Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb - początkowo tylko
naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych.
Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i
wielu innych.Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre'a
Fermata (1601-1665), autora słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Ogromny wkład w rozwój
teorii liczb miał słynny Carl Friedrich Gauss, zaś z polskich matematyków - Wacław Sierpiński.
Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki:
algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej
i innych.
Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod
analizy matematycznej. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód
Erdösa i Selberga pewnego twierdzenia o liczbach pierwszych. Teoria liczb zajmuje siÄ™ również
rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz (od
niedawna) liczb p-adycznych.
Równania diofantyczne
Podstawowym problemem teorii równań diofantycznych, bo tak nazywa się ten dział matematyki,
jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że
nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania
diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu
zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.
Często nie można nawet odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma
choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie
wiele?
Do efektywnego rozwiązywania równań diofantycznych przydatna jest teoria kongruencji.
Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica a-
b dzieli siÄ™ bez reszty przez n,co zapisuje siÄ™: a a" b (mod n).
Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego w liczbach naturalnych już przez
samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki), jest problem
trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x2 + y2 = z2.
Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania
nie będące wielokrotnościami innych rozwiazań to tzw. "rozwiązania właściwe".
Takich trójkątów pitagorejskich (o bokach całkowitej długości) jest nieskończenie wiele. Wszystkie
rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze
wzorów, które znał już Diofantos: x=k^2-l^2, y=2kl, z=k^2+l^2; gdzie k, l to liczby naturalne, przy
czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze uzyskuje się rozwiązania właściwe, nie będące
wielokrotnością innych rozwiązań. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.
Inaczej: jeśli długości boków trójkąta pitegorejskiego nie mają wspólnego dzielnika, to istnieje tak
liczba zespolona caÅ‚kowita z, że boki trójkÄ…ta to: Re(z²), Im(z²), |z²|.
Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów
pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować
wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.
Podział teorii liczb
Teoria liczb podzielona jest obecnie na wiele mniejszych działów. Można w niej wyodrębnić m. in.
część algebraiczną, analityczną i probabilistyczną.
Można też podzielić ten dział matematyki na addytywną i multiplikatywną teorię liczb. Pierwsza
zajmuje się dodawaniem i odejmowaniem, a druga mnożeniem i dzieleniem liczb całkowitych. Te
wydawałoby się proste operacje arytmetyczne prowadzą nierzadko do trudnych i wciąż
nierozwiązanych problemów, takich jak problem Collatza czy słynna hipoteza Goldbacha, która jest
przykładem nie udowodnionego przez wieki twierdzenia o sumach liczb pierwszych (addytywna
teoria liczb).
Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki