Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

1

Rozważymy dwie kratownice A i B o schematach pokazanych na rysunkach. Ze

względu na podpory kratę A nazywamy swobodnie podpartą, a kratę B – wspornikową.

Umiejętność wyznaczania wykresów linii wpływu wielkości statycznych,

charakterystycznych dla belki swobodnie podpartej i wspornikowej ułatwi nam w znacznym
stopniu sporządzenie kolejnych linii wpływu wskazanych wielkości statycznych obu
kratownic.

Przykład 1:

Dana jest kratownica A swobodnie podparta. Wyznaczyć linie wpływu reakcji podporowych:

oraz sił

.

,

A

B

R R

3

2

,

,

G D K

4

A

B

G

3

P=1

ξ

2

R

A

R

B

K

4

D

2

2

2

2

1

Znając zasady sporządzania linii wpływu reakcji podporowych belki swobodnie
podpartej, można łatwo wyznaczyć linie wpływu reakcji w kratownicy. Dlatego też bez
obliczeń sporządzamy odpowiednie wykresy

LW R

A

+

1

LW R

B

0,

7

5

0,

5

0,

2

5

+

1

0,

2

5

0,

5

0,

75

Następnie dokonujemy przecięcia przez pręty

, dzieląc kratownicę na dwa

podukłady I i II (dI, dII).

3

2

,

,

G D K

4

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

2

A

B

G

3

P=1

ξ

2

R

A

R

B

K

4

D

2

2

2

2

1

G

3

R

B

K

4

D

2

E

G

3

R

A

K

4

D

2

dI)

I

C

C

E

dII)

II

Kształt wykresu może zależeć od tego, czy obciążenie jest przekazywane systemem
podłużnic i poprzecznic na węzły pasa górnego czy dolnego. Przy wyprowadzaniu równań
linii wpływu musimy obowiązkowo podać zakres zmienności współrzędnej, identyfikującej
położenie ruchomej siły jednostkowej.
Każde równanie równowagi zawierać będzie, oprócz interesującej nas siły osiowej,
jedną z reakcji podporowych:

• suma momentów względem punktu E dla podukładu I lub II, zapisana w celu

wyznaczenia LW G

3

,

• suma momentów względem punktu C, z której obliczymy LW D

2

,

• suma rzutów sił na oś 0Y, aby obliczyć linię wpływu siły osiowej w krzyżulcu LW

K

4

.

Przyjmijmy, że obciążenie jest przekazywane za pomocą poprzecznic do węzłów pasa

górnego. Potocznie mówimy, że mamy do czynienia w kratownicy z jazdą górą. Położenie
siły opisujemy za pomocą

ξ , z dwu przedziałów charakterystycznych:

[ ]

0,3

ξ

∈

oraz

[ ]

5,8

ξ

∈

. Szczegółowe równania linii wpływu sił podłużnych, na podstawie których

sporządzimy wykresy mają postać:

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

3

siła obciąża część I -

[ ]

0,3

ξ

∈

( )

0

E II

M

=

∑

,

( )

( )

3

3

1

4 0

4

B

B

G

R

G

R

ξ

ξ

⋅ +

⋅ = →

= − ⋅

( )

0

C II

M

=

∑

,

( )

( )

2

2

1

5 0

5

B

B

D

R

D

R

ξ

ξ

⋅ −

⋅ = →

= ⋅

( )

0

Y II

P

=

∑

,

( )

( )

4

4

1

0

2

2

B

B

K

R

K

R

ξ

ξ

⎛

⎞

⋅

+

= →

= −

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

siła obciąża część II -

[ ]

5,8

ξ

∈

( )

0

E I

M

=

∑

,

( )

( )

3

3

1

4 0

4

A

A

G

R

G

R

ξ

ξ

⋅ +

⋅ = →

= − ⋅

( )

0

C I

M

=

∑

,

( )

( )

2

2

1

3 0

3

A

A

D

R

D

R

ξ

ξ

⋅ −

⋅ = →

= ⋅

( )

0

Y I

P

=

∑

,

( )

( )

4

4

1

0

2

2

A

A

K

R

K

R

ξ

ξ

⎛

⎞

⋅

−

= →

=

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

Rzędne występujące w punktach o współrzędnych

3

ξ

=

oraz

5

ξ

=

łączymy linią prostą,

uzupełniając w ten sposób wykres w przedziale, w którym dokonaliśmy przecięcia przez trzy
pręty kratownicy.

