Równanie diofantyczne  równanie, na ogół o kilku niewiadomych (równania z jedną
niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi), którego rozwiązań szukamy w zbiorze
liczb całkowitych lub naturalnych. Często nie można nawet odpowiedzieć na podstawowe pytania:
czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest
skończona, czy też jest ich nieskończenie wiele? Problemem jest też wyznaczenie wszystkich
rozwiązań. Nazwa tego typu równań pochodzi od greckiego matematyka  Diofantosa.
Diofantos (ok. 200/214 n.e. - ok. 284/298 n.e.)  matematyk grecki żyjący w III wieku n.e.
w Aleksandrii.
Był to pierwszy uczony, który zajmował się głównie algebrą. Wcześniej wszystkie problemy
rozwiÄ…zywano przede wszystkim geometrycznie.
Z jego głównego dzieła  Arytmetyka , składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku
greckim i 4 przetłumaczone na arabski. W  Arytmetyce Diofantos wprowadził oznaczenia potęg (do
szóstej włącznie), ich odwrotności (czyli potęgi o wykładnikach -1,-2,...,-6), wyraz
nie formułował
(słownie) prawa działań na potęgach, które dla nas wyrażają się wzorem . Mnożył
wyrażenia postaci i sformułował dla nich prawo rozdzielności - w szczególności "prawo
znaków", które dziś wyrażamy wzorem . Uzupełnił też mnożenie o mnożenie
przez 1 (u Euklidesa 1 nie było liczbą naturalną!) i sformułował zasadę, nazywaną w szkolnej
matematyce "przenoszeniem na drugÄ… stronÄ™ ze zmienionym znakiem".
Diofantos rozwiązywał w swoim dziele równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie
szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznaczał
specjalnymi literami. Posługiwał się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosował skróty
słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda
jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady
liczb ujemnych.
Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równości
oraz znak odejmowania Niewiele wiadomo o życiu Diofantosa, nawet nie można ustalić
dokładnych lat jego życia. Według legendy na jego nagrobku widniał napis:
 Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa.
Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością,
przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą.
Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego,
w którego piątym roku został ojcem syna.
Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca,
który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia.
Przechodniu, oblicz długość jego życia!
Rozwiązując odpowiednie równanie, otrzymujemy, że Diofantos żył 84 lata.
 Z innych prac Diofantosa, poza 6 księgami  Arytmetyki , zachowały się także fragmenty
traktatu tego uczonego o liczbach wielokrotnych i rozpraw o arytmetyce egipskiej. Prace Diofantosa
stanowiły punkt wyjścia do badań w dziedzinie teorii liczb. Jednym z działów tej teorii są tzw.
aproksymacje diofantyczne, traktujące głównie o rozwiązywaniu nierówności algebraicznych
w liczbach całkowitych. Do nauki wszedł również termin równania diofantyczne na oznaczenie
problemu znalezienia rozwiązań pewnego równania w liczbach całkowitych (bądz
naturalnych).
Dzieło Diofantosa nie znalazło niestety kontynuatora i dopiero w średniowieczu
zagadnieniem tym zajęli się matematycy indyjscy i Arabowie. Jednak najważniejsze wyniki w teorii
równań diofantycznych osiągnęli Fermat, Euler, Lagrange, Kummer i Gauss.
Równania diofantyczne:
·ð pierwszego stopnia
Twierdzenie1
Równanie liniowe posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko
wtedy, gdy , gdzie
np. równanie nie ma rozwiązania, bo , zaś równanie
ma rozwiązanie, bo i jest nim przykładowo para
.
Rozwiązanie równania liniowego z Tw.1 można znalez
ć stosując algorytm Euklidesa.
Przykład. . Rozpisujemy algorytm Euklidesa:
Dalej zapisujemy
Mnożymy obustronnie przez 3 i dostajemy
Tak więc rozwiązaniem naszego równania wyjściowego jest para liczb
Okazuje się, że takich rozwiązań jest nieskończenie wiele i można ten fakt ująć w poniższym
twierdzeniu:
Twierdzenie2
Jeżeli równanie jest rozwiązywalne w liczbach
całkowitych, to ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli jednym z nich jest para liczba
całkowitych , to wszystkie rozwiązania są zawarte we wzorze
gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.
Ogólnie:
Równanie diofantyczne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,
gdy .
Szczególnym przypadkiem równania liniowego jest tożsamość Bézouta:
gdzie
 Liczby caÅ‚kowite oraz nazywamy liczbami Bézouta lub współczynnikami Bézouta.
Ponadto jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, dla której istnieją rozwiązania
całkowite oraz powyższego równania.
