Podział par kinematycznych:

a)pary niższe- styk powierzchniowy;

b)pary wyższe- styk liniowy lub punktowy;

Pary kinematyczne dzielimy na klasy. Podstawą podziału jest liczba stopni swobody danej pary kinematycznej. Dowolny człon jeżeli jest swobodny to w kartezjańskim układzie współrzędnych ma 6 stopni swobody.

Połączenie członów w pary odbiera każdemu z nich pewną liczbę stopni swobody. Liczbę i odebranych stopni swobody określamy wzorem a=b-s;

Gdzie: s-liczba stopni swobody danej p.k.

Odrzucając a=6 i a=0 otrzymujemy 5 klas par Kinematycznych oznaczonych I-V. W każdej Klasie istnieją tak zwane postacie, które zależą od tego jakie ruchy są możliwe lub niedopuszczalne.

Metoda planów prędkości i przyspieszeń:

Opiera się na znanym twierdzeniu mechaniki, które mówi, że rzuty dwóch punktów należących do ciała sztywnego na prostą łączącą dwa punkty są równe.

Metoda planów prędkości i przyspieszeń:

*Planem prędkości członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów prędkości bezwzględnych odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu prędkości. Plan prędkości członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji i odwrócony w stosunku do niego o kąt90.

*Planem przyspieszeń członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów przyspieszeń bezwzględnych odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu przyspieszeń. Plan prędkości jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony w stosunku do niego o kąt α, którego tg opisany jest zależnością tgα=$\frac{\mathbf{\varepsilon}}{\mathbf{w}^{\mathbf{2}}}$.

Metoda analityczna: wyznaczania prędkości i przysp. Jest metodą ścisłą i pozwala z dowolną dokładnością wyznaczyć prędkości i przyspieszenia w poszukiwanych punktach mechanizmu.

Założenia: 1. Mechanizm zastępujemy zamkniętym wielobokiem wektorów, które w czasie ruchu mechanizmu mogą zmieniać swoją długość i położenie. 2. Tak zastąpiony mechanizm lokujemy w przyjętym kartezjańskim układzie współrzędnych. 3. Przez kąt wektora z osią rozumiemy zawsze dodatni kąt, o który należy obrócić oś, aby jej dodatni zwrot pokrył się z dodatnim zwrotem wektora. 4. Zależność między wektorami: $\sum_{i = 1}^{i = m}{li = 0}$ 5. Rzutując wektory na osie układu współrzędnych otrzymujemy zależności:

x:$\sum_{i = 1}^{i = m}{\text{li}*\cos\varphi_{i} = 0}$ y: $\sum_{i = 1}^{i = m}{\text{li}*\sin\varphi_{i} = 0}$

Mechanizmy krzywkowe

Mech. Krzywkowym nazywamy mechanizm składający się z krzywki i popychacza. Krzywka porusza się zwykle ruchem obrotowym (rzadziej postępowym). Popychacz porusza się ruchem postępowo-zwrotnym(rzadziej wahadłowym). M.k. tworzą parę kinematyczną o styku liniowym lub punktowym 4 klasy. Mogą być płaskie lub przestrzenne. W przypadku, gdy oś popychacza i oś obrotu krzywki leżą na jednej linii to mamy do czynienia z popychaczem umieszczonym centralnie. W przypadku, gdy oś popychacza i oś obrotu krzywki nie leżą na jednej linii mówimy o popychaczu umieszczonym mimośrodowo (mimośród „e”). Rodzaje popychaczy: -ostrzowy, grzybkowy, talerzykowy, wahadłowy.

Analiza mechanizmu krzywkowego:

sprowadza się do znalezienia wzniosu, prędkości, przyspieszenia popychacza w funkcji czasu lub kąta obrotu krzywki. Analiza m.k. może być prowadzona w sposób analityczny lub graficzny.

