Twierdzenie Masona i równania diofantyczne w pierścieniu
wielomianów
maxifk
12 kwietnia 2010
Streszczenie
Niniejszy artykul poświecony jest twierdzeniu Masona-Stothersa, odpowiednikowi tzw. hi-
potezy abc w teorii liczb dla pierścienia k[x], gdzie k jest cialem algebraicznie domknietym
charekterystyki zerowej, oraz jego zastosowaniom, glównie w teorii wielomianowych równań dio-
fantycznych. Rozpoczynamy od twierdzenia Masona i zgrabnego dowodu pochodzacego od Sny-
dera. Jako pierwsze zastosowanie przedstawiamy dowód uogólnionego twierdzenia Davenporta
dajacego dolne oszacowanie stopnia wielomianu fm - gn dla wzglednie pierwszych wielomianów
f, g " k[x]. W dalszym ciagu rozpatrujemy wielomianowe równanie diofantyczne: stosujemy
twierdzenie Masona do zbadania uogólnionej wersji równania Fermata, równania Catalana oraz
pewnego przypadku równania Pella w k[x]. Wynik dotyczacy równania Fermata stosujemy na-
stepnie uzyskujac dla dowodu nieparametryzowalności dla pewnej klasy krzywych eliptycznych.
Wszedzie poniżej k oznacza cialo algebraicznie domkniete charakterystyki zerowej.
1 Twierdzenie Masona
1.1 Sformulowanie
Rozpocznijmy od pomocniczej definicji.
Definicja. Niech K bedzie dowolnym cialem algebraicznie domknietym. Niech f " K[x] \ 0.
Definiujemy n0(f) jako liczbe różnych pierwiastków f czyli liczbe elementów zbioru {a " K :
f(a) = 0}.
Glównym przedmiotem naszych rozważań bedzie nastepujace twierdzenie:
Twierdzenie 1 (Twierdzenie Masona-Stothersa). Niech a, b, c " k[x] beda parami wzglednie
pierwszymi wielomianami spelniajacymi równość a+ b = c. Zalóżmy dodatkowo, że nie wszystkie
wielomiany a, b, c sa stale. Wówczas zachodzi nierówność:
deg(c) n0(abc) - 1.
Choć dla dalszych zastosowań wystarczy powyższe sformulowanie, to jednakowym nakladem
sil można udowodnić nastepujace twierdzenie (co też uczynimy):
Twierdzenie 2. Niech K bedzie dowolnym cialem algebraicznie domknietym, niech a, b, c "
K[x] beda parami wzglednie pierwszymi wielomianami spelniajacymi równość a + b = c. Zalóżmy
dodatkowo, że nie wszystkie wielomiany a , b , c sa zerowe. Wówczas zachodzi nierówność:
deg(c) n0(abc) - 1.
Zauważmy w tym miejscu, że dla ciala k nie wszystkie wielomiany a , b , c sa wielomianami
zerowymi dokladnie wtedy, gdy nie wszystkie wielomiany a, b, c sa stale, zatem istotnie Twier-
dzenie 2 jest uogólnieniem Twierdzenia 1.
Uwaga. Zapisujac zalożenie a + b = c jako a + (-c) = -b teza twierdzenia Masona przyjmuje
postać deg(b) n0(abc) - 1. Analogicznie deg(a) n0(abc) - 1, zatem teze twierdzenia Masona
możemy zapisać w postaci
max{deg(a), deg(b), deg(c)} n0(abc) - 1
1
Zauważmy jeszcze, że szacowanie w powyższych twierdzeniach jest optymalne - na przyklad
dla wielomianów a = tn, b = 1, c = tn + 1 otrzymujemy równość.
1.2 Dowód Snydera
Ten dowód Twierdzenia 2 pochodzi z publikacji [15] z 2000 roku. Na uwage zasluguje fakt,
iż jego autor wymyślil go bedac uczniem szkoly średniej.
Dowód. Dowód oprzemy na nastepujacym lemacie:
Lemat. Niech f " K[x] \ 0. Wówczas zachodzi nierówność:
deg(f) deg(gcd(f, f )) + n0(f)
Dowód lematu. Niech ą1, . . . , ąm " K beda wszystkimi, parami różnymi pierwiastkami wie-
1 m
lomianu f. Mamy wówczas f = C(x - ą1)s . . . (x - ąm)s , dla pewnych C " K oraz liczb
calkowitych dodatnich si, i = 1, . . . , m.
Ponieważ:
ëÅ‚ öÅ‚

