Analiza II

Zadania przygotowawcze

1. Znaleźć i zbadać punkty krytyczne następujących funkcji

(a) f (x, y) = e

−x

2

+2y

(2x − y

2

),

(b) f (x, y) =

1

x+y

+

x

y+1

+

y

x+1

, x, y > 0,

(c) f (x, y, z) = x +

y

2

4x

+

2
z

+

z

2

y

, x, y, z > 0,

(d) f (x, y, z) = x + 4y +

1
z

+

z+1

xy

, x, y, z > 0.

2. Znaleźć i zbadać punkty krytyczne funkcji z(x, y) zadanej w sposób uwikłany wzorem

(a)

1
2

(x

2

+ y

2

)z

3

+ xyz

2

+ z − 2 = 0,

(b) 2(x

3

+ y

3

)z

3

− 3(x

2

− y

2

)z

2

+ z − 1

3. Niech M = {A ⊂ X : A jest zbiorem przeliczalnym lub X \ A jest zbiorem przeliczalnym}.

Wykazać, że M jest σ-ciałem.

4. Niech M = {A ⊂ [0, 1] : A jest zbiorem miary (Lebesgue’a) zero lub X \ A jest zbiorem miary zero

Wykazać, że M jest σ-ciałem.

5. Niech M będzie σ-ciałem na zbiorze X oraz niech A ∈ M. Pokazać, że

M(A) = {B ∈ M : B ⊂ A}

jest σ-ciałem na zbiorze A.

6. Niech f : X → R

+

będzie funkcją mierzlaną. Niech

S

f

= {α ∈ R : µ

¡f

−1

((α, +∞])

¢ = 0}.

Niech β

f

= +∞ gdy S

f

= ∅ oraz β

f

= inf S

f

gdy S

f

6= ∅. Oznaczmy symbolem

L

∞

zbiór wszystkich funkcji mierzlanych dla których β

|f |

< ∞. Niech L

∞

= L

∞

/ ,

gdzie relacja utożsamia funkcje równe prawie wszędzie na X. Wykazać następujące
własności:

(a) Pokazać, że dla dowolnej funkcji nieujemnej f jeżeli S

f

6= ∅ to β

f

∈ S

f

.

(b) Pokazać, że zbiory L

∞

oraz L

∞

tworzą przstrzenie wektorowe.

(c) Pokazać, że kf k

∞

= β

|f |

jest normą na przestrzeni L

∞

.

(d) Pokazać, że przestrzeń (L

∞

, k · k

∞

) jest przestrzenią zupełną.

(e) Niech f ∈ L

∞

(X) oraz µ(X < ∞). Pokazać, że lim

p→+∞

¡ R

X

|f |

p

d µ

¢

1/p

=

kf k

∞

.

7. Niech A b¸edzie dowolnym podzbiorem zbioru R. Wykazać, że dla dowolnego ε > 0

istneje zbiór otwarty G zawieraj¸acy A, dla którego m(G) ≤ m

∗

(A) + ε. Wykazać,

również, że istnieje zbiór A

2

typu G

δ

zawiraj¸acy A, dla którego m(A

2

) = m

∗

(A).

8. Niech A ⊂ R i istneje taki zbiór domkni¸ety F , że F ⊂ A i m

∗

(A\F ) < ε, dla dowolnego

ε > 0. Wykazać, że istneje taki zbiór V typu F

σ

, że V ⊂ A i m

∗

(A \ V ) = 0.

9. Podać przykład zbioru A homeomorficznego za zbiorem Cantora, takiego że µ(A) =

1/2.

10. Niech A b¸edzie zbiorem tych wszystkich punktów odcinka [0, 1], dla których istniej¸a

rozwini¸ecia dziesi¸etne niezawieraj¸ace cyfry 7. Wykazać, że zbiór A ma miar¸e Lebes-
gue’a zero.

11. Niech A b¸edzie sum¸a przedziałów, z których każdy ma długość 0,1 i których środki

znajduj¸a si¸e w punktach zbioru Cantora. Znaleźć miar¸e Lebesgue’a zbioru A.

12. Udowodnić Tw. Łuzina. Na to, aby funkcja rzeczywista f określona na zbiorze

mierzalnym A była mierzalna, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego ε > 0 istniał
taki zbiór domkni¸ety F ⊂ A, że f

|F

jest ci¸agła i m(A \ F ) < ε.