Główną zaletą m.k. jest łatwość uzyskania dowolnego przebiegu przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia popychacza przy nieskomplikowanej, lekkiej konstrukcji. Wadą natomiast jest niecelowość stosowania przy dużych obciążeniach. M.k. stosowane są głównie przy wszelkiego rodzaju sterowaniach(rozrząd).

a)metoda analityczna:

h= ρ-r h=A-B

h(φ)= ρ(φ)-r ρ=ρ(φ)

φ= ω*t h=h(φ)

φ= ω*t

u= φ(t) h=h(t)

v=$\frac{\text{du}}{\text{dt}}$

p=$\frac{dv}{\text{dt}}$

b) metoda graficzną: Jeżeli analizy m.k. nie da się przeprowadzić metodą analityczną lub gdy analiza jest bardzo utrudniona stosujemy metodę graficzną. Sposób postępowania w tej metodzie jest następujący:

Unieruchamiamy krzywkę i zmuszamy popychacz do ślizgania się po jej powierzchni aż do zajęcia położenia określonego kątem φ, przy którym chcemy znaleźć wznios. Następnie łukiem okręgu równym promieniowi krzywizny krzywki ρ odpowiadającym położeniu kątowemu φ wracamy z powrotem na pierwotną oś popychacza. Różnica przemieszczeń pomiędzy wtórnym a pierwotnym położeniem popychacza odpowiada poszukiwanemu wzniosowi.

Synteza m.k. polega na znalezieniu profilu krzywki celem zrealizowania określonego ruchu popychacza. Zadanymi parametrami mogą być:

-przebieg przemieszczenia popychacza w funkcji czasu;

-przebieg prędkości popychacza w funkcji czasu;

-przebieg przyspieszenia popychacza w funkcji czasu;

Dodatkowo możemy narzucić pewne warunki ograniczające:

a)maks. wznios popychacza;

b)maks. prędkość popychacza;

c)maks. przyspieszenie popychacza.

Dodatkowo musimy zawsze sprawdzić trzecią pochodną przemieszczenia popychacza po czasie $\frac{d^{3}h}{dt^{3}}$ czyli tzw. udar. Pochodna ta powinna mieć zawsze skończoną wartość w pełnym zakresie kąta obrotu krzywki. Syntezę m.k. możemy prowadzić metodami analitycznymi i graficznymi.

Wyznaczanie sił w mechanizmach: Przy projektowaniu mech konieczna jest znajomość sił działających na jego człony. Przy badaniu ukł. sił możemy wyróżnić główne zadania:

1.określenie związków pomiędzy układem sił napędzających i sił roboczych, czyli sił na wejściu i na wyjściu rozpatrywanego układu. Gdy zadane mamy siły robocze to zadanie ogranicza się do wyznaczanie sił napędzających wymałujących zadane siły robocze.

2.odwrotnie przy danych siłach napędzających trzeba określić, jakie mogą być siły robocze.

3.określenie reakcji występujących w parach kinematycznych. Rozwiązanie tego problemu umożliwia dobór konstrukcyjny członów. Jest bowiem podstawą obliczeń wytrzymałościowych.

Po przeprowadzeniu analizy kinematycznej mech. znane są ruchy wszystkich jego członów. Problem wyznaczenia sił polega więc na ich wyznaczeniu gdy znany jest ruch układu. Do wyznaczania sił możemy posłużyć się dowolną zasadą Mech. Ogólnej. Najczęściej stosujemy zasadę de’Lamberta. Głosi ona że układ sił zew. i reakcji z dodaniem sił bezwładności stanowi układ równoważny 0.

$\overset{\overline{}}{S} + \overset{\overline{}}{R} + \overset{\overline{}}{S_{B}} = 0$ $\overset{\overline{}}{L} + \overset{\overline{}}{H} + \overset{\overline{}}{L_{B}} = 0$

Gdzie: S, R, S_B -wektory główne układu sił zew., reakcji i sił bezwładności;

L, H, L_B-momenty główne pochodzące od sił zew., reakcji i sił bezwładności.

Reakcja w parze kinematycznej jest wielkością mierzoną. Z charakterem pary możemy określić niektóre jej właściwości, np.: w parze kinematycznej 5 klasy obrotowej reakcja leży w pł. Prostopadłej do Osi obrotu.

Wyznaczanie sił bezwł. metodą pkt. zastępczych: rozpatrywany element mech. zastępujemy układem kilku punktów materialnych. Punkty te tak dobieramy aby układ sił bezwładności był równoważny układowi sił bezwładności członu. Siła bezwładności punktów zastępczych jest równa ilorazowi ich mas przez przyspieszenie.

$${\overset{\overline{}}{F}}_{\text{Bi}} = - m{\overset{\overline{}}{P}}_{i}$$

Warunki równowagi:

1.suma mas układu zastępczego musi być równa masie członu: $\sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i} = m}$

2.środek masy układu zastępczego musi pokrywać się ze środkiem masy badanego członu. W układzie płaskim prowadzi to do dwóch równań: $\sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}*x_{i} = mx_{c}}$ $\sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}*y_{i} = my_{c}}$

Gdzie: x_i, y_i-współczynniki punktów zastępczych;

x_c, y_c- współczynniki środków masy członu w przyjętym kartezjańskim układzie współrzędnych XY.