i-1
i i i
íÅ‚C (x - Ä…i)s Å‚Å‚
f = Csi(x - Ä…i)s (x - Ä…i)s + (x - Ä…i)s
j=i j=i

i-1
1-1
m-1
to (x-ąi)s | f , i = 1, . . . , n zatem (x-ą1)s . . . (x-ąm)s | f . Ponieważ jednocześnie
1-1
m-1
1-1
m-1
(x - Ä…1)s . . . (x - Ä…m)s f, to (x - Ä…1)s . . . (x - Ä…m)s | gcd(f, f ).
|
m
Zatem deg(f) - n0(f) = (s1 - 1) deg(gcd(f, f )).
i=1
Wracajac do dowodu twierdzenia zauważmy, że równość a + b = c pociaga a + b = c .
Mnożac pierwsza z nich stronami przez a , druga przez a i odejmujac stronami otrzymane rów-
ności otrzymujemy ab - a b = ca - c b. Zatem gcd(a, a ), gcd(b, b ), gcd(c, c ) dziela ab - a b.
Ponieważ sa one parami wzglednie pierwsze (bo a, b, c byly parami wzglednie pierwsze), to
gcd(a, a ) gcd(b, b ) gcd(c, c ) | ab - a b.
Odnotujmy teraz, że ab - a b = 0. Przypuśćmy bowiem, że ab - a b = 0. Wówczas a|a b

i ze wzglednej pierwszości a, b wnosimy, że a|a , a to jest możliwe tylko gdy a = 0. Podobnie
dostajemy b = 0 i c = 0 co prowadzi do sprzeczności z zalożeniem, że nie wszystkie wielomiany
a , b , c sa zerowe.
Ponieważ ab - a b = 0, to

deg(gcd(a, a ) gcd(b, b ) gcd(c, c )) deg(ab - a b) deg(ab )
a ponieważ:
deg(ab ) = deg(a) + deg(b ) deg(a) + deg(b) - 1.
to:
deg(gcd(a, a )) + deg(gcd(b, b )) + deg(gcd(c, c )) deg(a) + deg(b) - 1.
Przenoszac wszystkie wyrazy na prawa strone i dodajac stronami deg(c) otrzymujemy:
deg(c) deg(a) - deg(gcd(a, a )) + deg(b) - deg(gcd(b, b )) - deg(gcd(c, c )) + deg(c) - 1.
Stosujac lemat dostajemy:
deg(c) n0(a) + n0(b) + n0(c) - 1 = n0(abc) - 1,
bo a, b, c byly parami wglednie pierwsze.
1.3 Inne dowody i uogólnienia
Po raz pierwszy twierdzenie zostalo udowodnione przez Stothersa w [16] w roku 1981, a
nastepnie (niezależnie) przez Masona w [10] w roku 1984. Do dnia dzisiejszego twierdzenie do-
czekalo sie kilku dowodów i uogólnień. Ponieważ dla naszych potrzeb wystarczy sformulowanie
twierdzenia udowodnione powyżej, ograniczymy sie do podania kilku z
ródel. I tak poza [10],[16],
inny dowód niż przedstawiony powyżej można znalez
ć w [7],[11] (w obu przypadkach jest to
dowód pochodzacy z [10]) oraz w [5], [6], natomiast ogólniejsze sformulowania wraz z dowodami
można znalez
ć w [2], [6], [14].
2
2 Twierdzenie Davenporta
Poniższe stwierdzenie dla k = C (pochodzace z [3]) można znalez
ć jako ćwiczenie w ksia żce
[8].
Twierdzenie 3 (Twierdzenie Davenporta). Niech f, g " k[x] przy czym f3 = g2. Wówczas:

