Obwody elektryczne II
Dr inż. Hanna Morawska
Zakład Elektrotechniki Teoretycznej
Instytut Elektrotechniki Teoretycznej,
Metrologii i Materiałoznawstwa
Tel.0 42 631 25 15
Konsultacje:
mail:
środa, godz. 11:15 - 12:30
Hanna.morawska@p.lodz.pl
Literatura:
1. Michał Tadeusiewicz -
Teoria Obwodów część I
wyd. PA
2. Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin -
Podstawy Teorii Obwodów tom I
wyd. WNT
3. Teoria Obwodów - zadania
pod redakcją M. Tadeusiewicza
wyd. PA
Podstawowe zależności dotyczące liczb
zespolonych
Postać algebraiczna
A =� a +� jb
Re(A) Im(A)
Postać wykładnicza
A =� A eja�
argument A
mod uł A
b
A =� a2 +� b2
a� =� arctg
a
Postać trygonometryczna
)�
A =� A(�cosa� +� jsin a�
Wzór Eulera
eja� =� cosa� +� jsin a�
Im(A)
A
A
a=Im(A)
a�
Re(A)
b=Re(A)
Podstawowe zależności metody symbolicznej
Zespolona funkcja czasu
x
Xmt =� Xmej(�w�t+�j� )� =�
)� )�
=� Xm[�cos(�w�t +� j�x +� jsin(�w�t +� j�x ]�
)� )�
Im(�Xmt =� Xm sin(�w�t +� j�x =� x(t)
)� )�
Re(�Xmt =� Xm cos(�w�t +� j�x =� x(t)
Definicja wartości symbolicznej
(zespolonej) wielkości sinusoidalnej
Wartością symboliczną (zespoloną) wielkości
sinusoidalnie zmiennej:
x(t) =� Xm sin(�w�t +� j�x )�
nazywamy wyrażenie postaci:
x
X =� X ejj�
Xm
jest wartością skuteczną
gdzie
X =�
funkcji sinusoidalnej x(t)
2
jest fazą początkową
j�x
funkcji sinusoidalnej x(t)
(� )�
x(t) =� Im 2Xejw�t
(� )�
x(t) =� Im 2Xejw�t =�
x
)�
=� Im(� 2 X ejj� ejw�t =�
x
)�
=� Im(�Xmej(w�t+�j� ) =�
=� Xm sin(w�t +� j�x ) =� x(t)
Wskaz ruchomy
Im(Xmt)
w�
X
m
j�x
+� w�t
Re(Xmt)
x(t) =� Xm sin(�w�t +� j�x )�
Jak przejść od praw obwodowych
zapisanych dla wartości chwilowych
do zależności dla wartości zespolonych?
Chcemy zbudować zależności
dla prądów i napięć dla elementów idealnych:
opornika, cewki i kondensatora.
di du
u =� Ri u =� L i =� C
dt dt
Lemat 1
Jeżeli a�k jest liczbą rzeczywistą, zaś zk (t)
zespoloną funkcją czasu (k = 1,...m), to
m m
Im�� =�
��a� zk (t)ł� ��a� Im[�zk (t)]�
k k
ę� ś�
�� ��
k=�1 k=�1
Lemat 2
jw�t
Jeżeli
Xmt =� 2Xe ,
x
gdzie
X =� X ej j�
d d
to
)�
[�Im(�Xmt ]�=� Imć� Xmt �� =� Im(� jw�Xmt )�
�� ��
dt dt
Ł� ł�
Lemat 3
jw�t
)�
"�t : Im (�Aejw�t =� Im(�Be )�
Jeżeli
gdzie A i B są liczbami zespolonymi to:
A =� B
Prawa Kirchhoffa - PPK
m
m
��i =� 0
k
jw�t
(� )�
=� 0
k=�1
��Im 2Ike
k=�1
jw�t
(� )�
ik =� Im 2Ike
m
��
jw�t
Korzystamy z LEMATU 1: Imć� 2Ike =� 0
�� ��
��
Ł� ł�
k=�1
m
��
jw�t jw�t
Imć� 2Ike =� Im(0e )
�� ��
��
Ł� ł�
k=�1
Lemat 3
m
��I =� 0
k
k=�1
Prawa Kirchhoffa - NPK
n
n
��u =� 0
k
jw�t
(� )�
=� 0
k=�1
��Im 2Uke
k=�1
jw�t
(� )�
uk=� Im 2Uke
n
��
jw�t
Korzystamy z LEMATU 1: Imć� 2Uke =� 0
�� ��
��
Ł� ł�
k=�1
m
ć� ��
jw�t jw�t
��
Im�� 2Uke =� Im(0e )
��
�� ��
k =�1
Ł� ł�
Lemat 3
n
��U =� 0
k
k=�1
Prawo Ohma
Niech:
jw�t
)�
u(t) =� 2 U sin (�w�t +�j�u =� Im(� 2Ue
)�
jw�t
=� Im (� 2 I e )�
)�
i(t) =� 2 I sin (�w�t +�j�i
gdzie
jj�u
U =� U e
jj�i
I =� I e
R
