Prof. Edmund Wittbrodt

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruchem kulistym nazywamy ruch, w czasie którego jeden z punktów bryły jest stale nieruchomy. Ruch kulisty jest obrotem
dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta zmienia swoje położenie w czasie).

Ruch kulisty bryły: a) obrót wokół punktu, b) obrót dookoła chwilowej osi obrotu

Symetralne, le

żą

ce

na kołach du

ż

ych

A’

∆

OAB=

∆

OA’B’

O

1

Chwilowa
o

ś

obrotu

B’

A

B

O

b)

O

a)

y

x

z

ϕ

x

ϕ

y

ϕ

z

Prof. Edmund Wittbrodt

Położenie. Bryła, której jeden punkt jest unieruchomiony ma 3 stopnie swobody. Jej położenie jest opisane w sposób
jednoznaczny jedynie za pomocą kątów, zwanych

kątami Eulera

. Dla określenia tych kątów wprowadzamy układ

współrzędnych związanych z bryłą

ξ

,

η

,

ζ

.

Opis ruchu kulistego bryły za pomocą kątów Eulera

Wyobraźmy sobie, że początkowo osie układu nieruchomego x, y, z pokrywają się z osiami układu

ξ

,

η

,

ζ

. Następnie bryła

wykonuje obroty:

•

wokół osi nieruchomej

z

o kąt

ψ

(kąt

precesji

), po wykonaniu tego obrotu oś

ξ

znajdzie się na linii zwanej linią

węzłów

w

,

•

wokół osi

ξ

o kąt

θ

(kąt

nutacji

), ściśle wokół linii węzłów

w

,

•

wokół osi

ζ

o kąt

ϕ

(kąt

obrotu własnego

).

Kolejność „wykonywania” powyższych obrotów jest dowolna i nie ma ona wpływu na położenie końcowe bryły.

y

ξ

ψ

x

η

z

ζ

θ

ϕ

linia
w

ę

złów w

O

Prof. Edmund Wittbrodt

Gdybyśmy chcieli za współrzędne bryły przyjąć kąty będące obrotami wokół osi układu nieruchomego x, y, z, wówczas
kolejność wykonywania obrotów decydowałaby o położeniu końcowym bryły. Kąty

ϕ

x

,

ϕ

y

,

ϕ

z

nie opisują więc

jednoznacznie położenia bryły (można je przyjąć tylko dla małych obrotów).

Wpływ kolejności „wykonywania” obrotów bryły na położenie

końcowe: a) obroty w kolejności – wokół osi x potem y, b)

obroty w kolejności – wokół osi y potem x

Zatem kąty:

ψ

=

ψ

(t),

θ

=

θ

(t),

( )

t

ϕ ϕ

=

są współrzędnymi bryły w ruchu kulistym.

x

z

y

1

2

b)

x

z

y

1

2

a)

Prof. Edmund Wittbrodt

Położenie dowolnego punktu A bryły określamy za pomocą wektora

r

(o stałej długości), którego współrzędne możemy

podać w nieruchomym układzie osi x, y, z

Położenie punktu A bryły w ruchu kulistym:

a) w układzie nieruchomym x, y, z,

b) w układzie

ξ

,

η

,

ζ

związanym z bryłą

A

A

A

A

r

x i

y j

z k

=

+

+

lub w układzie związanym z bryłą

ξ

,

η

,

ζ

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

e

e

e

r

A

A

A

A

+

+

=

,

gdzie

ξ

A

,

η

A

,

ζ

A

są wielkościami stałymi.

z

A

x

y

A

O

x

A

y

z

A

r

A

a)

O

A

r

A

ξ

η

ζ

ζ

A

ξ

A

η

A

b)

Prof. Edmund Wittbrodt

Prędkość. Ponieważ ruch kulisty jest obrotem wokół chwilowej osi obrotu, wektor prędkości kątowej leży na tej osi.

Chwilowa oś obrotu bryły w ruchu kulistym

Wektor prędkości kątowej

ω

możemy podać zarówno w nieruchomym układzie osi x, y, z

x

y

z

i

j

k

ω ω

ω

ω

=

+

+

,

jak i w układzie związanym z bryłą

e

e

e

ξ ξ

η η

ζ ζ

ω ω

ω

ω

=

+

+

.

0

chwilowa o

ś

obrotu

ω

Prof. Edmund Wittbrodt

Znając prędkości:

ϕ

&

– obrotu własnego,

ψ

&

– precesji oraz

θ

&

– nutacji,

Wektory prędkości kątowych: obrotu własnego

ϕ

&

, precesji

ψ

&

i nutacji

θ

&

Składowe wektora

ω

, w układzie nieruchomym

z

y

x

,

,

oraz ruchomym

ξ

,

η

,

ζ

obliczamy z zależności:





















⋅





















−

=





















=

θ

ψ

ϕ

θ

ψ

ψ

θ

ψ

ψ

θ

ω

ω

ω

ω

&

&

&

0

1

cos

sin

0

cos

sin

cos

0

sin

sin

z

y

x

.





















