Matematyka A, kolokwium, 12 stycznia 2009, 18:05 – 20:00

Rozwia

֒

zania r´

o ˙znych zada´

n maja

֒

znale´

z´

c sie

֒

na r´

o ˙znych kartkach, bo sprawdza´

c je be

֒

da

֒

r´

o ˙zne

osoby.

Ka ˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

֒

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´

cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

֒

cej ´

cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

֒

dze´

n

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

֒

by´

c schowane i wy la

֒

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´

ow serca.

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

֒

na twierdzenia,

kt´

ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CA

LE

zadanie

PRZED

rozpocze

֒

ciem rozwia

֒

zywania go!

1.

Znale´z´c trzeci i czwarty wielomian Taylora funkcji f w punkcie 1 , je´sli

a. (5 pt.)

f

(x) = x

4

,

b. (5 pt.)

f

(x) = 2x

3

+ 3x

2

+ 4x + 5 .

2. (10 pt.)

Obliczy´c f

(n)

(x

0

) , je´sli:

a. (3 pt.)

f

(x) = ln(1 + 3x) , n = 666 i x

0

= 0 ,

b. (4 pt.)

f

(x) =

x

+2

x

+1

, n = 966 i x

0

= 0

c. (3 pt.)

f

(x) = sin x , n = 1966 i x

0

=

π

3

.

3. (10 pt.)

Znale´z´c granice

֒

lim

x

→

0

ln(cos(2x)) + 2 sin

2

x

(tg x) · (x − sin x)

.

4. (10 pt.)

Niech f (x) =

3

px

4

(x + 5)

2

· (x

2

+ 1)

−

1

.

Je´sli 0 6= x 6= −5 , to zachodza

֒

r´owno´sci

f

′

(x) = −

2
3

(5x

2

−3x−10)(x

2

+1)

−

2

3

q

x

x

+5

oraz

f

′′

(x) =

4
9

15x

5

+49x

4

−

135x

3

−

358x

2

+30x+25

(x

2

+1)

3 3

√

x

2

(x+5)

4

.

Wielomian 5x

2

− 3x − 10 ma dwa pierwiastki rzeczywiste: x

1

=

1

10

(3 −

√

209) ≈ −1,15

oraz x

2

=

1

10

(3 +

√

209) ≈ 1,75 . Wielomian 15x

5

+ 49x

4

− 135x

3

− 358x

2

+ 30x + 25 ma

pie

֒

´c pierwiastk´ow rzeczywistych x

3

≈ −4,00 , x

4

≈ −2,14 , x

5

≈ −0,24 , x

6

≈ 0,29 oraz

x

7

≈ 2,82 .

Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle

֒

s la.

Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

′

przy x −→ ±∞ i przy

x

−→ −5

±

.

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

5. (10 pt.)

Znale´z´c lim

x

→∞

ln(x + 5x

2

+

√

x

+ e

x

+ sin x)

ln(x

1683

+

√

1 + x

2

+ 2

x

+ cos x)

.