Podział par kinematycznych:
a)pary niższe- styk powierzchniowy;
b)pary wyższe- styk liniowy lub punktowy;
Pary kinematyczne dzielimy na klasy. Podstawą podziału jest
liczba stopni swobody danej pary kinematycznej. Dowolny
człon jeżeli jest swobodny to w kartezjańskim układzie
współrzędnych ma 6 stopni swobody.
Połączenie członów w pary odbiera każdemu z nich pewną
liczbę stopni swobody. Liczbę i odebranych stopni swobody
określamy wzorem a=b-s;
Gdzie: s-liczba stopni swobody danej p.k.
Odrzucając a=6 i a=0 otrzymujemy 5 klas par Kinematycznych
oznaczonych I-V. W każdej Klasie istnieją tak zwane postacie,
które zależą od tego jakie ruchy są możliwe lub
niedopuszczalne.
Metoda planów prędkości i przyspieszeń:
Opiera się na znanym twierdzeniu mechaniki, które mówi, że
rzuty dwóch punktów należących do ciała sztywnego na prostą
łączącą dwa punkty są równe.
Metoda planów prędkości i przyspieszeń:
*Planem prędkości członu sztywnego nazywamy miejsce
geometryczne końców wektorów prędkości bezwzględnych
odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu
prędkości. Plan prędkości członu jest do niego podobny pod
względem konfiguracji i odwrócony w stosunku do niego o
kąt90.
*Planem przyspieszeń członu sztywnego nazywamy miejsce
geometryczne końców wektorów przyspieszeń bezwzględnych
odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu
przyspieszeń. Plan prędkości jest do niego podobny pod
względem konfiguracji punktów i obrócony w stosunku do
niego o kąt α, którego tg opisany jest zależnością tgα=

.

Metoda analityczna: wyznaczania prędkości i przysp. Jest
metodą ścisłą i pozwala z dowolną dokładnością wyznaczyć
prędkości i przyspieszenia w poszukiwanych punktach
mechanizmu.
Założenia: 1. Mechanizm zastępujemy zamkniętym
wielobokiem wektorów, które w czasie ruchu mechanizmu
mogą zmieniać swoją długość i położenie. 2. Tak zastąpiony
mechanizm lokujemy w przyjętym kartezjańskim układzie
współrzędnych. 3. Przez kąt wektora z osią rozumiemy zawsze
dodatni kąt, o który należy obrócić oś, aby jej dodatni zwrot
pokrył się z dodatnim zwrotem wektora. 4. Zależność między
wektorami:

∑

= 0

5. Rzutując wektory na osie układu

współrzędnych otrzymujemy zależności:
x:

∑

∗

= 0

y:

∑

∗

= 0

Mechanizmy krzywkowe
Mech. Krzywkowym nazywamy mechanizm składający się z
krzywki i popychacza. Krzywka porusza się zwykle ruchem
obrotowym (rzadziej postępowym). Popychacz porusza się
ruchem postępowo-zwrotnym(rzadziej wahadłowym). M.k.
tworzą parę kinematyczną o styku liniowym lub punktowym 4
klasy. Mogą być płaskie lub przestrzenne. W przypadku, gdy
oś popychacza i oś obrotu krzywki leżą na jednej linii to mamy
do czynienia z popychaczem umieszczonym centralnie. W
przypadku, gdy oś popychacza i oś obrotu krzywki nie leżą na
jednej linii mówimy o popychaczu umieszczonym
mimośrodowo (mimośród „e”). Rodzaje popychaczy: -
ostrzowy, grzybkowy, talerzykowy, wahadłowy.
Analiza mechanizmu krzywkowego:
sprowadza się do znalezienia wzniosu, prędkości,
przyspieszenia popychacza w funkcji czasu lub kąta obrotu
krzywki. Analiza m.k. może być prowadzona w sposób
analityczny lub graficzny.
Główną zaletą m.k. jest łatwość uzyskania dowolnego
przebiegu przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia
popychacza przy nieskomplikowanej, lekkiej konstrukcji. Wadą
natomiast jest niecelowość stosowania przy dużych
obciążeniach. M.k. stosowane są głównie przy wszelkiego
rodzaju sterowaniach(rozrząd).