⋅





















−

=





















=

θ

ψ

ϕ

θ

ϕ

ϕ

θ

ϕ

ϕ

θ

ω

ω

ω

ω

ζ

η

ξ

&

&

&

0

cos

1

sin

cos

sin

0

cos

sin

sin

0

ϕ

y

ξ

ψ

x

η

z

ζ

O

ψ

&

ϕ

&

θ

&

θ

w

Prof. Edmund Wittbrodt

W celu znalezienia składowych prędkości kątowej w układzie x,y,z obliczamy poszczególne jej składowe sumując

algebraicznie odpowiednie składowe wektorów prędkości kątowych w układzie x’,y’,z’

z’

O

z

y

w

x

n

θθθθ

2

ϕ

′

=

ω

k

r

r

&

2

π ψ

−

ψ

1

ψ

=

ω

k

r

r

&

3

e

θ

=

r

r

&

w

ω

2

π

cos

ϕ

θ

&

sin sin

ϕ

θ ψ

&

sin cos

ϕ

θ

ψ

−

&

sin

ϕ

θ

&

Prof. Edmund Wittbrodt

Transformacja do układu nieruchomego:

x,y,z

k

⋅

=

ψ

ω

&

1

'

2

k

⋅

=

ϕ

ω

&

w

e

⋅

=

θ

ω

&

3

x

ω

0

ψ

θ

ϕ

sin

sin

⋅

⋅

&

ψ

θ

cos

⋅

&

y

ω

0

ψ

θ

ϕ

cos

sin

⋅

⋅

−

&

ψ

θ

sin

⋅

&

z

ω

ψ

&

θ

ϕ

cos

⋅

&

0

Transformacja do układu ruchomego:

ζ

η

ξ

,

,

k

⋅

=

ψ

ω

&

1

'

2

k

⋅

=

ϕ

ω

&

w

e

⋅

=

θ

ω

&

3

ξ

ω

ϕ

θ

ψ

sin

sin

⋅

⋅

&

0

ϕ

θ

cos

⋅

&

η

ω

ϕ

θ

ψ

cos

sin

⋅

⋅

&

0

ϕ

θ

sin

⋅

−

&

ζ

ω

θ

ψ

cos

⋅

&

ϕ

&

0

Prędkość liniową punktu A bryły, w układzie nieruchomym x, y, z, obliczamy z zależności

Prof. Edmund Wittbrodt

A

A

x

y

z

A

A

A

i

j

k

v

r

x

y

z

ω

ω

ω

ω

= × =

,

co stanowi wektor

A

Ax

Ay

Az

v

v

i

v

j

v k

=

+

+

,

gdzie:

Ax

y A

z

A

v

z

y

ω

ω

=

−

,

Ay

z A

x A

v

x

z

ω

ω

=

−

,

Az

x

A

y A

v

y

x

ω

ω

=

−

.

Natomiast wektor prędkości punktu A w układzie związanym z bryłą obliczamy

Prof. Edmund Wittbrodt

ξ

η

ζ

ξ

η

ζ

ω

ω

ω

ω

ξ

η

ζ

= × =

A

A

A

A

A

e

e

e

v

r

,

co zapisujemy

A

Ax

A

A

v

v e

v e

v

e

ξ

η η

ζ ζ

=

+

+

,

gdzie:

A

A

A

v

ξ

η

ζ

ω ζ

ω η

=

−

,

A

A

A

v

η

ζ

ξ

ω ξ

ω ζ

=

−

,

A

A

A

v

ζ

ξ

η

ω η ω ξ

=

−

.

Prof. Edmund Wittbrodt

Przyspieszenie. Wektor przyspieszenia kątowego bryły w ruchu kulistym leży na chwilowej osi przyspieszenia.

Chwilowa oś przyśpieszenia bryły w ruchu kulistym

Wektor przyspieszenia kątowego możemy podać tak w nieruchomym układzie osi x, y, z

x

y

z

i

j

k

ε ω ε

ε

ε

= =

+

+

&

,

jak i w ruchomym układzie osi

ξ

,

η

,

ζ

e

e

e

ξ ξ

η η

ζ ζ

ε ω ε

ε

ε

= =

+

+

&

.

O

chwilowa

oś

przyśpieszenia

ε

Prof. Edmund Wittbrodt

Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu A bryły określamy różniczkując względem czasu wyrażenie na prędkość
liniową tego punktu

(

)

(

)

A

A

A

A

A

A

A

Aob

Ado

d

a

v

r

r

r

r

r

a

a

dt

ω

ω

ω

ε

ω ω

=

=

×

= × + × = × + × ×

=

+

&

&

&

,

gdzie:

Aob

A

a

r

ε

= ×

–

przyspieszenie obrotowe

,

A

A

A

A

Ado

r

r

v

r

a

2

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

⋅

=

×

=

×

×

=

–

przyspieszenie doosiowe

.

Przyśpieszenie doosiowe i obrotowe bryły w ruchu kulistym

Znając

położenie

chwilowych

osi

prędkości i przyspieszenia, wartości
przyspieszeń obrotowego i doosiowego
możemy obliczać ze wzorów:

Aob

a

ε

ερ

=

,

2

ω

ω ρ

=

Ado

a

.

chwilowa o

ś

obrotu

ρ

ε

ρ

ω

chwilowa o

ś

przy

ś

pieszenia

O

ω

ε

A

a

Ado

a

Aob

a

A

Prof. Edmund Wittbrodt

W czasie ruchu kulistego bryły sztywnej chwilowa oś obrotu zmienia swoje położenie względem nieruchomego układu

odniesienia U oraz względem poruszającej się bryły. Przechodzi ona jednak zawsze przez środek O ruchu kulistego. Z tego

względu chwilowe osie obrotu muszą leżeć na pewnej powierzchni stożkowej o wierzchołku w punkcie O. Podobnie,

miejscem geometrycznym chwilowych osi obrotu w układzie ruchomym U’ jest powierzchnia innego stożka, o wierzchołku

w punkcie O. Powierzchnie te nazywają się

aksoidami (aksioida ruchoma i aksioida nieruchoma)

.

aksioida nieruchoma

aksioida ruchoma

ω

ωω

ω

l

O=O’