Politechnika Rzeszowska

Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych

Metrologia – laboratorium

Grupa

Data

Nr ćwiczenia

Opracowanie danych pomiarowych

Working out of measurement data

7

Student


……………………………

Ocena

I. Cel

ćwiczenia.

Celem

ćwiczenia jest poznanie zasad statystycznego opracowania serii niezależnych wyników

pomiarów oraz podstawowych problemów metrologicznych występujących podczas pomiarów
w warunkach istnienia zakłóceń losowych.

II. Zagadnienia.
1. Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej: jednostajny, normalny (Gaussa), Studenta.
2. Parametry

rozkładów zmiennej losowej: wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe

wartości oczekiwanej.
3. Estymatory parametrów rozkładów zmiennej losowej: średnia arytmetyczna, wariancja
eksperymentalna, odchylenie standardowe eksperymentalne średniej arytmetycznej.

III. Literatura.
1.

Chwaleba A.: Metrologia elektryczna, Warszawa: WNT, 2010.

2. Tumański S.: Technika pomiarowa, Warszawa: WNT, 2007.
3. Parchański J.: Miernictwo elektryczne i elektroniczne, Warszawa: WSiP, 1997.
4.

Taylor J. R.: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. Warszawa: PWN, 1999.

5. Wyrażanie niepewności pomiaru – Przewodnik. Warszawa: Wyd. GUM, 1999.

IV. Efekty

kształcenia.

Po

zakończeniu ćwiczenia 7 student:

- definiuje menzurand
- szkicuje schemat układu pomiarowego
- przygotowuje multimetr cyfrowy do pomiarów
- odczytuje wskazanie przyrządu cyfrowego
- oblicza estymatory wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego
- wyznacza graniczne wartości błędu przypadkowego
- wyznacza graniczne wartości błędu instrumentalnego
- zapisuje i interpretuje wynik pomiaru
- szacuje wartość mocy wydzielanej w badanym rezystorze
- wykonuje proste obliczenia w notacji inżynierskiej

Wykaz używanych przyrządów i ich podstawowe parametry metrologiczne.

Przyrząd Zakresy

Dokładność Inne

parametry

Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych

Metrologia – laboratorium. EN-DI-1, r. ak. 2012/13

ćw. 7 / str. 2

V. Program

ćwiczenia.

1. Zadanie

pomiarowe.

Obiektem badanym (DUT) jest rezystor. Poznać wartość rezystancji R opornika w stanie

bezprądowym (I = 0), pozyskując informację o przedmiocie poznania za pomocą omomierza cyfrowego –
metodą bezpośrednią. Pomiar odbywa się w warunkach istnienia zakłóceń losowych, objawiających się
rozrzutem kolejnych wskazywanych wartości rezystancji.

W celu zasymulowania oddziaływania zakłóceń na badany opornik, pomiary wykonuje się dla n

rezystorów z tej samej partii produkcyjnej, przyjmując i-te wskazanie jako kolejną wartość R

i

. Przyjmuje

się, że n-elementowa próba rezystorów wybrana jest z populacji o normalnym rozkładzie rezystancji.

Oszacować wartość mocy P wydzielanej na obiekcie badanym i zastanowić się, czy prąd

pomiarowy I omomierza nie powoduje efektu samopodgrzewania się badanego opornika.

2. Schemat

układu pomiarowego (zaznaczyć: co widzę, co mierzę, co chcę poznać).

Rys. 1. Pomiar wartości rezystancji R omomierzem cyfrowym w warunkach zakłóceń losowych.

Wybrana funkcja pomiarowa multimetru:
Menzurand: przedmiotem poznania jest
Czy występują błędy o charakterze losowym?

TAK / NIE

Model matematyczny pojedynczego wyniku pomiaru:

∑

−

−

−

=

met

instr

rand

∆

∆

∆

i

R

R

3.

Wyniki pomiarów i obliczeń.

