POLITECHNIKA ŚLĄSKA GLIWICE

CKI RYBNIK

MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Temat:

Prawo Hooke’a dla materiałów izotropowych w jednokierunkowym stanie naprężenia oraz

dla czystego ścinania.

Tomasz Pająk

GIG Rybnik

sem:3

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od
naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły
jest proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest
często nazywany współczynnikiem sprężystości.
Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie ut
tensio sic vis (jakie naprężenie taka siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt
dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą
proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że
odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i
całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest
wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości. Odkształcenie jest
proporcjonalne do naprężeń które je spowodowały przy czym E zwane modułem
sprężystości podłużnej lub modułem younga określa proporcjonalność miedzy e a
sigma. Prawo, definiuje nam związki miedzy odkształceniami a naprężeniami jako
liniowe

Prawa Hooke’a dla materiałów izotropowych:
Składowe stanu odkształcenia są liniowymi jednorodnymi funkcjami składowych
stanu naprężenia dla odkształceń liniowych.

Dla odkształceń kątowych własnych:

ε – odkształcenia liniowe w punkcie,

σ – naprężenie liniowe w punkcie,
γ – odkształcenia postaciowe (kątowe) w punkcie,



*

1

E

E



)]

(

[

1

z

y

x

x

E

















)]

(

[

1

z

x

y

y

E

















)]

(

[

1

y

x

z

z

E

















G

xy

xy



 

G

xz

xz



 

G

yz

yz



 

τ – naprężenie kątowe w punkcie,
G – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchoffa,
E – moduł Younga

– współczynnik Poissona

(Rys.1) Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń z zaznaczonym zakresem

stosowalności prawa Hooke’a

Naprężenie w jednokierunkowym stanie napięcia:

Rys. 2

Na Rysunku 3 i zaznaczonych na nim płaszczyzn głównych. Jedna z nich
(π1) jest prostopadła do osi pręta, pozostałe (π2 i π3) do niej równoległe.
Tylko w płaszczyźnie π1 występuje naprężenie główne σ

1

=F/S w pozostałych

jest ono równe zeru ( σ

2

+ σ

3

=0). W pręcie rozciąganym (ściskanym) osiowo

występuje tylko jedno naprężenie główne. Taki stan nazywamy jednoosiowym
stanem naprężeń.

Czyste Ścinanie:

Rys.4 Ścinanie czyste

Stan naprężenia w przekrojach, w których występują tylko naprężenia
styczne, nazywamy czystym ścinaniem.

Prawo Hooke'a dla czystego ścinania:
Naprężenie styczne t jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego g.

gdzie G - moduł sprężystości postaciowej.

W elementach konstrukcyjnych spotykanych w technice można znaleźć takie
przekroje, w których występuje czyste ścinanie, np. podczas czystego
skręcania. W przeważającej liczbie przypadków w przekrojach elementów
konstrukcyjnych występują jednocześnie naprężenia normalne i styczne.
Ścinaniem technologicznym nazywamy naprężenia i odkształcenia materiału
spowodowane dwiema siłami tworzącymi parę o bardzo małym ramieniu.

Literatura:

Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów, t. I-II, WNT, Warszawa
1996-97,

Zygmunt Konarzewski: „Wytrzymałość materiałów”, Warszawa : Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne 1977