Obwody elektryczne II
Dr inż. Hanna Morawska
Zakład Elektrotechniki Teoretycznej
Instytut Elektrotechniki Teoretycznej,
Metrologii i Materiałoznawstwa
Tel.0 42 631 25 15
Konsultacje:
mail:
środa, godz. 11:15 - 12:30
Hanna.morawska@p.lodz.pl
Literatura:
1. Michał Tadeusiewicz -
Teoria Obwodów część I
wyd. PA
2. Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin -
Podstawy Teorii Obwodów tom I
wyd. WNT
3. Teoria Obwodów - zadania
pod redakcją M. Tadeusiewicza
wyd. PA
Podstawowe zależności dotyczące liczb
zespolonych
Postać algebraiczna
A = a + jb
Re(A) Im(A)
Postać wykładnicza
A = A eja
argument A
mod uł A
b
A = a2 + b2
a = arctg
a
Postać trygonometryczna
)
A = A(cosa + jsin a
Wzór Eulera
eja = cosa + jsin a
Im(A)
A
A
a=Im(A)
a
Re(A)
b=Re(A)
Podstawowe zależności metody symbolicznej
Zespolona funkcja czasu
x
Xmt = Xmej(wt+j ) =
) )
= Xm[cos(wt + jx + jsin(wt + jx ]
) )
Im(Xmt = Xm sin(wt + jx = x(t)
) )
Re(Xmt = Xm cos(wt + jx = x(t)
Definicja wartości symbolicznej
(zespolonej) wielkości sinusoidalnej
Wartością symboliczną (zespoloną) wielkości
sinusoidalnie zmiennej:
x(t) = Xm sin(wt + jx )
nazywamy wyrażenie postaci:
x
X = X ejj
Xm
jest wartością skuteczną
gdzie
X =
funkcji sinusoidalnej x(t)
2
jest fazą początkową
jx
funkcji sinusoidalnej x(t)
( )
x(t) = Im 2Xejwt
( )
x(t) = Im 2Xejwt =
x
)
= Im( 2 X ejj ejwt =
x
)
= Im(Xmej(wt+j ) =
= Xm sin(wt + jx ) = x(t)
Wskaz ruchomy
Im(Xmt)
w
X
m
jx
+ wt
Re(Xmt)
x(t) = Xm sin(wt + jx )
Jak przejść od praw obwodowych
zapisanych dla wartości chwilowych
do zależności dla wartości zespolonych?
Chcemy zbudować zależności
dla prądów i napięć dla elementów idealnych:
opornika, cewki i kondensatora.
di du
u = Ri u = L i = C
dt dt
Lemat 1
Jeżeli ak jest liczbą rzeczywistą, zaś zk (t)
zespoloną funkcją czasu (k = 1,...m), to
m m
Im =
a zk (t)ł a Im[zk (t)]
k k
ę ś
k=1 k=1
Lemat 2
jwt
Jeżeli
Xmt = 2Xe ,
x
gdzie
X = X ej j
d d
to
)
[Im(Xmt ]= Imć Xmt = Im( jwXmt )
dt dt
Ł ł
Lemat 3
jwt
)
"t : Im (Aejwt = Im(Be )
Jeżeli
gdzie A i B są liczbami zespolonymi to:
A = B
Prawa Kirchhoffa - PPK
m
m
i = 0
k
jwt
( )
= 0
k=1
Im 2Ike
k=1
jwt
( )
ik = Im 2Ike
m
jwt
Korzystamy z LEMATU 1: Imć 2Ike = 0
Ł ł
k=1
m
jwt jwt
Imć 2Ike = Im(0e )
Ł ł
k=1
Lemat 3
m
I = 0
k
k=1
Prawa Kirchhoffa - NPK
n
n
u = 0
k
jwt
( )
= 0
k=1
Im 2Uke
k=1
jwt
( )
uk= Im 2Uke
n
jwt
Korzystamy z LEMATU 1: Imć 2Uke = 0
Ł ł
k=1
m
ć
jwt jwt
Im 2Uke = Im(0e )
k =1
Ł ł
Lemat 3
n
U = 0
k
k=1
Prawo Ohma
Niech:
jwt
)
u(t) = 2 U sin (wt +ju = Im( 2Ue
)
jwt
= Im ( 2 I e )
)
i(t) = 2 I sin (wt +ji