Obliczenia

należy wykonać wykorzystując program-projekt Statystyka (działa w środowisku

Windows tylko w wersji 32-bitowej). Podczas wprowadzania danych zaobserwować tworzenie się
histogramu (rozkładu wskazywanych wartości). Do tabeli zapisywać: wartość współczynnika
rozszerzenia

p

t dla rozkładu Studenta, wartość średnią arytmetyczną R , wartości odchylenia

standardowego eksperymentalnego: pojedynczego wskazania

R

s

oraz średniej arytmetycznej wskazań

R

s . Przed rozpoczęciem i po zakończeniu pomiarów sprawdzić, czy rezystancja przewodów ma wpływ

na wartość wskazywanej rezystancji. Jeżeli tak, należy skorygować obliczoną wartość średnią.

WSKAZANIE

Zakres pomiarowy omomierza:

=

n

R

Czy przy zwartych zaciskach wyświetlacz wskazuje zero?

TAK / NIE

Wartości wskazywanych rezystancji:

R

1

,

R

2

, ...,

R

i

, ...

Rozdzielczość pomiaru rezystancji:

=

RES

Liczba cyfr znaczących wskazania:

Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych

Metrologia – laboratorium. EN-DI-1, r. ak. 2012/13

ćw. 7 / str. 3

Tabela 1. Wartości: współczynnika rozszerzenia dla rozkładu Studenta (dla prawdopodobieństwa rozszerzenia
p = 0,9973), średniej arytmetycznej, odchylenia standardowego pojedynczego wskazania oraz średniej arytmetycznej
wskazań – w funkcji liczności próby n.

n

5 10 20 30 40 50

p

t

R ,

R

s

,

R

s ,

BŁĄD PRZYPADKOWY

Przypadek 1
Estymator wartości oczekiwanej – pojedyncze wskazanie:

=

≈

i

R

R

wsk

Błąd przypadkowy pomiaru:

wsk

rand

R

R

i

−

=

∆

* Estymator odchylenia standardowego błędu dla pojedynczego wskazania:

(

)

(

)

=

−

−

=

≈

∑

=

n

i

i

R

R

R

R

n

s

1

2

1

1

σ

Przypadek 2

Estymator wartości oczekiwanej – średnia arytmetyczna wskazań:

=

=

≈

∑

=

n

i

i

R

n

R

R

1

1

wsk

Błąd przypadkowy pomiaru:

wsk

rand

R

R

−

=

∆

* Estymator odchylenia standardowego błędu dla średniej arytmetycznej wskazań:

=

=

≈

n

s

s

R

R

R

σ

Odchylenie standardowe eksperymentalne błędu dla średniej arytmetycznej nazywane jest niepewnością
standardową wyznaczoną metodą typu A (

R

s

u

=

A

).

Charakter rozkładu błędów przypadkowych (w populacji błędów): normalny (?)
Ze względu na fakt, iż odchylenie standardowe

R

σ rozkładu błędów nie jest znane, normalny rozkład

błędów reprezentowany jest w dalszych obliczeniach przez rozkład Studenta.

* Maksymalna (

p > 0,99) wartość błędu przypadkowego pojedynczego pomiaru:

=

⋅

±

=

R

p

s

t

max

∆

* Maksymalna (

p > 0,99) wartość błędu przypadkowego wartości średniej:

=

⋅

±

=

R

p

s

t

max

∆

Przedział wartości błędu przypadkowego dla pojedynczego pomiaru / dla wartości średniej:

∈

+

−

∈

rand

max

max

rand

;

∆

∆

∆

∆

,

Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych

Metrologia – laboratorium. EN-DI-1, r. ak. 2012/13

ćw. 7 / str. 4

Tabela 2. Wybrane współczynniki rozszerzenia t

p

dla różnych prawdopodobieństw rozszerzenia p i liczności próby n.

