Całka nieoznaczona
Funkcja pierwotna
Dana jest funkcja f określona dla x�� D. Funkcję F
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f gdy F '(x) =� f (x)
dla x�� D.
1
Przykład 1. Niech f (x) =� x2. Funkcja F(x) =� x3 jest
3
funkcją pierwotną funkcji f gdyż
'
1
ć�1
F '(x) =� x3 �� =� ��3x2 =� x2
�� ��
3 3
Ł� ł�
1
Funkcja G(x) =� x3 +� 23 też jest funkcją pierwotną
3
'
1
ć�1
funkcji f gdyż G'(x) =� x3 +� 23�� =� ��3x2 +� 0 =� x2
�� ��
3 3
Ł� ł�
1
Zauważmy, że każda funkcja o wzorze x3 +� C, gdzie
3
C =� const. jest funkcją pierwotną funkcji f.
Całka nieoznaczona funkcji f jest to zbiór funkcji
pierwotnych tej funkcji.
Symbol: f (x)dx
��
1
np.: x2dx =� x3 +� C
��
3
Wzory podstawowe wynikają z odpowiednich wzorów z
rachunku pochodnych:
��k dx =� kx +� C
1
xdx =� x2 +� C
��
2
1
x2dx =� x3 +� C
��
3
1
x3dx =� x4 +� C
��
4
& & & & & & & & & &
1
xndx =� xn+�1 +� C (n ą� -�1)
��
n +�1
��exdx =� ex +� C
��sin xdx =� -�cos x +� C
��cos xdx =� sin x +� C
1
dx =� ln| x | +�C
��
x
Ostatni z tych wzorów wymaga uzasadnienia. Pamiętamy,
1
że (ln x)'=� . Problemem są dziedziny tych funkcji:
x
1
dziedziną funkcji są wszystkie liczby z wyjątkiem zera,
x
zaś dziedziną funkcji ln x są tylko liczby dodatnie.
1
Zauważmy, że dziedziny funkcji oraz ln| x | są
x
1
identyczne (x ą� 0), pozostaje pokazać, że (ln| x |)'=� :
x
'
ln x dla x >� 0
ć� ��
���� ��
(ln| x |)'=�
����ln(-�x) dla x <� 0�� =�
��
Ł� ł�
��1
dla x >� 0
��x
1
=� =�
��
1 1 x
��
�� (-�1) =� dla x <� 0
�� x
-� x
1
Przykład 2. x7dx =� x8 +� C
��
8
1 1 1
Przykład 3. dx =� x-�4dx =� x-�3 +� C =� -� +� C
�� ��
-� 3
x4 3x3
2 2
Przykład 4. x dx =� x1/ 2dx =� x3/ 2 +� C =� x3 +� C
�� ��
3 3
Własności całki nieoznaczonej
Poniższe dwie własności wynikają z analogicznych
własności dla pochodnych:
f (x)dx
��k �� f (x)dx =� k �� ��
f (x)dx +� g(x)dx
��[ f (x) +� g(x)]dx =� �� ��
Przykład 5.
x5dx +� 4�� x2dx +�
��(3x5 +� 4x2 +� 7)dx =� 3���� �� ��7dx =�
1 1 1 4
=� 3�� x6 +� 4�� x3 +� 7x +� C =� x6 +� x3 +� 7x +� C
6 3 2 3
Przykład 6.
��(2sin x +� 5cos x)dx =� 2����sin x dx +� 5����cos x dx =�
=� -�2cos x +� 5sin x +� C
Wzór na całkowanie przez części
��(u(x)��v'(x))dx =� u(x)��v(x) -� ��(u '(x)��v(x))dx
��u(x) =� x v'(x) =� cos x��
Przykład 7. xcos x dx =� =�
��u '(x) =�1 v(x) =� sin x ż�
��
�� ��
=� xsin x -�
��sin xdx =� xsin x +� cos x +� C
��u(x) =� x2 v'(x) =� ex ��
�� ��
Przykład 8. x2ex dx =� =�
�� ż�
��
��
��u '(x) =� 2x v(x) =� ex ��
��
��u(x) =� 2x v'(x) =� ex ��
�� ��
=� x2ex -� =�
�� ż�
��2xexdx =�
��
��u '(x) =� 2 v(x) =� ex ��
��
=� x2ex -�(�2xex -� )�=�
��2exdx x2ex -� 2xex +� 2ex +� C
Całkowanie przez podstawianie
Ta metoda obliczania całek polega na podstawieniu do
wyrażenia podcałkowego nowej zmiennej (w miejsce
pewnego wyrażenia). Przebieg obliczeń wyjaśnimy na
przykładach.