gdzie
jju
U = U e
jji
I = I e
R
Orawo Ohma dla opornika
i
u = Ri
u
Lemat 1
jwt jwt
Im ( 2Ue ) )
= RIm ( 2 Ie
Lemat 3
jju jji
U e = R I e
U = RI
R
I
U = R I
ju = ji
U
j = ju -ji = 0
R
I
U
U
I
ju = ji
Prawo Ohma dla cewki
L
i
di
u = L
u
dt
Lemat 1i2
d
jwt jwt jwt jwt
Im( 2Ue ) )]= LIm(jw 2 Ie ) )
= L [Im( 2 Ie = Im(jwL 2 Ie
dt
Lemat 3
p
jćji +
jju
2
Ł ł
U e = L I e
U = jwLI
L
I
p
ju = ji +
U = wL I
U
2
p
j = ju -ji =
2
L
I
U
U
p
ju -ji = j =
2
ju
ji
I
Prawo Ohma dla kondensatora
C
i
du
i = C
u
dt
Lemat 1i2
d
jwt jwt jwt jwt
Im( 2Ie ) )]= C Im(jw 2 Ue ) )
= C [Im( 2 Ue = Im(jwC 2 Ue
dt
Lemat 3
p
jćju +
jji
2
Ł ł
I e = CU e
C
I = jwCU
I
p
U ji = ju +
I = wC U
2
p
j = ju -ji = -
2
C
I
I
U
p
ju -ji = j = -
2
ji
ju
U
Wykład 2
1. Impedancja
2. Admitancja
3. Obliczanie prostych obwodów
prądu sinusoidalnego
metodą symboliczną
Prądy i napięcia będziemy zapisywać w postaci:
jju
U = U e
jji
I = I e
R
I
U = R I
U
jji
U = R I e
U
I
ju = ji
L
I
U
U
p
ju -ji = j =
2
ju
ji
U = jw L I
p
j (ji + )
I
2
U = w L I e
C
I
I
U
p
ju -ji = j = -
2
ji
1
U = - j I
ju
w C
p
U
j (ji - )
1
2
U = I e
w C
Definicja:
Impedancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych napięcia i prądu
U
Z =
I
j ju
U e U
U
j(ju -ji )
Z = = = e
jji
I I e I
Impedancja
U
U = RI Z = = R
I
U
U = jwLI Z = = jwL
I
U 1
Z = = - j
I = jwCU
I wC
Definicja:
Admitancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych prądu i napięcia
I
Y =
U
j ji
I e I
I
j(ji -ju )
Y = = = e
jju
U U e U
jj
Z = Z e
1 1
Y = = e- jj
Z Z
Admitancjancja
I 1
U = RI YR = = = G
U R
I 1
U = jwLI YL = = - j
U w L
I
I = jwCU
YC = = jw C
U
Połączenie szeregowe RL
UL
U
L
R
I
j
UR
UL UR
I
U
1 G B
Z = R + jw L = = - j
G + jB
G2 + B2 G2 + B2
X = w L > 0 BL < 0
L
w L
U = IZ = I(R + jw L)= IR + jIw L =
tgj =
R
= UR +UL
Połączenie szeregowe RC
C R
I
UR
I
UL
j
UR
UC
U
U
1 1 G B
Z = R - j = = - j
w C G + jB
G2 + B2 G2 + B2
1
XC = - < 0 BC = w C > 0
w C
ć
1 1
1
U = IZ = I R - j = IR - jI =
tgj = -
w C w C
Ł ł
w CR
= UR +UC
Zależności między R i G oraz X i B
-
1 G jB
= + = =
Z R jX
( )( )=
+ + -
G jB G jB G jB
G B
= -
j
+ +
G2 B2 G2 B2
G B
= = -
R X
+ +
G2 B2 G2 B2
Podstawowe właściwości i operacje
na liczbach zespolonych
jj
x = a + jb = X e
Postać wykładnicza
Postać trygonometryczna
p
j
2
j = -1 = e
x* = a - jb = X e-jj
p
- j
liczba zespolona sprzężona z x
2
- j = e
2
j2 = -1
x x* = a2 + b2 = X
j(- j) = 1
Ponieważ
Wzór Eulera
ejj = cos j + jsinj
to
[ ]
x = a + jb = X ejj = X cosj + jsinj
postać trygonometryczna
Jak przejść z jednej postaci do drugiej ?
