Ćwiczenie 1
WYZNACZANIE
MOMENTU BEZWA
ADNOÅšCI CIAA
METOD

WAHADA
A FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO
I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA
Cel ćwiczenia: stwierdzenie, że okres małych drgań fizycznego wahadła
grawitacyjnego zależy od momentu bezwładności ciała. Doświadczalne
sprawdzenie twierdzenia Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności
ciała względem osi środkowej.
Zagadnienia: środek masy ciała, tensor bezwładności, moment bezwład-
ności ciała, twierdzenie Steinera, wahadło fizyczne, drgania
harmoniczne.
1.1. Wprowadzenie
Åšrodek masy
W rozważaniach teoretycznych stosujemy często pojęcie środka masy
ciała. Położenie przestrzenne środka masy ciała określamy posługując się
wektorem wodzącym r masy elementarnej dm. W odpowiednim układzie
odniesienia mamy
+"rdm +"ÁrdV ,
rC = = (1.1)
m m
gdzie rC a" (xC , yC , zC ) - wektor położenia środka masy ciała.
Á - gÄ™stość (masa wÅ‚aÅ›ciwa).
1
Zgodnie z definicjÄ…
"m dm
(1.2)
Á= lim = ,
"V 0 "V dV
gdzie: dm - masa elementarna, dV - odpowiednia elementarna objetość
w maÅ‚ym otoczeniu punktu P ciaÅ‚a. Dla ciaÅ‚ jednorodnych Á = const = m /V
w całej objętości ciała.
1.2. Twierdzenie Steinera
Przed czytaniem dalszej części należy zapoznać się z elementami
dynamiki bryły sztywnej (patrz rozdział W1).
W tym ćwiczeniu będziemy badać ruch obrotowy bryły sztywnej wokół
nieruchomej osi. Na szczególną uwagę zasługują środkowe osie obrotu
(przechodzące przez środek masy ciała). Jeżeli znany jest moment
bezwładności ciała względem osi środkowej, to można wyznaczyć moment
bezwładności względem innej osi równoległej do osi środkowej.
Korzystamy wtedy z twierdzenia Steinera: różnica momentów bezwładności
względem dwóch różnych równoległych osi, z których jedna przechodzi
przez środek masy ciała, równa jest iloczynowi masy ciała i kwadratu
odległości d między tymi osiami
2
I - IC = md (1.3)
2
Dowód twierdzenia Steinera jest
prosty. Rozważania matematycz-
ne przeprowadzamy w płaszczy-
z
nie przekroju ciała prostopadłego
do obu równoległych osi obrotu.
Prostokątny układ współrzędnych
kartezjańskich ma początek
w punkcie c osi środkowej.
Rys. 1.1.
Położenie równoległej osi obrotu
Ilustracja do dowodu twierdzenia Steinera
wyznacza punkt 0 na osi X układu
współrzędnych (patrz rys. 1.1).
Jeżeli odległość obu osi obrotu wynosi d, to zgodnie z twierdzeniem
Pitagorasa dla współrzędnych punktu P ciała mamy
2
r2 = (x - d)2 + y2 = (x2 + y2) + d - 2dx.
Mnożąc obie strony tej zależności przez elementarną masę
dm = dV = dSdz = (dxdy)dz i całkując po objętości całego ciała
otrzymujemy
2
2 2
r dm = + y2)dm + d dm - 2d xdm.
+" +"(x +" +"
Korzystając z definicji osiowego momentu bezwładności (W1.10) oraz
z definicji środka masy ciała (1.1) mamy, w naszym przypadku
2 2
+"r dm = I, +"(x + y2)dm = Ic, +"xdm = mxc = 0
W ten sposób uzyskaliśmy zależność wyrażającą twierdzenie Steinera (1.3).
1.3. Zasada pomiaru
Moment bezwładności względem wybranej osi można wyznaczyć
doświadczalnie zawieszając bryłę tak, by pod wpływem siły grawitacji
wykonywała drgania wokół tejże osi (bryła stanowi wówczas wahadło
3
fizyczne). Zgodnie ze wzorem (W1.18), w którym moment kierujący
D = mgd (patrz rys. W1.2), okres małych drgań takiego wahadła
I
T = 2Ä„ .
mgd
Mierząc odległość d osi obrotu, odpowiedniego grawitacyjnego wahadła
fizycznego, od środka masy oraz okres małych drgań tego wahadła
wyznaczamy osiowy moment bezwładności ciała na podstawie zależności
2
T mgd
I = . (1.4)
2
4Ä„
Wprowadzając oś środkową możemy, korzystając z twierdzenia Steinera
(1.3), wyznaczyć różnicę momentów bezwładności ciała względem dwóch
różnych osi równoległych do osi środkowej. Mamy mianowicie:
2 2
I2 - I1 = m(d2 - d1 ) ,
gdzie d1 i d2 - odległości obu osi od osi środkowej.
Wyrażając dalej momenty bezwładności ciała przez okresy drgań
odpowiednich wahadeł fizycznych (1.4.) otrzymujemy
2 2
T22gd2 - 4Ä„2d2 = T12gd1 - 4Ä„2d1 = const.