�� ��
�� ��
podst.: 3x +� 2 =� t
��obl.poch.: 3dx =�1dt��
Przykład 9. =�
�� ż�
��(3x +� 2)5 dx =�
�� ��
1
�� dx =� dt ��
�� 3 ��
1 1 1 1
=�
��t5 �� 3dt =� 3 �� 6t6 +� C =� 18(3x +� 2)6 +� C
�� ��
�� podst.: 2x -� 5 =� t ��
��obl.poch.: 2dx =�1dt��
Przykład 10. 2x -� 5 dx =� =�
�� ż�
��
�� ��
1
�� dx =� dt ��
�� ��
2
1 1 1 2
=� t �� dt =� ��
�� ��t1/ 2dt =� 2 �� 3t3/ 2 +� C =�
2 2
t3 (2x -� 5)3
=� +� C =� +� C
3 3
podst.: sin x =� t
�� ��
Przykład 11. =�
�� ż�
��sin2 xcos x dx =�
��obl.poch.: cos xdx =� dt��
1 1
=�
��t2dt =� 3t3 +� C =� 3sin3 x +� C
Wzór do zapamiętania:
f '(x)
dx =� ln f (x) +� C
��
f (x)
2x +�1
Przykład 12. dx =�{licznik jest pochodną
��
x2 +� x -� 5
mianownika}=� ln x2 +� x -� 5 +� C
3
Przykład 13. dx =�{pochodna mianownika jest
��
2x +�1
3 2 3
równa 2}=� dx =� ln 2x +�1 +� C
��
2 2x +�1 2
sin x
Przykład 14. x dx =� dx =�{pochodna
��tg ��
cos x
mianownika jest równa -� sin x}=
-� sin x
=� -� dx =� -�ln cos x +� C
��
cos x
5x +�1
Przykład 15. dx
��
(x -�1)(x +� 2)
Przekształcimy wzór funkcji podcałkowej. Spróbujemy ją
zapisać jako sumę dwóch ułamków, łatwiejszych do
całkowania. Te ułamki powinny mieć mianowniki: x -�1
oraz x +� 2 . Wyznaczymy ich liczniki, które tymczasowo
oznaczymy: A oraz B. Zatem: szukamy takich A oraz B,
aby:
5x +�1 A B
=� +�
(x -�1)(x +� 2) x -�1 x +� 2
A B A(x +� 2) +� B(x -�1)
Ponieważ +� =�
x -�1 x +� 2 (x -�1)(x +� 2)
więc: 5x +�1=� A(x +� 2) +� B(x -�1)
5x +�1=� Ax +� 2A +� Bx -� B
5x +�1=� x(A +� B) +� 2A -� B
��A +� B =� 5
��
��2A -� B =�1
Dodajemy stronami: 3A =� 6, stąd: A =� 2
Z pierwszego równania: 2 +� B =� 5, B =� 3
5x +�1 2 3
Zatem: =� +�
(x -�1)(x +� 2) x -�1 x +� 2
Wracamy do całki:
5x +�1 2 3
ć� ��dx
dx =�
�� ��
�� ��Ł� x -�1 +� x +� 2ł� =�
(x -�1)(x +� 2)
1 1
=� 2 dx +� 3 dx =� 2ln x -�1 +� 3ln x +� 2 +� C .
�� ��
x -�1 x +� 2
Zaprezentowaną w tym przykładzie metodę obliczania
całek funkcji wymiernych nazywamy metodą rozkładu na
ułamki proste.