1
(i) deg(f) deg(f3 - g2) - 1
2
1
(ii) deg(g) deg(f3 - g2) - 1
3
Udowodnimy ogólniejsze twierdzenie (proponowane jako ćwiczenie w ksia żce [7])
Twierdzenie 4 (Uogólnione Twierdzenie Davenporta). Niech m, n " N, f, g " k[x] przy czym
m, n 2, fm - gn = 0. Wówczas :

mn - m - n
deg f deg(fm - gn) - 1.
n
Dowód. Oznaczmy s = min{m, n}. Niech d = gcd(f, g), A = dm-s, B = dn-s. Wtedy
gcd(fm, gn) = ds oraz:
fm gn
m m
= AF , = BGn, gcd(AF , BGn) = 1.
ds ds
m m
Oznaczmy H = AF - BGn. Z twierdzenia Masona zastosowanego do równości AF = H +
BGn mamy
m m
deg(AF ) n0(AF BGnH) - 1 n0(A) + n0(B) + deg(F ) + deg(G) + deg(H) - 1.
Stad
(m - 1) deg(F ) n0(B) + deg(G) + deg(H) - 1
(n - 1) deg(G) n0(A) + deg(F ) + deg(H) - 1
zatem
1 1 1 1
(m - 1) deg(F ) n0(A) + n0(B) + deg(F ) + deg(H) + deg(H) - 1 -
n - 1 n - 1 n - 1 n - 1
czyli upraszczajac
mn - m - n 1 n - 1
deg(F ) n0(A) + n0(B) + deg(H) - 1.
n n n
s 1
Ale s deg(d)+deg(A)+m deg(F ) = m deg(f), czyli deg(F ) = deg(f)- deg(d)- deg(A),
m m
a ponadto deg H = deg(fm - gm) - s deg(d), zatem:
mn - m - n
deg(f)
n
1 mn - m - n s(m + n) n - 1
n0(A) + deg(A) - deg(d) + n0(B) + deg(fm - gn) - 1
n mn mn n
Dla ukończenia dowodu wystarczy wykazać nierówność:
1 mn - m - n s(m + n) n - 1
n0(A) + deg(A) - deg(d) + n0(B) 0
n mn mn n
Mamy deg(A) = (m - s) deg d, n0(A) deg(d), n0(B) deg(d) oraz n0(A) = deg(A) = 0 w
przypadku gdy s = m, a w przeciwnym razie n0(B) = deg(B) = 0. Stad lewa strona szacuje sie
odpowiednio przez:
mn - m - m(m + n)
deg(d) 0
mn
w pierwszym przypadku, lub przez:
-n(m + n) + mn - m
deg(d) 0
mn
w drugim.
Uzyskane w twierdzeniu 3 szacowanie jest optymalne, gdyż jak latwo sprawdzić dla f =
x2 + 2, g = x3 + 3x zachodzi równość. Jednak już pytanie, czy istnieja wielomiany dowolnie
dużych stopni dla których w twierdzeniu tym zachodzi równość, ma na dzień dzisiejszy status
problemu otwartego.
3
3 Wielomianowe równania diofantyczne
3.1 Uogólnione równanie Fermata
Nastepujace twierdzenie można znalez
ć w [9].
1 1 1
Twierdzenie 5. Niech Ä…, ², Å‚ " {1, 2, . . .}. JeÅ›li + + 1, to równanie fÄ… + g² = hÅ‚ nie
Ä… ² Å‚
ma rozwiazań w wielomianach wzglednie pierwszych z k[x] różnych od stalych.
Dowód. Przypuśćmy, że powyższe równanie ma rozwiazanie (f, g, h) takie, że przynajmniej jeden
z wielomianów f, g, h nie jest staly oraz f, g, h sa parami wzglednie pierwsze. Z twierdzenia
Masona
Ä… deg(f) n0(fgh) - 1 < deg(fgh),
deg(f) deg(g) deg(h)
1 1 1
czyli < . Podobnie < , < . Dodajac te nierówności stronami
deg(fgh) Ä… deg(fgh) ² deg(fgh) Å‚
otrzymujemy 1 < 1 -sprzeczność.
1 1 1
Uwaga. Można wykazać, że jeśli + + > 1, to równanie z twierdzenia 5 ma rozwiazania
Ä… ² Å‚
w k[x].
Alternatywne dowody dla k = C (nie korzystajace z twierdzenia Masona) szczególnego przy-
padku Ä… = ² = Å‚ znajduja sie m. in. w [13].
3.2 Równanie Catalana dla funkcji wymiernych
Poniższe twierdzenie pochodzace z publikacji [12] w wersji dla f, g " C[x] jest proponowane
jako ćwiczenie w ksia żce [11]. Przedstawiony poniżej dowód pochodzi z [1].
Twierdzenie 6. Niech m, n " {3, 4, . . .}. Równanie fm - gn = 1 nie ma niestalych rozwiazań
f, g " k(x).
Zauważmy, że dla f, g " k[x]. jest to natychmiastowa konsekwencja Twierdzenia 4.
Dowód. Zalóżmy, że (f, g) jest rozwiazaniem powyższego równania, takim, że przynajmniej jed-
u v
na z funkcji f, g nie jest stala. Zapiszmy f = , g = , gdzie u, U, v, V " k[x], wielomiany U, V
U V
sa unitarne oraz gcd(u, U) = gcd(v, V ) = 1. Nasza równość przyjmuje wtedy postać:
n n
umV - vnUm = UmV . (1)
Ponieważ gcd(u, U) = 1 = gcd(v, V ), to dla a " k równość U(a) = 0 zachodzi dokladnie wtedy,
gdy V (a) = 0. Zatem istnieja a1, . . . , an " k oraz liczby calkowite dodatnie Ä…i, ²i, i = 1, . . . , n
takie, że:
n n