a)metoda analityczna:

h= ρ-r

h=A-B

h(φ)= ρ(φ)-r

ρ=ρ(φ)

φ=

*t

h=h(φ)

φ=

*t

u= φ(t)

h=h(t)

v=

p=

b) metoda graficzną: Jeżeli analizy m.k. nie da się
przeprowadzić metodą analityczną lub gdy analiza jest bardzo
utrudniona stosujemy metodę graficzną. Sposób postępowania
w tej metodzie jest następujący:
Unieruchamiamy krzywkę i zmuszamy popychacz do ślizgania
się po jej powierzchni aż do zajęcia położenia określonego
kątem φ, przy którym chcemy znaleźć wznios. Następnie
łukiem okręgu równym promieniowi krzywizny krzywki ρ
odpowiadającym położeniu kątowemu φ wracamy z
powrotem na pierwotną oś popychacza. Różnica przemieszczeń
pomiędzy wtórnym a pierwotnym położeniem popychacza
odpowiada poszukiwanemu wzniosowi.
Synteza m.k. polega na znalezieniu profilu krzywki celem
zrealizowania określonego ruchu popychacza. Zadanymi
parametrami mogą być:
-przebieg przemieszczenia popychacza w funkcji czasu;
-przebieg prędkości popychacza w funkcji czasu;
-przebieg przyspieszenia popychacza w funkcji czasu;
Dodatkowo możemy narzucić pewne warunki ograniczające:
a)maks. wznios popychacza;
b)maks. prędkość popychacza;
c)maks. przyspieszenie popychacza.
Dodatkowo musimy zawsze sprawdzić trzecią pochodną

przemieszczenia popychacza po czasie

czyli tzw. udar.

Pochodna ta powinna mieć zawsze skończoną wartość w
pełnym zakresie kąta obrotu krzywki. Syntezę m.k. możemy
prowadzić metodami analitycznymi i graficznymi.
Wyznaczanie sił w mechanizmach: Przy projektowaniu mech
konieczna jest znajomość sił działających na jego człony. Przy
badaniu ukł. sił możemy wyróżnić główne zadania:
1.określenie związków pomiędzy układem sił napędzających i
sił roboczych, czyli sił na wejściu i na wyjściu rozpatrywanego
układu. Gdy zadane mamy siły robocze to zadanie ogranicza
się do wyznaczanie sił napędzających wymałujących zadane
siły robocze.
2.odwrotnie przy danych siłach napędzających trzeba określić,
jakie mogą być siły robocze.

3.określenie reakcji występujących w parach kinematycznych.
Rozwiązanie tego problemu umożliwia dobór konstrukcyjny
członów. Jest bowiem podstawą obliczeń
wytrzymałościowych.
Po przeprowadzeniu analizy kinematycznej mech. znane są
ruchy wszystkich jego członów. Problem wyznaczenia sił
polega więc na ich wyznaczeniu gdy znany jest ruch układu.
Do wyznaczania sił możemy posłużyć się dowolną zasadą
Mech. Ogólnej. Najczęściej stosujemy zasadę de’Lamberta.
Głosi ona że układ sił zew. i reakcji z dodaniem sił
bezwładności stanowi układ równoważny 0.

̅ + +

= 0 ! + "# + !

= 0

Gdzie: S, R,

-wektory główne układu sił zew., reakcji i sił

bezwładności;
L, H, L

B

-momenty główne

pochodzące od sił zew., reakcji i sił

bezwładności.
Reakcja w parze kinematycznej jest wielkością mierzoną. Z
charakterem pary możemy określić niektóre jej właściwości,
np.: w parze kinematycznej 5 klasy obrotowej reakcja leży w
pł. Prostopadłej do Osi obrotu.
Wyznaczanie sił bezwł. metodą pkt. zastępczych:
rozpatrywany element mech. zastępujemy układem kilku
punktów materialnych. Punkty te tak dobieramy aby układ sił
bezwładności był równoważny układowi sił bezwładności
członu. Siła bezwładności punktów zastępczych jest równa
ilorazowi ich mas przez przyspieszenie.

