkcja f jest

• rosnąca na zbiorze A ⊂ D

f

, jeżeli dla każdego x

1

, x

2

∈ A

( x

1

< x

2

) =⇒ ( f (x

1

) < f (x

2

) ) .

• malejąca na zbiorze A ⊂ D

f

, jeżeli dla każdego x

1

, x

2

∈ A

( x

1

< x

2

) =⇒ ( f (x

1

) > f (x

2

) ) .

• niemalejąca na zbiorze A ⊂ D

f

, jeżeli dla każdego x

1

, x

2

∈ A

( x

1

< x

2

) =⇒ ( f (x

1

) ¬ f (x

2

) ) .

• nierosnąca na zbiorze A ⊂ D

f

, jeżeli dla każdego x

1

, x

2

∈ A

( x

1

< x

2

) =⇒ ( f (x

1

) ­ f (x

2

) ) .

Definicja

Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym Y ⊂ Z, oraz niech

f : X → Y , g : Z → W . Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g ◦ f określoną wzorem

g ◦ f (x) = g(f (x))

dla x ∈ X.

Definicja

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y ∈ Y istnieje

Podstawowe pojęcia

- Funkcje -

c

AT - 5

x ∈ X takie, że f (x) = y.

Oznaczamy

f : X

na

−→ Y .

Odwzorowanie to nazywamy również surjekcją.

Definicja

Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze A ⊂ D

f

, jeżeli dla każdego x

1

, x

2

∈ A

( x

1

6= x

2

) =⇒ ( f (x

1

) 6= f (x

2

) ) .

Odwzorowanie to nazywamy również injekcją.

Funkcję, która jednocześnie jest injekcją i surjekcją nazywamy bijekcją.

Definicja

Niech funkcja f : X

na

−→ Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do

f

nazywamy funkcję f

−1

: Y → X określoną przez warunek

f

−1

(y) = x ⇐⇒ y = f (x)

gdzie x ∈ X, y ∈ Y .

Uwaga

Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji danej, odbijając go symetrycznie

względem prostej y = x.

Podstawowe pojęcia

- Funkcje -

c

AT - 6

Funkcje cyklometryczne

Definicja

Funkcją arcsin (arkus sinus) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedzia-

łu < −

π

2

,

π

2

>. Dziedziną funkcji arcsin jest przedział < −1, 1 >.

Definicja

Funkcją arc tg (arkus tangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do

przedziału (−

π

2

,

π

2

). Dziedziną funkcji arc tg jest R.