i i
U = (x - ai)Ä… , V = (x - ai)² .
i=1 i=1
Krotność pierwiastka ai prawej strony równoÅ›ci 1 wynosi mÄ…i + n²i, a krotność ai jako pier-
wiastka skladników po lewej wynosi odpowiednio mÄ…i, n²i. Gdyby mÄ…i = n²i, to krotność ai

jako pierwiastka lewej strony bylaby mniejsza niż krotność jako pierwiastka prawej strony. Zatem
n
mÄ…i = n²i. Stad Um = V , czyli równanie 1 zapisać możemy jako:
um - vn = Um
i ponieważ nie wszystkie wystepujace tu wielomiany sa stale (a sa wzglednie pierwsze) oraz
2 1
+ 1, to otrzymujemy sprzeczność z twierdzniem 5.
m n
Zauważmy jeszcze, że dla n = m = 2 powyższe równanie ma rozwiazanie, np
f = (x2 - 1)-1(x2 + 1), g = 2x(x2 - 1)-1.
4
3.3 Równanie Pella
Poniższe twierdzenie dotyczace szczególnego przypadku równania Pella dla wielomianów jest
uogólnieniem przypadku k = C twierdzenia pochodzacego z publikacji [4].
1
Twierdzenie 7. Niech D " k[x] \ k spelnia n0(D) deg(D). Wówczas jedynymi rozwiaza-
2
2
niami równania P - DQ2 = 1 w k[x] sa pary (ą1, 0).
Dowód. Niech (P, Q) bedzie rozwiazaniem powyższego równania. Jeśli Q = 0, to P = 0 oraz

deg(D) = 2 deg(P ) - 2 deg(Q) Z twierdzenia Masona:
1
2
deg(D)+2 deg(Q) = deg(DQ2) n0(P DQ2)-1 = n0(P DQ)-1 < deg(P )+ deg(D)+deg(Q).
2
zatem deg(D) < 2 deg(P ) - 2 deg(Q) = deg(D) - sprzeczność. Zatem Q = 0 a stad P = ą1.
Bardziej szczególowe opracowanie problemu równania Pella dla wielomianów zespolonych
znalez
ć można w [4]. Odnotujmy jedynie, że na dzień dzisiejszy problem dla jakich wielomianów
D " C[x] równanie to ma nietrywialne (różne od ą(1, 0)) rozwiazanie w C[x] jest problemem
otwartym.
4 Parametryzowalność krzywych eliptycznych
Zacznijmy od definicji krzywej eliptycznej i jej parametryzacji.
Definicja. Niech a, b, c " k. Przez krzywa eliptyczna E o równaniu y2 = x3 + ax2 + bx + c
rozumiemy podzbiór plaszczyzny E = {(x, y) " k : y2 = x3 + ax2 + bx + c}.
Definicja. Niech bedzie dana krzywa eliptyczna E o równaniu y2 = x3 + ax2 + bx + c. Powiemy,
że E jest parametryzowalna, jeÅ›li istnieja Õ, È " k(x), takie, że Õ2 = È3 +aÈ2 +bÈ +c oraz przy-
najmniej jedna z funkcji Õ, È jest niestala. Wówczas pare funkcji Õ, È nazywamy parametryzacja
krzywej E.
Nastepujacy dowód nieparametryzowalności krzywej eliptycznej o równaniu y2 = x3 + bx
pochodzi z kursu geometrii algebraicznej na Bilkent Univeristy w roku 2004 (por. [9]).
Twierdzenie 8. Niech E bedzie krzywa eliptyczna o równaniu y2 = x3 + bx, b " k \ 0 Wówczas
E nie jest parametryzowalna.
f g
Dowód. Przypuśćmy, że f ma parametryzacje Õ, È, gdzie Õ = , È = , przy czym gcd(f, F ) =
F G
1 = gcd(g, G). Wtedy f = 0 = g (inaczej f = 0 = g, a wiec Õ, È sa obie stale równe 0) oraz