Układ współrzędnych lokujemy zwykle w środku masy badanego członu. Spełnianie tego warunku powoduje zerowanie się prawych stron układu równań równych 2.

3.suma momentów bezwładności układu zastępczego względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny układu powinna być równa momentom bezwładności układu rzeczywistego względem tego punktu:

$$\sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}*(x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) = I_{c}}$$

Każdy punkt zastępczy określany jest przez 3 wartości: masę i 2 współrzędne. Z układu równań możemy wyznaczyć maks. 4 niewiadome. A więc niektóre wielkości w rozpatrywanym elemencie mechanicznym możemy przyjąć w sposób dowolny. Liczba tych wielkości: p=3n-4.

dla n=1 => p= -1

dla n=2 => p= 1.

Równanie ruchu maszyny: wyprowadzamy wychodząc z twierdzenia o energii kinetycznej:

ΔE_k=dL; d(m_z*$\frac{v^{2}}{2}$)=P_z*ds; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} + \frac{d(\frac{v^{2}}{2})}{\text{ds}}*m_{2} = P_{z}$; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} + \frac{d\left( \frac{v^{2}}{2} \right)*\text{dv}}{\text{ds}*\text{dv}}*m_{z} = P_{z}$; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} + v\frac{\text{dv}}{\text{ds}}*m_{z} = P_{z}$; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{V^{2}}{2} + \frac{\text{ds}}{\text{dt}}*\frac{\text{dv}}{\text{ds}}*m_{z} = P_{z}$; $m_{z}*\frac{\text{dv}}{\text{dt}} + \frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} = P_{z}$;

D(I_z*$\frac{w^{2}}{2}$)=M_z*dφ

I_z*$\frac{\text{dw}}{\text{dt}} + \frac{dI_{z}}{\text{dφ}} + \frac{w^{2}}{2} = M_{z}$

Otrzymane równania są równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu ze względu na v lub w.

W przypadku gdy zredukowana masa M_z i zredukowany moment bezwładności I_z nie zależą od drogi ostatnie równania przyjmuja postać:

m_z *$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = P_{z}$

I_z*$\frac{\text{dw}}{\text{dt}} = M_{z}$

m_z*$\ddot{s} = P_{z}$

Iż$*\ddot{\varphi} = M_{z}$

Nierównomierność biegu maszyny: w maszynach wskutek zmienności momentu napędowego i oporowego występuje wahanie wartości kątowej wokół pewnej wartości średniej. Załóżmy, że w zakresie kąta obrotu Φ=2πn występują wahania od ω_max do ω_min. Do oceny nierównomierności biegu maszyny wprowadzamy pojęcie tzw. Współczynnika nierównomierności biegu maszyny:

б=$\frac{\omega_{\max} - \omega_{\min}}{\omega_{sr}}$

ω_śr=$\frac{\omega_{\max} + \omega_{\min}}{2}$

б=2$\frac{\omega_{\max} - \omega_{\min}}{\omega_{\max} + \omega_{\min}} = \frac{\omega_{\max}^{2} - \omega_{\min}^{2}}{2\omega_{\text{sr}}^{2}}$; $\frac{I_{z}*\left( \omega_{\max}^{2} - \omega_{\min}^{2} \right)*\omega_{\text{sr}}^{2}}{2\omega_{\text{sr}}} = L_{m}$;

$b = \frac{L_{m}}{I_{z}*\omega_{\text{sr}}^{2}}$

Z ostatniego wzoru widać, że współczynnik nierównomierności biegu b będzie tym większy im większa praca wykonana przez siły czynną i bierną i tym mniejszy im większy zredukowany moment bezwładności i prędkości średniej.

Zmniejszenie b w silnikach spalinowych możemy uzyskać poprzez zwiększenie liczby cylindrów lub odpowiednie rozstawienie korb układów korbowych.

W ramach określonej konstrukcji najłatwiej uzyskać obniżenia b poprzez dobór tzw. Koła zamachowego. Koło zamachowe ma tą własność, że przejmuje energię która jest mu podawana w sposób nierównomierny a oddaje w sposób równomierny.