Prawdopodobieństwo rozszerzenia p

Liczba

pomiarów

n

0,6827 0,90 0,95 0,9545 0,99 0,9973

2

1,84 6,31 12,71

13,97 63,66 235,8

3

1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21

4

1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

5

1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62

10

1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

15 1,04 1,76 2,14 2,20

2,98

3,64

20

1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45

25

1,02 1,71 2,06 2,11 2,80 3,33

30

1,02 1,70 2,04 2,09 2,76 3,27

40

1,01 1,69 2,02 2,07 2,72 3,20

50

1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16

100

1,00 1,66 1,98 2,02 2,63 3,08

∞ 1,00

1,64

1,96

2,00

2,58

3,00

* Względna niepewność wyznaczenia

max

∆

:

(

)

(

)

=

−

=

1

2

1

max

n

U

∆

rel

BŁĄD SYSTEMATYCZNY INSTRUMENTALNY

Błąd instrumentalny pomiaru:

m

wsk

instr

R

R

−

=

∆

Deklaracja dokładności omomierza:

=

+ dgt

rdg

%

k

m

ƒ

* Wartość MDB pomiaru rezystancji:

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

±

=

RES

k

R

m

MPE

wsk

100

Przedział wartości błędu instrumentalnego:

∈

+

−

∈

instr

instr

;

∆

∆

,

MPE

MPE

Charakter rozkładu błędów systematycznych (w populacji błędów, w granicach

±MPE): prostokątny (?)

Traktując błąd systematyczny instrumentalny jako zmienną losową, która może przyjmować dowolną
wartość w granicach

±MPE z jednakowym prawdopodobieństwem, można obliczyć wartość odchylenia

standardowego błędu, tzw. niepewność standardową wyznaczoną metodą typu B.

* Niepewność standardowa wyznaczona metodą typu B:

=

⋅

≈

=

MPE

MPE

u

6

,

0

3

B

GRANICZNA WARTOŚĆ BŁĘDU POMIARU

* Niepewność standardowa złożona (Combined):

=

+

=

2

B

A

C

u

u

u

2

Wynikowy rozkład błędów:

płasko-normalny

Ze względu na brak informacji o kształcie wypadkowego rozkładu błędów przypadkowych
i systematycznych, będącego efektem złożenia rozkładu normalnego (Studenta) z rozkładem
jednostajnym, nie jest możliwe łatwe wyznaczenie niepewności rozszerzonej

p

U dla założonego

prawdopodobieństwa rozszerzenia p = 0,99, w celu wyznaczenia przedziału rozszerzenia.
Niepewność rozszerzona

:

C

99

0

99

0

u

k

U

,

,

⋅

=

Przedział rozszerzenia

:

99

0

wsk

99

0

wsk

m

;

,

,

U

R

U

R

R

+

−

∈

Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych

Metrologia – laboratorium. EN-DI-1, r. ak. 2012/13

ćw. 7 / str. 5

Graniczna wartość błędu pomiaru rezystancji – wyznaczona metodą najgorszego rozłożenia (WDM –
W

orst Distribution Method):

(

)

=

+

±

=

MPE

max

gr

∆

∆

Która ze składowych błędu jest dominująca?

składowa losowa / składowa instrumentalna

Przedział wartości błędu pomiaru:

∈

+

−

∈

∆

∆

∆

∆

,

gr

gr

;

Przedział wartości mierzonej rezystancji:

∈

+

−

∈

m

gr

wsk

gr

wsk

m

R

R

R

R

,

;

∆

∆

BŁĄD SYSTEMATYCZNY METODY POMIAROWEJ

Błąd metody pomiaru rezystancji:

R

R

−

=

m

met

∆

Wartość prądu w obwodzie omomierza:

=

I

ƒ* Oszacowana wartość mocy wydzielanej w oporniku:

=

⋅

=

2

wsk

I

R

P

Czy moc wydzielona w oporniku może spowodować zmianę wartości menzurandu? Czy konieczne jest
wprowadzenie poprawki ze względu na błąd metody pomiarowej?


Wynik pomiaru

:

∈

+

=

R

p

R

R

,

met

m

Interpretacja metrologiczna wyniku pomiaru:

Przedział wartości

〈 ; 〉 ...... obejmuje

punkt

R, będący prawdziwą wartością zdefiniowanego menzurandu, z prawdopodobieństwem bliskim

jedności.

{

}

{

}

1

......

;

1

;

≈

∈

≈

∈

R

R

R

R

Pr

,

Pr

g

d

Naszkicować sytuację pomiarową, uwzględniając R

i

, R

wsk

, R

m

, R.

VI. Podsumowanie.

..... , .....