Õ2 = È3 + bÈ
zapisuje sie jako
2 2
f2G3 = F g3 + bF G2g.
2 2 2 2
Stad G2 | F , zatem G | F a stad G3 | F . Ponieważ jednocześnie F G3, to G3 = uF dla
" "|
pewnego u " k \ 0. Podstawiajac ewentualnie uF zamiast F oraz uf zamiast f możemy
2
przyja ć, że G3 = F . Z jednoznaczności rozkladu w k[x] otrzymujemy wtedy F = e3, G = e2 dla
pewnego e " k[t] \ 0. Nasza równość przyjmuje wtedy postać:
f2e6 = e6g3 + be10g
czyli
f2 = g3 + be4g = g(g2 + be4)
Ponieważ gcd(e, g) = 1 to g = h2 dla pewnego h " C[x], oraz v := f/h " k[x], i dzielac stronami
przez h2 otrzymujemy:
"
4
v2 = h4 + be4 = h4 + ( be)4
"
4
przy czym v, f, be4 sa niestale i wzglednie pierwsze (bo h | g, e | G oraz g, G byly wzglednie
pierwsze). Jest to sprzeczność z twierdzeniem 5.
5
Literatura
[1] Barbeau, E. - Polynomial excursions,
dostepne pod adresem:http://www.math.toronto.edu/barbeau/home.html
[2] de Bondt, M. - Another generalization of Mason s ABC theorem, preprint dostepny pod
adresemhttp://arxiv.org/abs/0707.0434
[3] Davenport, H. - On f3(t) - g2(t), Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 38 (1965), 86-87
[4] Dubickas, A., Steuding, J. - The polynomial Pell equation, Elem. Math. 59 (2004) 133  143
[5] Granville, A., Tucker, T.J. - It s as easy as abc., Notices Amer. Math. Soc. 49 (2002),
1224 1231.
[6] Hu, P.C., Yang, C.C. - Value distribution theory related to number theory, Birkhauser, 2006
[7] Lang, S. - Algebra, Grad. Texts in Math., Springer 2002
[8] Lang, S. - Undergraduate algebra, Undergrad. Texts in Math., Springer 2005
[9] Lemmermayer, F. - Notatki do kursu geometrii algebraicznej prowadzonego w 2004 roku na
Bilkent University dostepne pod adresem:
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/algeo04.html.
[10] Mason, R. C. - Diophantine equations over functions fields, Cambridge University Press,
Cambridge, England 1984
[11] Nathanson, M. B. - Elementary methods in number theory, Grad. Texts in Math., Springer
2000
[12] Nathanson, M. B. - Catalan equation in K(t), Amer. Math. Monthly 81 (1974), 371-373
[13] Ribenboim, P. - 13 lectures on Fermat Last Theorem, Springer 1979
[14] Sheil-Small, T. - Complex polynomials, Cambridge University Press 2002.
[15] Snyder, N. - An alternate proof of Mason s theorem, Elem. Math. 55 (2000), 93 94
[16] Stothers, W. W. - Polynomial Identities and Hauptmodulen, Quart. J. Math. Oxford Ser.
II 32 (1981), 349-370
6