$

= −&'

Warunki równowagi:
1.suma mas układu zastępczego musi być równa masie członu:

∑ &

= &

(

2.środek masy układu zastępczego musi pokrywać się ze
środkiem masy badanego członu. W układzie płaskim
prowadzi to do dwóch równań:

∑ &

∗ )

= &)

*

(

∑ &

∗ +

= &+

*

(

Gdzie:

)

,

+

-współczynniki punktów zastępczych;

x

c,

y

c

- współczynniki środków masy członu w przyjętym

kartezjańskim układzie współrzędnych XY.
Układ współrzędnych lokujemy zwykle w środku masy
badanego członu. Spełnianie tego warunku powoduje
zerowanie się prawych stron układu równań równych 2.
3.suma momentów bezwładności układu zastępczego
względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny układu
powinna być równa momentom bezwładności układu
rzeczywistego względem tego punktu:

, &

∗ ()

.

+ +

.

) = 0

*

(

Każdy punkt zastępczy określany jest przez 3 wartości: masę i 2
współrzędne. Z układu równań możemy wyznaczyć maks. 4
niewiadome. A więc niektóre wielkości w rozpatrywanym
elemencie mechanicznym możemy przyjąć w sposób dowolny.
Liczba tych wielkości: p=3n-4.
dla n=1 => p= -1
dla n=2 => p= 1.
Równanie ruchu maszyny: wyprowadzamy wychodząc z
twierdzenia o energii kinetycznej:

∆E

k

=dL; d(m

z

*

1

.

)=P

z

*ds;

2

3

∗

1

.

+

(

41

1

)

3

∗ &

.

= '

5

;

2

3

∗

1

.

+

6

41

1

7∗

3∗

∗ &

5

= '

5

;

2

3

∗

1

.

+ 8

3

∗ &

5

= '

5

;

2

3

∗

9

1

.

+

3

∗

3

∗ &

5

= '

5

;

&

5

∗

+

2

3

∗

1

.

= '

5

;

D(I

z

*

:

1

.

)=M

z

*dφ

I

z*

:

+

;

2

<

+

:

1

.

= =

5

Otrzymane równania są równaniami różniczkowymi
pierwszego rzędu ze względu na v lub w.
W przypadku gdy zredukowana masa M

z

i zredukowany

moment bezwładności I

z

nie zależą od drogi ostatnie równania

przyjmuja postać:

m

z

*

= '

5

I

z*

:

= =

5

m

z*

> = '

5

Iż

∗ > = =

5

Nierównomierność biegu maszyny: w maszynach wskutek
zmienności momentu napędowego i oporowego występuje
wahanie wartości kątowej wokół pewnej wartości średniej.
Załóżmy, że w zakresie kąta obrotu Φ=2

? występują wahania

od

max

do

min

. Do oceny nierównomierności biegu maszyny

wprowadzamy pojęcie tzw. Współczynnika nierównomierności
biegu maszyny:
б=

@

ABC

D@

AEF

@

śH

ω

śr=

@

ABC

I@

AEF

.

б=2

@

ABC

D@

AEF

@

ABC

I@

AEF

=

@

ABC

1

D@

AEF

1

.@

JH

1

;

;

2

∗K@

ABC

1

D@

AEF

1

L∗@

JH

1

.@

JH

= !