Im większa ω_sr tym mniejsze b dlatego koło zamachowe montowane jest bezpośrednio na czopie wału silnika.

$$I_{k} = \frac{L_{m}}{b*\omega_{\text{sr}}^{2}}*I_{z}$$

Stabilnością układu automatyki: nazywamy jego zdolność powrotu do stanu równowagi stałej po ustalonym działaniu zakłócenia, które go z tego stanu wytraciło/

Dowolny element lub układ automatyki poddany zakłóceniom z(t) może być opisany następującym równaniem:

$a_{n}\frac{d^{n}y}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y}{\text{dt}^{n - 1}} + \ldots + a_{0}y = b_{m}\frac{b^{m}z}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{b^{m - 1}z}{\text{dt}^{m - 1}} + \ldots + b_{0}z$

Poddając to równanie transformacji Laplace’a otrzymamy

a_nsⁿy(s) + a_n − 1s^n − 1y(s) + … + a₀y(s) = b_ms^mz(s) + b_m − 1s^m − 1z(s) + … + b₀z(s)

G(s)=$\frac{z(s)}{y\left( s \right)} = \frac{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{0}} = \frac{M(s)}{N(s)}$

N(s)-równanie charakterystyczne;

Równanie pierwsze można zapisać:

y(t)=($A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*e^{sk - t}}$)z_st

Gdzie:

A₀, A_k- stałe współczynniki;

S_k- pierwiastki równania charakterystycznego;

t- czas;

Z_st- statyczna wartość wymuszenia;

S_k>0

$\operatorname{}{(A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*e^{sk - t}})}z_{\text{st}} = \infty$

S_k<0

$\operatorname{}{(A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*e^{sk - t}})}z_{\text{st}} = \operatorname{}{(A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*\frac{1}{e^{sk - t}}})}z_{\text{st}} = A_{0}z_{\text{st}}$

Ogólny warunek stabilności elementu lub układu możemy sformułować następująco:

Części rzeczywiste pierwiastków charakterystycznych muszą być mniejsze od zera

Re(S_k)<0

Kryterium Hurtwitz’a: układ będziemy uważać za stabilny w sensie Hurwitz’a jeżeli dla równania charakterystycznego w postaci:

a_nsⁿ+ a_n-1s^n-1 +…+a₀=0

Spełnione będą następujące warunki:

a)wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieja i są większe od 0.

a_n; a_n-1; a_n-2…; a₀>0

b)podwyznaczniki ∆_I dla i=2 i więcej utworzone z wyznacznika głównego ∆_n muszą być>0

$$_{n} = \left\lbrack \begin{matrix} a_{n - 1} & a_{n} & 0 \\ a_{n - 3} & a_{n - 2} & a_{n - 1} \\ a_{n - 5} & a_{n - 4} & a_{n - 3} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ a_{n} \\ a_{n - 2} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} . \\ . \\ . \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

…

$$_{2} = \begin{bmatrix} a_{n - 1} & a_{n} \\ a_{n - 3} & a_{n - 2} \\ \end{bmatrix}$$

Kryterium Nyquista: opiera się o badanie charakterystyki amplitudowo-fazowej. Jeżeli przebiegać będzie ona w odpowiedni sposób to układ po zamknięciu będzie stabilny.

Jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla ω zmieniającej się od 0 do ∞ zostawia punkt o współrzędnej (-1;j0) po lewej stronie idąc w kierunku zwiększającej się ω to układ po zamknięciu będzie stabilny

Element różniczkujący idealny:

a)równanie elementu

$y = k*\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$

b)równanie charakterystyki statycznej

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = 0$; y=0

c)transmitancja operatorowa

y(s)=ks*x(s)

G(s)=ks

Dla sygnałów jednoimiennych k=T więc G(s)=Ts

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe

y(s)=G(s)*x(s);

x(s)=$\frac{1}{s}$x_st ;

x(t)=1(t)*x_st

y(s)=Ts*$\frac{1}{s}$*x_st=T*x_st*1

α^-1[1]= b(t)

g(t)=T*x_st* b(t)

$b\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ dla\ t < 0 \\ \infty\ dla\ t = 0 \\ 0\ dal\ t > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

e) transmitancja widmowa

G(s)=G(jw) |_s=jw

G(jw)=jTw

P(w)=0

Q(w)=Tw

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa

g)log. Char. Amplitudowa

L(w)=20logTw

h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg$\frac{\varphi\left( w \right)}{Q\left( w \right)}$=arctg∞=$\frac{\pi}{2}$

Element różniczkujący rzeczywisty:

a)równanie elementu

$T\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + y = d\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$

b)równanie charakterystyki statycznej

$\frac{\text{dy}}{\text{dt}};\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = 0$; y=0

c)transmitancja operatorowa

Ts*y(s)+y(s)=ks*x(s)