LW G

3

0,

5

1,

5

1,

5

0,

5

-4R

A

-4R

B

LW D

2

0,

62

5

1,

87

5

1,

12

5

0,

37

5

3R

A

5R

B

LW K

4

0,

53

0,

18

1,41R

A

-1,41R

B

0,

53

0,

18

+

+

-

-

Kratownica typu A – jazda górą – linie wpływu

3

2

,

,

G D K

4

W

przypadku

jazdy dołem, gdy poprzecznice przekazują obciążenie na pas dolny,

położenie siły jednostkowej jest opisane za pomocą współrzędnej

ξ należącej do dwu

przedziałów:

[ ]

0, 2

ξ

∈

oraz

[ ]

4,8

ξ

∈

. W wymienionych nowych przedziałach obowiązują

powyżej zapisane równania. Wykresy uzupełniamy funkcją liniową w przedziale

[ ]

2, 4

ξ

∈

.

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

4

E

G

3

R

A

K

4

D

2

G

3

R

B

K

4

D

2

dI)

I

C

C

E

dII)

II

LW G

3

1

-4R

A

-4R

B

LW D

2

1,

25

1,

5

0,

75

3R

A

5R

B

LW K

4

0,

7

1,41R

A

-1,41R

B

0,

35

+

+

-

-

1

2

0,

35

Kratownica typu A – jazda dołem – linie wpływu

3

2

,

,

G D K

4

4

Przykład 2:

Dana jest kratownica B wspornikowa. Wyznaczyć linie wpływu reakcji podporowych:

oraz sił osiowych w trzech prętach

.

,

A

R H

3

2

,

,

G D K

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

5

A

B

G

3

P=1

ξ

2

R

A

H

K

4

D

2

2

2

2

1

Poniżej zapiszemy szczegółowe równania służące wyznaczaniu pięciu linii wpływu.
dla

[ ]

0,8

ξ

∈

,

0

P

=

∑

( )

1 0

1

A

A

R

R

ξ

− = →

=

dla

[ ]

0,8

ξ

∈

,

0

A

M

=

∑

( )

1 1

0

H

H

ξ

ξ

ξ

− ⋅ + ⋅ = →

=

LW R

A

+

1

LW H

+

8

2

4

6

Siły osiowe

uzewnętrzniamy w przecięciu, w wyniku którego powstają

dwa podukłady I i II. Linie wpływu sił osiowych w prętach

są opisane za pomocą

następujących równań:

3

2

,

,

G D K

4

4

3

2

,

,

G D K

dla

[ ]

0,3

ξ

∈

(jazda górą) lub

[ ]

0, 2

ξ

∈

(jazda dołem)

( )

0

D II

M

=

∑

,

( )

3

3

1 0

0

G

G

ξ

⋅ = →

=

( )

0

Y II

P

=

∑

,

( )

4

4

0,707 0

0

K

K

ξ

⋅

= →

=

( )

0

C II

M

=

∑

,

( )

2

2

1 0

0

D

D

ξ

⋅ = →

=

dla

[ ]

5,8

ξ

∈

(jazda górą) lub

[ ]

4,8

ξ

∈

(jazda dołem)

( )

0

D II

M

=

∑

,

(

)

( )

3

3

1 1

4

0

4

G

G

ξ

ξ

⋅ − ⋅ −

= →

= −

ξ

( )

0

Y II

P

=

∑

,

( )

4

4

0,707 1 0

1, 414

K

K

ξ

⋅

− = →

=

( )

0

C II

M

=

∑

,

(

)

( )

2

2

1 1

3

0

3

D

D

ξ

ξ

ξ

⋅ + ⋅ − = →

= − .

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

6

LW D

2

LW K

4

G

3

K

4

D

2

D

G

3

R

A

K

4

D

2

dI)

I

C

C

D

dII)

II

H

H

R

A

LW G

3

1

+

4

+

1,

41

1,

41

5

-

2

Kratownica typu B – jazda górą – linie wpływu

3

2

,

,

G D K

4

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

7

LW D

2

LW K

4

G

3

K

4

D

2

D

G

3

R

A

K

4

D

2

dI)

I

C

C

D

dII)

II

H

H

R

A

LW G

3

+

4

+

1,

41

1,

41

5

-

1

Kratownica typu B – jazda dołem – linie wpływu

3

2

,

,

G D K

4

Ćwiczenie nr 3 z Mechaniki Budowli

Linie wpływu reakcji i sił podłużnych w kratownicach

8

Ćwiczenie projektowe nr 2 z Mechaniki Budowli

Dana jest kratownica półkrzyżulcowa. Wyznaczyć linie wpływu sił osiowych w prętach
kratownicy

.

3 6

5 8

4 6

4 8

7 9

9 12

6 7

7 8

9 10

,

,

,

,

,

,

,

,

G

D

K

K

K

K

S

S

S

−

−

−

−

−

−

−

−

−

A

B

G

3-6

P=1

x

1,5

R

A

R

B

K

4-6

D

5-8

1

1

1,5

1,5

1,5

1,5

1,5

1

2

5

8

10

13

4

7

12

3

6

9

11

K

4-8

S

6-7

S

7-8

K

7-9

K

9-12

S

9-10