Kilka zadań przygotowawczych 1. Rzucamy nieskończenie wiele razy prawid lowa kostka. Niech X, Y , Z ozna-

,

,

czaja, odpowiednio, numery rzutów w których pojawi ly sie pierwsza dwójka, pierw-

,

,

sza trójka i pierwszy nieparzysty numer. Obliczyć E max{X, Y, Z} oraz E(Y |Z).

2. Ze wzgledu na z le warunki pogodowe, konkurs skoków narciarskich w Lilleham-

,

mer bedzie sk lada l sie tylko z jednej serii, do której zakwalifikowano 30 zawodników,

,

,

oddajacych kolejno po jednym skoku. Jeśli wynik danego zawodnika jest lepszy niż

,

poprzednie rezultaty, skoczek zostaje tymczasowym liderem konkursu. Zak ladamy, że wszyscy skoczkowie maja te same umiejetności oraz że uzyskanie tego samego

,

,

wyniku przez dwóch zawodników nie jest możliwe. Niech X oznacza liczbe liderów

,

w konkursie, a Y bedzie numerem zwycieskiego zawodnika. Obliczyć

,

,

EX, Var X

oraz E(X|Y ).

3. Po liczbach ca lkowitych porusza sie pionek, w chwili poczatkowej znajdujacy sie

,

,

,

,

w zerze. W n-tym ruchu (n = 1, 2, . . .) pionek skacze do jednej z sasiadujacych liczb

,

,

,

ca lkowitych z prawdopodobieństwami pn, qn, odpowiednio (zależacymi od numeru

,

ruchu). Udowodnić, że prawdopodobieństwo tego, że pojawi sie nieskończenie wiele

,

serii 2012 kolejnych ruchów w prawo, wynosi 0 lub 1.

4. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad jednostajny na trójkacie o wierzcho lkach

,

(1, 0), (0, 1) oraz (−1, 0). Dowieść, że zmienne X/(1 − Y ) oraz Y sa niezależne.

,

Obliczyć E(X|Y ) oraz E((2X − Y + 1)2|Y ).

5. Dany jest ciag (X

,

n)n≥1 niezale żnych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1

zmienna Xn ma rozk lad jednostajny na [0, n]. Czy ciag

,

X1 + X2 + . . . + Xn ,

n = 1, 2, . . . ,

n

jest zbieżny p.n.?

6∗. Dany jest ciag (X

,

n)n≥1 niezale żnych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1

zmienna Xn ma rozk lad Poissona z parametrem n. Dowieść, że ciag

,

X1 + X2 + . . . + Xn ,

n = 1, 2, . . . ,

n2

jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granice.

,

7. Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n ≥ 1 zmienna X

,

n ma

dwustronny rozk lad wyk ladniczy z parametrem λn > 0, tzn. z gestościa

,

,

1

gn(x) = λne−λn|x|.

2

Jaki warunek musi spe lniać ciag (λ

X

,

n)n≥1, by szereg P∞

n=1

n by l zbie żny p.n.?

8. Zmienna losowa (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozk lad normalny o średniej (0, 0).

Udowodnić, że zmienne X, Y sa niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy X2 i Y 2 sa

,

,

nieskorelowane.

9. Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n ≥ 1 zmienna X

,

n ma

rozk lad Bernoulliego z parametrami n, 1/n.

a) Udowodnić, że lim supn→∞ Xn = ∞ p.n..

√

b) Dowieść, że ciag ( n X

,

n)n≥1 jest zbie żny w Lp dla dowolnego 1 ≤ p < ∞, ale nie jest zbieżny w L∞.

c) Czy rodzina {Xn}n≥1 jest jednakowo ca lkowalna?

10.

Zmienne losowe X, X1, X2, . . . przyjmuja wartości w przedziale [0, 1] i

,

spe lniaja warunek lim

=

,

n→∞ EX p

n

EXp dla dowolnego 1 ≤ p < ∞. Dowieść, że dla dowolnej funkcji ciag lej f : [0, 1] →

,

R zachodzi zbie żność limn→∞ Ef (Xn) = Ef (X).

11. Rozstrzygnać, czy istnieja ciagi (X

ace nastepujace warunki.

,

,

,

n)n≥1 spe lniaj ,

,

,

a) Zmienne X1, X2, . . . sa wspólnie ograniczone, (X

,

n)n≥1 zbiega w L1, ale nie

zbiega w L4.

b) (Xn)n≥1 zbiega w L2, ale rodzina {Xn}n≥1 nie jest jednostajnie ca lkowalna.

c) (Xn)n≥1 zbiega p.n., nie zbiega w L2, ale zbiega w L1.

d) Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, maja scentrowane rozk lady normalne, ciag

,

,

,

(Xn)n≥1 zbiega p.n. do 0, ale nie zbiega w L2.

12. W wyborach startuja politycy A i B, z których każdy ma poparcie co najmniej

,

30% spo leczeństwa. W dniu wyborów przeprowadzamy sondaż na grupie losowych g losujacych. Ile osób musi wziać udzia l w sondażu, tak by z prawdopodobieństwem

,

,

≥ 0, 95 móc przewidzieć wynik wyborów z dok ladnościa do 1% ?

,

Zachecam także do przerobienia zadań kartkówkowych znajdujacych sie na stronie.

,

,

,