G(s)=$\frac{\text{ks}}{Ts + 1}$

Dla sygnałów jednoimiennych k=T więc G(s)=$\ \frac{\text{Ts}}{Ts + 1}$

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe

y(s)=G(s)*x(s);

x(s)=$\frac{1}{s}$x_st ;

x(t)=1(t)*x_st

y(s)=$\ \frac{\text{Ts}}{\text{Ts} + 1}*\frac{1}{s}*x_{\text{st}}$=$\frac{Tx_{\text{st}}}{T(s + \frac{1}{T})} = x_{\text{st}}*\frac{1}{s + \frac{1}{T}}$

α^-1[$\frac{1}{s + \frac{1}{T}}$]= $e^{- \frac{1}{2}*t}$

α^-1[$\frac{1}{s + \frac{1}{T}}$]= $e^{- \frac{t}{T}}$

g(t)=x_st*$\ e^{- \frac{t}{T}}$

$g\left( t = T \right) = x_{\text{st}}*e^{- 1} = x_{\text{st}}*\frac{1}{e} = 0,368x_{\text{st}}$

e) transmitancja widmowa

G(s)=G(jw) |_s=jw

G(jw)=$\frac{\text{jTw}}{Tjw + 1}*\frac{Tjw - 1}{Tjw - 1} = \frac{T^{2}w^{2}}{T^{2}w^{2} + 1} + j\frac{\text{Tw}}{T^{2}w^{2} + 1}$

P(w)=$\ \frac{T^{2}w^{2}}{T^{2}w^{2} + 1}$

Q(w)=$\ \frac{\text{Tw}}{T^{2}w^{2} + 1}$

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa

g)log. Char. Amplitudowa

L(w)=20log$\sqrt{\frac{T^{2}w^{2}*T^{2}w^{2} + 1}{{(T^{2}w^{2} + 1)}^{2}}} = 20logTw - 20log\sqrt{T^{2}w^{2} + 1}$

h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg$\frac{1}{\text{Tw}}$

Element całkujący:

a)równanie elementu

$\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = kx$

b)równanie charakterystyki statycznej

x=0

c)transmitancja operatorowa

s*y(s)=k*x(s)

G(s)=$\frac{k}{s}$

Dla sygnałów jednoimiennych k=$\frac{1}{T}$ więc G(s)=$\ \frac{1}{\text{Ts}}$

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe

y(s)=G(s)*x(s);

x(s)=$\frac{1}{s}$x_st ;

x(t)=1(t)*x_st

y(s)=$\ \frac{1}{\text{Ts}}*\frac{1}{s}*x_{\text{st}}$=$\frac{x_{\text{st}}}{T}*\frac{1}{s^{2}}$

α^-1[$\frac{1}{s + \frac{1}{T}}$]= $e^{- \frac{1}{2}*t}$

α^-1[$\frac{1}{s^{2}}$]=t

g(t)=$\frac{x_{\text{st}}}{T}*t$

e) transmitancja widmowa

G(s)=G(jw) |_s=jw

G(jw)=$\frac{1}{\text{Tjw}}*\frac{j}{j} = \frac{j}{- Tw} = - \frac{j}{\text{Tw}}$

P(w)= 0

Q(w)=$- \frac{1}{\text{Tw}}$

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa

g)log. Char. Amplitudowa

L(w)=20log$\frac{1}{\text{Tw}}$=-20logTw

h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg$\frac{- \frac{1}{\text{Tw}}}{\rightarrow 0} = arctg - \infty = - \frac{\pi}{2}$

Element opóźniający:

a)równanie elementu

y(t) = x(t−τ)

b)równanie charakterystyki statycznej

y=k

c)transmitancja operatorowa

y(s)=e^τs*x(s)

G(s)=e^−τs

Dla sygnałów jednoimiennych k=$\frac{1}{T}$ więc G(s)=$\ \frac{1}{\text{Ts}}$

d)odp. Układu na wymuszenia skokowe

e) transmitancja widmowa

G(s)=G(jw) |_s=jw

G(jw)=e^−jτw

e^−jx = cosx − jsinx

G(jw)= coswT − jsinwT

P(w)= coswT

Q(w)=−sinwT

f)charakterystyka amplitudowo-fazowa

g)log. Char. Amplitudowa

L(w)=20log1=0

h)log. Char. fazowa

φ(w)=arctg(−tgwT) = −wT