Stwierdzamy w ten sposób, że wyrażenie
2
C = T2gd - 4Ä„2d
(1.5)
jest stałe (stała drgań wahadła). Dla małych wychyleń z położenia
równowagi wyrażenie (1.5) nie zależy od odległości osi wahadła od osi
środkowej ciała. Wyznaczając okresy drgań T dla różnych odległości d
wahadeł fizycznych i obliczając stałą C potwierdzamy doświadczalnie
twiedzenie Steinera.
Zauważmy jeszcze, że środkowy moment bezwładności ciała zależy
w prosty sposób od stałej C. Mamy mianowicie, na podstawie wzorów (1.3),
(1.4) i (1.5)
4
m
IC = C
. (1.6)
4Ä„2
1.4. Układ pomiarowy
Zasadniczą częścią składową urządzenia pomiarowego jest metalowa
tarcza kołowa z symetrycznie wyciętymi otworami. Odpowiednia podstawa
z poziomą pryzmatyczną belką pozwala zawieszać tarczę w różnie
usytuowanych otworach. Uzyskujemy w ten sposób wahadło fizyczne
z różnymi równoległymi osiami obrotu. Zmieniając otwór zawieszenia,
zmieniamy położenia osi obrotu tarczy względem osi środkowej.
Jeżeli badanym ciałem jest cylindryczny metalowy pierścień, lub kołowa
tarcza z otworami, to krawędz
pryzmatycznej podpory jest osiÄ… obrotu
odpowiedniego wahadła fizycznego.
Odległość osi obrotu wahadła od osi środkowej wyznaczamy za pomocą
suwmiarki o szczękach wewnętrznych. Okres drgań wahadła wyznaczamy
za pomocą stopera lub elektronicznego licznika drgań. Masę metalowej
tarczy i pierścieni wyznaczamy za pomocą wagi laboratoryjnej.
m
2 2
Iz = (R1 + R2 )
2
1 m
I = Iz + h2 = Ix
y
2 12
Rys. 1.2. Układ głównych osi bezwładnosci jednorodnego pierścienia cylindrycznego
1.4. Zadania do wykonania
A) Pomiary
5
" Tarcza kołowa z otworami
1) Zmierzyć suwmiarką podwójną odległość 2d osi obrotu tarczy od osi
środkowej.
2) Zmierzyć kilkakrotnie stoperem lub elektronicznym licznikiem drgań
czas trwania n drgań tarczy. Wyznaczyć wartość średnią okresu drgań.
3) Powtórzyć pomiary 1. i 2. dla kilku innych odległości osi obrotu tarczy
od osi środkowej.
4) Wyznaczyć masę tarczy metalowej m za pomocą wagi laboratoryjnej.
" Cylindryczny pierścień lub kołowy pierścień tarczowy
5) Zmierzyć kilkakrotnie suwmiarką średnicę wewnętrzną pierścienia
metalowego lub kołowego pierścienia tarczowego. Wyznaczyć wartość
średnią promienia wewnętrznego R1
.
6) Zmierzyć kilkakrotnie stoperem lub elektronicznym licznikiem drgań
czas trwania n drgań pierścienia. Wyznaczyć wartość średnią okresu
drgań pierścienia.
7) Wyznaczyć masę pierścienia m za pomocą wagi laboratoryjnej.
8) Zmierzyć kilkakrotnie suwmiarką w różnych miejscach grubość
pierścienia. Wyznaczyć wartość średnią promienia zewnętrznego R2 .
9) Zmierzyć kilkakrotnie suwmiarką w różnych miejscach wysokość
pierścienia. Wyznaczyć wartość średnią wysokości: h (dla kołowego
pierścienia tarczowego h = 0).
10) Określić błędy bezwzględne pomiaru wielkości na podstawie klasy
przyrządu pomiarowego (działka elementarna suwmiarki, stopera,....).
11) Uzyskane wyniki pomiarów zebrać w odpowiednich tabelach.
B) Opracowanie wyników
1. Obliczyć stałe C1, C2, C3 dla różnych odległości osi obrotu tarczy od osi
środkowej.
2. Wyznaczyć wartość średnią stałej C.
6
3. Obliczyć moment bezwładności tarczy względem osi środkowej IC.
4. Obliczyć moment bezwładności pierścienia cylindrycznego lub kołowego
pierścienia tarczowego wzgledem osi środkowej, korzystając z wyników
pomiarów 5, 6 i 7 (metoda dynamiczna).
5. Obliczyć główne środkowe momenty bezwładności pierścienia cylindry-
cznego (lub kołowego pierścienia tarczowego), korzystając z danych
uzyskanych w wyniku pomiarów 5, 7, 8, 9 (metoda statyczna);
wyprowadzić odpowiedni wzór na Iz, (wyprowadzenie wzoru na Ix, Iy
jest nieobowiÄ…zkowe).
6. Porównać wyniki pomiaru środkowego momentu bezwładności pierście-
nia uzyskane metodÄ… dynamicznÄ… ( IC ) i statycznÄ… ( Iz ).
7. Wyznaczyć macierz reprezentacyjną głównego środkowego tensora
bezwładności pierścienia cylindrycznego.
8. Ocenić dokładność pomiaru stałej C (metoda różniczki zupełnej) oraz
momentu bezwładności ciała (metoda pochodnej logarytmicznej).
7