;

б =

N

O

P

Q

∗@

JH

1

Z ostatniego wzoru widać, że współczynnik
nierównomierności biegu

б będzie tym większy im większa

praca wykonana przez siły czynną i bierną i tym mniejszy im
większy zredukowany moment bezwładności i prędkości
średniej.
Zmniejszenie

б w silnikach spalinowych możemy uzyskać

poprzez zwiększenie liczby cylindrów lub odpowiednie
rozstawienie korb układów korbowych.
W ramach określonej konstrukcji najłatwiej uzyskać obniżenia

б poprzez dobór tzw. Koła zamachowego. Koło zamachowe
ma tą własność, że przejmuje energię która jest mu podawana
w sposób nierównomierny a oddaje w sposób równomierny.
Im większa

3R

tym mniejsze

б dlatego koło zamachowe

montowane jest bezpośrednio na czopie wału silnika.

0

S

=

!

б ∗

3R

.

∗ 0

5

Stabilnością układu automatyki: nazywamy jego zdolność
powrotu do stanu równowagi stałej po ustalonym działaniu
zakłócenia, które go z tego stanu wytraciło/
Dowolny element lub układ automatyki poddany zakłóceniom
z(t) może być opisany następującym równaniem:

T

(

F

U

F

+ T

(D

FVW

U

FVW

+ ⋯+ T

Y

+ = Z

[

A

5

A

+ Z

D

[

AVW

5

AVW

+ ⋯+ Z

Y

\

Poddając to równanie transformacji Laplace’a otrzymamy

T

(

(

+() + T

(D

(D

+() + ⋯ + T

Y

+() = Z

\() +

Z

D

D

\() + ⋯+ Z

Y

\()

G(s)=

5(3)
U(3)

=

[

A

3

A

I[

AVW

3

AVW

I⋯I[

]

^

F

3

F

I^

FVW

3

FVW

I⋯I^

]

=

_(3)
`(3)

N(s)-równanie charakterystyczne;

Równanie pierwsze można zapisać:

+(a) =(b

Y

+ ∑

b

S

∗ c

3SD

S(

S

)z

st

Gdzie:
A

0

, A

k

- stałe współczynniki;

S

k

- pierwiastki równania charakterystycznego;

t- czas;
Z

st

- statyczna wartość wymuszenia;

S

k

>0

lim

→h

(b

Y

+ ∑

b

S

∗ c

3SD

S(

S

)\

3

= ∞

S

k

<0

lim

→h

(b

Y

+ ∑

b

S

∗ c

3SD

S(

S

)\

3

= lim

→h

(b

Y

+

∑

b

S

∗

j

JkVl

S(

S

) \

3

= b

Y

\

3

Ogólny warunek stabilności elementu lub układu możemy
sformułować następująco:
Części rzeczywiste pierwiastków charakterystycznych muszą
być mniejsze od zera
Re(S

k

)<0

Kryterium Hurtwitz’a: układ będziemy uważać za stabilny w
sensie Hurwitz’a jeżeli dla równania charakterystycznego w
postaci:
a

n

s

n

+ a

n-1

s

n-1

+…+a

0

=0

Spełnione będą następujące warunki:
a)wszystkie współczynniki równania charakterystycznego
istnieja i są większe od 0.
a

n

; a

n-1

; a

n-2

…; a

0

>0

b)podwyznaczniki ∆

I

dla i=2 i więcej utworzone z

wyznacznika głównego ∆

n

muszą być>0

∆

(

= n

T

(D

T

(

0

T

(Do

T

(D.

T

(D

T

(Dp

T

(Dq

T

(Do

0

T

(

T

(D.

.

.

.

s

…

∆

.

= t

T

(D

T

(

T

(Do

T

(D.

u

Kryterium Nyquista: opiera się o badanie charakterystyki
amplitudowo-fazowej. Jeżeli przebiegać będzie ona w
odpowiedni sposób to układ po zamknięciu będzie stabilny.
Jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
otwartego dla

zmieniającej się od 0 do ∞ zostawia punkt o

współrzędnej (-1;j0) po lewej stronie idąc w kierunku
zwiększającej się

to układ po zamknięciu będzie stabilny

Element różniczkujący idealny:
a)równanie elementu
+ = v ∗

w

b)równanie charakterystyki statycznej

w

= 0; y=0

c)transmitancja operatorowa
y(s)=ks*x(s)
G(s)=ks
Dla sygnałów jednoimiennych k=T więc G(s)=Ts
d)odp. Układu na wymuszenia skokowe
y(s)=G(s)*x(s);

x(s)=

3

x

st

;

x(t)=1(t)*x

st

y(s)=Ts*

3

*x

st

=T*x

st

*1

α

-1

[1]=

б(t)

g(t)=T*x

st

*

б(t)