Orawo Ohma dla opornika
i
u =� Ri
u
Lemat 1
jw�t jw�t
Im (� 2Ue )� )�
=� RIm (� 2 Ie
Lemat 3
jj�u jj�i
U e =� R I e
U =� RI
R
I
U =� R I
j�u =� j�i
U
j� =� j�u -�j�i =� 0
R
I
U
U
I
j�u =� j�i
Prawo Ohma dla cewki
L
i
di
u =� L
u
dt
Lemat 1i2
d
jw�t jw�t jw�t jw�t
Im(� 2Ue )� )�]�=� LIm(�jw� 2 Ie )� )�
=� L [�Im(� 2 Ie =� Im(�jw�L 2 Ie
dt
Lemat 3
p�
��
jć�j�i +�
�� ��
jj�u
2
Ł� ł�
U e =� L I e
U =� jw�LI
L
I
p�
j�u =� j�i +�
U =� w�L I
U
2
p�
j� =� j�u -�j�i =�
2
L
I
U
U
p�
j�u -�j�i =� j� =�
2
j�u
j�i
I
Prawo Ohma dla kondensatora
C
i
du
i =� C
u
dt
Lemat 1i2
d
jw�t jw�t jw�t jw�t
Im(� 2Ie )� )�]�=� C Im(�jw� 2 Ue )� )�
=� C [�Im(� 2 Ue =� Im(�jw�C 2 Ue
dt
Lemat 3
p�
��
jć�j�u +�
�� ��
jj�i
2
Ł� ł�
I e =� CU e
C
I =� jw�CU
I
p�
U j�i =� j�u +�
I =� w�C U
2
p�
j� =� j�u -�j�i =� -�
2
C
I
I
U
p�
j�u -�j�i =� j� =� -�
2
j�i
j�u
U
Wykład 2
1. Impedancja
2. Admitancja
3. Obliczanie prostych obwodów
prądu sinusoidalnego
metodą symboliczną
Prądy i napięcia będziemy zapisywać w postaci:
jj�u
U =� U e
jj�i
I =� I e
R
I
U =� R I
U
jj�i
U =� R I e
U
I
j�u =� j�i
L
I
U
U
p�
j�u -�j�i =� j� =�
2
j�u
j�i
U =� jw� L I
p�
j (j�i +� )
I
2
U =� w� L I e
C
I
I
U
p�
j�u -�j�i =� j� =� -�
2
j�i
1
U =� -� j I
j�u
w� C
p�
U
j (j�i -� )
1
2
U =� I e
w� C
Definicja:
Impedancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych napięcia i prądu
U
Z =�
I
j j�u
U e U
U
j(�j�u -�j�i )�
Z =� =� =� e
jj�i
I I e I
Impedancja
U
U =� RI Z =� =� R
I
U
U =� jw�LI Z =� =� jw�L
I
U 1
Z =� =� -� j
I =� jw�CU
I w�C
Definicja:
Admitancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych prądu i napięcia
I
Y =�
U
j j�i
I e I
I
j(�j�i -�j�u )�
Y =� =� =� e
jj�u
U U e U
jj�
Z =� Z e
1 1
Y =� =� e-� jj�
Z Z
Admitancjancja
I 1
U =� RI YR =� =� =� G
U R
I 1
U =� jw�LI YL =� =� -� j
U w� L
I
I =� jw�CU
YC =� =� jw� C
U
Połączenie szeregowe RL
UL
U
L
R
I
j�
UR
UL UR
I
U
1 G B
Z =� R +� jw� L =� =� -� j
G +� jB
G2 +� B2 G2 +� B2
X =� w� L >� 0 BL <� 0
L
w� L
U =� IZ =� I(�R +� jw� L)�=� IR +� jIw� L =�
tgj� =�
R
=� UR +�UL
Połączenie szeregowe RC
C R
I
UR
I
UL
j�
UR
UC
U
U
1 1 G B
Z =� R -� j =� =� -� j
w� C G +� jB
G2 +� B2 G2 +� B2
1
XC =� -� <� 0 BC =� w� C >� 0
w� C
ć� ��
1 1
1
��
U =� IZ =� I�� R -� j �� =� IR -� jI =�
��
tgj� =� -�
w� C w� C
Ł� ł�
w� CR
=� UR +�UC
Zależności między R i G oraz X i B
-�
1 G jB
=� +� =� =�
Z R jX
(� )�(� )�=�
+� +� -�
G jB G jB G jB
G B
=� -�
j
+� +�
G2 B2 G2 B2
G B
=� =� -�
R X
+� +�
G2 B2 G2 B2
Podstawowe właściwości i operacje
na liczbach zespolonych
jj�
x =� a +� jb =� X e
Postać wykładnicza
Postać trygonometryczna
p�
j
2
j =� -1 =� e
x*� =� a -� jb =� X e-jj�
p�
- j
liczba zespolona sprzężona z x
2
- j =� e
2
j2 =� -�1
x �� x*� =� a2 +� b2 =� X
j(-� j) =� 1
Ponieważ
Wzór Eulera
ejj� =� cos j� +� jsinj�
to
[� ]�
x =� a +� jb =� X ejj� =� X cosj� +� jsinj�
postać trygonometryczna
Jak przejść z jednej postaci do drugiej ?