13. Udowodnić Tw. Jegorowa. Niech A ⊂ R b¸edzie zbiorem mierzalnym, f

n

ciągiem

funkcji mierzlnych zbieżnym do funkcji rzeczywistej f prawie wsz¸edzie na A, to dla
dowolnego ε > 0 istnieje taki mierzalny podzbiór B zbioru A, że m(A \ B) < ε i ci¸ag
{f

n

} d¸aży do f jednostajnie na B.

14. Udowodnić następującą wersję Lematu Fatou. Niech f

n

będzie ciągiem nieujemnych

funkcji mierzalnych na X dla których granica lim

n→∞

f

n

(x) = f (x) istnieje dla prawie

wszystkich punktów x ∈ X. Wykazać, że

Z

X

f ≤ lim inf

n→∞

Z

X

f

n

.

15. Niech M będzie σ-ciałem zbiorów borelowskich na odcinku [0, 1], oraz niech ν : M →

R

+

będzie zdefiniowana następująco: ν(A) = ∞ jeżeli 0 należy do domknięcia zbioru

A i ν(A) = 0 w przeciwnym przypadku. Pokazać, że ν jest skończenie addytywna,
ale nie jest przeliczalnie addytywna.

16. Niech M będzie σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Legesgue’a na prostej R,

x

0

∈ R. Pokazać, że funkcja

δ

x

0

(A) =

(

1 jeżeli x

0

∈ A

0 jeżeli x

0

6∈ A.

Pokazać, że δ

x

0

jest miarą oraz, że

R fdδ

x

0

= f (x

0

) dla dowolnej funkcji mierzalnej f .

17. Niech δ

x

oznacza miarę zdefiniowaną w poprzednim zadaniu. Niech µ

n

=

1

n

P

n
k=1

δ

1/k

.

Pokazać, że dla dowolnej funkcji ciągłej f : [0, 1] → R zachodzi wzór:

lim

n→∞

Z

[0,1]

f dµ

n

=

Z

[0,1]

f dµ,

gdzie µ jest miarą Lebesgue’a na odcinku [0, 1].

18. Wykazać, że jeśli A jest mierzalnym podzbiorem zbioru Vitaliego V , to m(A) = 0.

19. Czy z mierzalności funkcji |f | wynika mierzalność f ?

20. Obliczyć całk¸e Lebesgue’a funkcji f określonej wzorem

f (x) =

(

x

2

, x ∈ [0, 1] \ Q,

1,

x ∈ [0, 1]

T Q.

21. Założmy, że ci¸ag {f

n

} jest zbieżny do f według miary na zbiorze A o mierze skończo-

nej. Wykazać, że

lim

n→∞

Z

A

sin(f

n

)dm =

Z

A

sin(f )dm.

22. Niech t ∈ R i f

t

(x) := f (x + t) dla funkcji f całkowaln¸a na R. Wykazać, że

Z

R

f dm =

Z

R

f

t

dm.

23. Wykazać, że prawie wszystkie punkty zbioru mierzalnego A s¸a punktami g¸estości A.

(Mówimy, że zbiór mierzalny A ⊂ R ma g¸estość d w punkcie x, jeśli istnieje granica

lim

h→0+

m(A

T[x − h, x + h])

2h

i jest równa d. Jeśli d = 1, to mówimy, że x jest punktem g¸estości zbioru A. )

24. Niech X, µ przestrzeń z miarą, zaś f : X → R będzie całkowalna. Określmy A

n

=

f

−1

((n, ∞)). Wykaż, że lim

n→∞

nµ(A

n

) = 0.

25. Niech f : [0, 1] → R będzie całkowalna. Wykaż, że

lim

n→∞

Z

f (x) sin(2πnx)dµ(x) = 0.

26. Udowodnij, że zbiór tych x ∈ [0, 1] \ Q takich, że istnieją r > 0, C > 0 oraz rosnące

ciągi p

n

, q

n

liczb naturalnych o tej własności, że

¯
¯
¯
¯

x −

p

n

q

n

¯
¯
¯
¯

<

C

q

2+r

n

.

27. Niech µ będzie miarą borelowską na R taką, że jeśli A jest borelowski i l

1

(A) = 0, to

µ(A) = 0. Wykaż, granica

g(x) = lim

h→0

+

µ([x − h, x + h])

l

1

([x − h, x + h])

istnieje dla prawie wszystkich x ∈ R a ponadto dla dowolnego zbioru borelowskiego
A ⊂ R zachodzi

µ(A) =

Z

A

g(x) dl

1

(x).