·ð drugiego stopnia  równanie Pitagorasa i równanie Pella
Równanie Pitagorasa jest to równanie postaci .
Liczby nazywamy trójkami pitagorejskimi. Jeśli to nazywamy je
trójkami pierwotnymi  są to tzw. rozwiązania właściwe.
Diofantos wyprowadził wzory na wyznaczanie takich trójek.
Twierdzenie3
Liczby spełniające równanie Pitagorasa są postaci:
gdzie są liczbami względnie pierwszymi oraz jedna z nich jest parzysta.
Pitagoras i jego uczniowie udowodnili, że trójek pitagorejskich jest nieskończenie wiele:
Stwierdzenie
Trójek pitagorejskich jest nieskończenie wiele - liczby
spełniają równanie Pitagorasa.
Ponadto, jeśli spełniają równanie Pitagorasa to trójka liczb też
jest rozwiązaniem tego równania.
Równanie Pella  równanie postaci gdzie
Równanie to dla będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania
oraz , zaś dla nie będącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie
wiele rozwiązań.
W przypadku, gdy nie jest kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm pozwalający
wyznaczyć rozwiązania tego równania. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od
Ogólne wzory na rozwiązanie równania Pella są następujące:
ą ó
Jego autorem jest Fermat, ale zostało ono pomyłkowo przypisane Pellowi i tak już zostało.
Równaniem Pella zajmowali się angielscy matematycy w XVII wieku. William Brouncker
i John Wallis podali metodę rozwiązania tego równania opartą na metodzie ułamków
łańcuchowych. Dopiero w XVIII w. Joseph-Louis Lagrange udowodnił, że ta metoda
pozwala na wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania Pella.
·ð wyższych rzÄ™dów  równanie Pierre Fermat a
Fermat około roku 1637 postawił zagadnienie, czy równanie ma
rozwiązania w liczbach naturalnych przy (dla otrzymujemy bowiem równanie
liniowe, a dla równanie Pitagorasa). Zanotował je na marginesie łacińskiego
tłumaczenia książki  Arytmetyka Diofantosa i opatrzył następującą uwagą:
 Jest niemożliwe rozłożyć sześcian na dwa sześciany,
czwartą potęgę na dwie czwarte potęgi
i ogólnie potęgę wyższą niż druga na dwie takie potęgi;
znalazłem naprawdę zadziwiający dowód tego,
jednak margines jest za mały, by go pomieścić.
Twierdzenie4  Wielkie Twierdzenie Fermata
Dla liczb naturalnych równanie diofantyczne nie ma rozwiązań
w liczbach całkowitych różnych od zera.
Rys.1.  Arytmetyka Diofantosa, wydanie z roku 1670
uwzględniające Wielkie Twierdzenie Fermata
Twierdzenie to przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności, znane
były dowody szczególnych przypadków. Dlatego też nazwane zostało ostatnim twierdzeniem
Fermata. Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew
Johna Wilesa dopiero w roku 1994, co było jedną z największych sensacji naukowych XX
wieku. Zajmował ok. 100 stron A4 i wyrażony był w języku topologii i krzywych
eliptycznych.
·ð Inne równania diofantyczne:
- uogólnione równanie Pitagorasa
Twierdzenie5
Wszystkie rozwiązania naturalne równania , w których i są liczbami
parzystymi, otrzymujemy ze wzorów:
biorÄ…c za dowolne pary liczb naturalnych, a za dowolne dzielniki sumy ,
mniejsze od swych dopełniających.
- równanie - zajmowali się nim Lagrange, Legendre,
Gauss i Dedekind. Ogólne rozwiązanie podał Dickson;
- równanie diofantyczne nie ma rozwiązań różnych od zera (Fermat);
- istnieją rozwiązania równań:
, np. (133,134,59,158);
, np. (1,12,9,10), (8,53,29,50);
, np. (3,4,5,6), (1,6,8,9),(7,14,17,20);
, np. (1,5,7,12,13);
- - do dziÅ› nie wiadomo, czy ma rozwiÄ…zanie w liczbach naturalnych,
inne niż oraz Udowodniono jedynie, że jeśli są takie rozwiązania, to
dla nich liczba musi mieć więcej niż 330 cyfr;
- - od stuleci nie jest rozwiązane zagadnienie, czy to równanie ma rozwiązanie
w liczbach całkowitych większych od 1, różne od .
Przypuszczenie, że takich rozwiązań nie ma, znane jest pod nazwą Twierdzenia Catalana;
- dla ma nieskończenie wiele rozwiązań. Mogą one być postaci:
- ma rozwiązanie naturalne, dla każdego .