X = a2 + b2
a = X cosj
a
oraz
cosj =
b = X sinj
a2 + b2
b
sinj =
a2 + b2
Re
UWAGA!!! Jeżeli x = a + jb
p p
b
- < j <
2 2
p p
a > 0
- < j <
Im
2 2
a
I lub IV ćwiartka
b
j = arc tg
a
p
p
a < 0
< j < p
lub
-p < j < -
2
2
II ćwiartka
III ćwiartka
Re
Re
p
b
< j < p
2 a
Im
Im
a
p
-p < j < -
b
2
b b
j = p - arc tg
j = -p + arc tg
a
a
Podstawowe obliczenia dla liczb zespolonych
(a + jb)(c + jd ) = [(ac - bd) + j(bc + ad)]
a + jb (a + jb)(c - jd ) (ac + bd ) + j(bc - ad )
= =
2
c + jd (c + jd )(c - jd ) c2 + d
(a + jb) + (c + jd ) = (a + c) + j(b + d)
(a + jb) -(c + jd) = (a -c) + j(b - d)
Spróbujmy przedstawić liczbę daną w postaci algebraicznej w postaci wykładniczej
A)
x =10 + j20
X = 102 + 202 = 100 + 400 =10 5 = 22,3
20
j = arctg = 63,44o
10
więc
j63,44o
x =10 + j20 = 22,3e
B)
x = 30 - j20
X = 302 + (-20)2 = 900 + 400 = 1300 = 36.05
(-20)
j = arctg = -33.69o
30
x = 30 - j20 = 36.05e- j33.69o
C)
x = -40 + j60
X = (-40)2 + 602 = 5200 = 72,11
60
j =180o - arctg =180o - 56.31o =123.69o
40
j123,69o
x = -40 + j60 = 72,11e
D)
x = -20 - j50
X = (-20)2 + (-50)2 = 2900 = 53.85
50
j = -1800 + arctg = -1800 + 68,20 = -111,820
20
x = -20 - j50 = 53.85e- j111.820
E)
x = 20
X = 102 =10
j = 0
j0o
x =10 =10e
E)
x = -30
X = (-30)2 = 30
j = -180o lub j =180o
j180o
x = -30 = 30e
F)
x = j50
X = 502 = 50
j = 90o
j90o
x = j50 = 50e
x = - j20
X = (-20)2 = 20
j = -90o
x = - j20 = 20e- j90o
j45o
20e 20
j(45o -60o )
= e = 2e- j15o
j60o
10
10e
j60o j(60o -30o ) j30o
30e 20e- j30o = 600e = 600e
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad4 metmet num rown rozniczkowe wykladmet num wyklad 2aWykład 4 lato 2013 żeliwo i met nieżelazneSieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjamet kompWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejBeyerl P The Symbols And Magick of Tarotmo3 wykladyJJZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3Wyklad 2 PNOP 08 9 zaocznewięcej podobnych podstron