Seria III

Zadanie 1.

(?) Czy istnieje norma na przestrzeni liniowej wielomianów taka, żeby ta przestrzeń

była przestrzenią Banacha?

Zadanie 2.

(?) Dla przypomnienia — punktem ekstremalnym zbioru wypukłego A nazywamy

taki punkt a ∈ A, że dla dowolnych t ∈ R oraz b, c ∈ A jeśli tb + (1 − t)c = a, to t ∈ {0, 1},
czyli po ludzku punkt ekstremalny to punkt nie leżący we wnętrzu żadnego odcinka zawartego
w zbiorze A. Obliczyć moce zbiorów punktów ekstremalnych kul w L

1

([0, 1]) i L

∞

([0, 1]) (w L

∞

również utożsamiamy funkcje równe prawie wszędzie).

Zadanie 3.

Policzyć granicę ciągów:

• f

n

(x) =

P

n
i=1

x

i

/i! w L

1

([0, 1]) i C([0, 1]).

• f

n

(x) =

n

q

n +

1

x

w L

p

([0, 1]) dla p ∈ [1, ∞).

• a

n
k

=

1

n

jeśli k nie dzieli n i 0 jeśli k dzieli n w `

∞

.

Zadanie 4.

Niech X

1

= `

1

, X

2

= `

2

, X

3

= c

0

, X

4

= `

∞

. Dla każdej pary i 6= j podać przykład

ciągu x

n

∈ X

i

∩ X

j

, który zbiega w X

i

do pewnej granicy x, natomiast nie zbiega w X

j

, lub

udowodnić, że taki przykład nie istnieje.

Zadanie 5.

(przypomnienie z Topologii 1) Udowodnić twierdzenie Baire’a:

Twierdzenie 0.1.

Niech X będzie metryczną i zupełną przestrzenią topologiczną (niekoniecznie

liniową). Niech A

i

będzie przeliczalną rodziną zbiorów domkniętych o pustym wnętrzu. Wtedy

S

∞
i=1

A

i

ma puste wnętrze.

Jak w większości takich zadań można, choć nie trzeba korzystać z literatury.

Zadanie 6.

Sprawdzić ciągłość następujących funkcji:

• S : C([0, 1])→R zdefiniowanej przez S(f ) = f (0),

• I d : `

1

→`

2

, która jest identycznością (tj. Id((x

i

)

∞
i=1

) = (x

i

)

∞
i=1

)

• Niech X będzie dowolną przestrzenią Banacha, a A ⊂ X dowolnym niepustyem zbiorem.

Wtedy R

A

(x) = inf

y∈A

kx − yk (oczywiście R

A

: X→R).

• T : `

2

→R zdefiniowanej przez T ((x

i

)) =

P

n
i=1

x

3
i

Zadanie 7.

Sprawdzić zupełność następujących przestrzeni:

• Funkcje całkowalne na [0, 2] (z utożsamieniem funkcji równych prawie wszędzie), dla

których zachodzi

R

1

0

f (x)dx =

R

2

1

f (x)dx z normą kf k =

R

2

0

|f (x)|dx;

• Funkcje ciągłe na [0, 1] takie, że dla każdego n ∈ N zachodzi f (1/n) = 0 z normą supre-

mum;

• Ciągi takie, że

P

∞
i=1

|x

i

| < ∞ z normą supremum.

Zadanie 8.

Sprawdzić domkniętość i gęstość następujących podzbiorów:

• Funkcje prawie wszędzie ograniczone w L

1

([0, 1]);

• Funkcje prawie wszędzie dodatnie w L

2

([0, 1]);

• Funkcje o wartościach całkowitych w L

p

(R) dla p ∈ [1, ∞].