X =� a2 +� b2
a =� X cosj�
a
oraz
cosj� =�
b =� X sinj�
a2 +� b2
b
sinj� =�
a2 +� b2
Re
UWAGA!!! Jeżeli x =� a +� jb
p� p�
b
-� <� j� <�
2 2
p� p�
a > 0
-� <� j� <�
Im
2 2
a
I lub IV ćwiartka
b
j� =� arc tg
a
p�
p�
a < 0
<� j� <� p�
lub
-�p� <� j� <� -�
2
2
II ćwiartka
III ćwiartka
Re
Re
p�
b
<� j� <� p�
2 a
Im
Im
a
p�
-�p� <� j� <� -�
b
2
b b
j� =� p� -� arc tg
j� =� -�p� +� arc tg
a
a
Podstawowe obliczenia dla liczb zespolonych
(a +� jb)(c +� jd ) =� [(ac -� bd) +� j(bc +� ad)]
a +� jb (a +� jb)(c -� jd ) (ac +� bd ) +� j(bc -� ad )
=� =�
2
c +� jd (c +� jd )(c -� jd ) c2 +� d
(a +� jb) +� (c +� jd ) =� (a +� c) +� j(b +� d)
(a +� jb) -�(c +� jd) =� (a -�c) +� j(b -� d)
Spróbujmy przedstawić liczbę daną w postaci algebraicznej w postaci wykładniczej
A)
x =�10 +� j20
X =� 102 +� 202 =� 100 +� 400 =�10 5 =� 22,3
20
j� =� arctg =� 63,44o�
10
więc
j63,44o�
x =�10 +� j20 =� 22,3e
B)
x =� 30 -� j20
X =� 302 +� (-�20)2 =� 900 +� 400 =� 1300 =� 36.05
(-�20)
j� =� arctg =� -�33.69o�
30
x =� 30 -� j20 =� 36.05e-� j33.69o�
C)
x =� -�40 +� j60
X =� (-�40)2 +� 602 =� 5200 =� 72,11
60
j� =�180o� -� arctg =�180o� -� 56.31o� =�123.69o�
40
j123,69o�
x =� -�40 +� j60 =� 72,11e
D)
x =� -�20 -� j50
X =� (-�20)2 +� (-�50)2 =� 2900 =� 53.85
50
j� =� -�1800 +� arctg =� -�1800 +� 68,20 =� -�111,820
20
x =� -�20 -� j50 =� 53.85e-� j111.820
E)
x =� 20
X =� 102 =�10
j� =� 0
j0o�
x =�10 =�10e
E)
x =� -�30
X =� (-�30)2 =� 30
j� =� -�180o� lub j� =�180o�
j180o�
x =� -�30 =� 30e
F)
x =� j50
X =� 502 =� 50
j� =� 90o�
j90o�
x =� j50 =� 50e
x =� -� j20
X =� (-�20)2 =� 20
j� =� -�90o
x =� -� j20 =� 20e-� j90o
j45o
20e 20
j(45o -�60o )
=� e =� 2e-� j15o
j60o
10
10e
j60o j(60o -�30o ) j30o
30e ��20e-� j30o =� 600e =� 600e
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad4 metmet num rown rozniczkowe wykladmet num wyklad 2aWykład 4 lato 2013 żeliwo i met nieżelazneSieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjamet kompWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejBeyerl P The Symbols And Magick of Tarotmo3 wykladyJJZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3Wyklad 2 PNOP 08 9 zaocznewięcej podobnych podstron