б(t) = y

0 dla t < 0

∞ dla t = 0

0 dal t > 0

~

e) transmitancja widmowa
G(s)=G(jw) |

s=jw

G(jw)=jTw
P(w)=0
Q(w)=Tw
f)charakterystyka amplitudowo-fazowa







g)log. Char. Amplitudowa
L(w)=20logTw






h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg

<(:)
(:)

=arctg∞=

€
.

Element różniczkujący rzeczywisty:
a)równanie elementu


U

+ + = ‚

w

b)równanie charakterystyki statycznej

U

;

w

= 0; y=0

c)transmitancja operatorowa
Ts*y(s)+y(s)=ks*x(s)

G(s)=

S3

„3I

Dla sygnałów jednoimiennych k=T więc G(s)=

„3

„3I

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe
y(s)=G(s)*x(s);

x(s)=

3

x

st

;

x(t)=1(t)*x

st

y(s)=

„3

„3I

∗

3

∗ )

3

=

„w

Jl

„(3I

W

…

)

= )

3

∗

3I

W

…

α

-1

[

3I

W

…

]=

c

D

W

1

∗

α

-1

[

3I

W

…

]=

c

D

l

…

g(t)=x

st

*

c

D

l

…

†(a = ) = )

3

∗ c

D

= )

3

∗

j

= 0,368)

3

e) transmitancja widmowa
G(s)=G(jw) |

s=jw

G(jw)=

‹„:

„‹:I

∗

„‹:D
„‹:D

=

„

1

:

1

„

1

:

1

I

+ Œ

„:

„

1

:

1

I

P(w)=

„

1

:

1

„

1

:

1

I

Q(w)=

„:

„

1

:

1

I

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa







g)log. Char. Amplitudowa

L(w)=20log



„

1

:

1

∗„

1

:

1

I

(„

1

:

1

I)

1

= 20† − 20†√

.



.

+ 1

h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg

„:

Element całkujący:
a)równanie elementu

U

= v)

b)równanie charakterystyki statycznej
x=0
c)transmitancja operatorowa
s*y(s)=k*x(s)

G(s)=

S
3

Dla sygnałów jednoimiennych k=

„

więc G(s)=

„3

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe
y(s)=G(s)*x(s);

x(s)=

3

x

st

;

x(t)=1(t)*x

st

y(s)=

„3

∗

3

∗ )

3

=

w

Jl

„

∗

3

1

α

-1

[

3I

W

…

]=

c

D

W

1

∗

α

-1

[

3

1

]=t

g(t)=

w

Jl

„

∗ a

e) transmitancja widmowa
G(s)=G(jw) |

s=jw

G(jw)=

„‹:

∗

‹
‹

=

‹

D„:

= −

‹

„:

P(w)=

0

Q(w)=

−

„:

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa







g)log. Char. Amplitudowa

L(w)=20log

„:

=-20logTw

h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg

D

W

…’

→Y

= T“a† − ∞ = −

€
.

Element opóźniający:
a)równanie elementu

+(a) = )(a − ”)




b)równanie charakterystyki statycznej
y=k
c)transmitancja operatorowa
y(s)=

c

•3

*x(s)

G(s)=

c

D•3

Dla sygnałów jednoimiennych k=

„

więc G(s)=

„3

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe









e) transmitancja widmowa
G(s)=G(jw) |

s=jw

G(jw)=

c

D‹•:

c

D‹w

= ) − Œ)

G(jw)=

 − Œ

P(w)=



Q(w)=

−

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa







g)log. Char. Amplitudowa
L(w)=20log1=0







h)log. Char. fazowa
φ(w)=arctg

(−a†) = −