Matematyka A1, klas´

owka, 25 kwietnia 2005

Na rozwiazanie wszystkich zada´

n jest 90 minut

Rozwiazania r´

o˙znych zada´

n maja znale´

z´

c sie na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem piszacego, jego nr.

indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadzacej ´

cwiczenia i nr. grupy ´

cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urzadze´

n elektronicz-

nych; je´

sli kto´

s ma, musza by´

c schowane i wy laczone!

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie na twierdzenia, kt´

ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1.

Znale´z´c wszystkie funkcje x , zmiennej t , dla kt´

orych x

00

(t) − 5x

0

(t) + 6x(t) = t

2

e

t

+ te

2t

+ sin 3t + 1 .

2.

Znale´z´c wszystkie funkcje x , zmiennej t , dla kt´

orych x

00

(t) + 8x

0

(t) + 16x(t) = te

4t

+ t

2

e

−4t

+ cos(2t) .

3.

Niech f oznacza funkcje r´

o˙zniczkowalna okre´slona na p´

o lprostej (0, ∞) przyjmujaca jedynie dodatnie

warto´sci.

Znale´z´c r´

ownanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie p = t, f (t)

i punkt q , w kt´

orym ta

styczna przecina pionowa o´s uk ladu wsp´

o lrzednych.

Znale´z´c pole S(t) trapezu o wierzcho lkach 0 = (0, 0) , (t, 0) , p , q w zale˙zno´sci od t .

Znale´z´c wszystkie funkcje f , dla kt´

orych S(t) = 3 dla wszystkich t > 0 .

4.

Kt´

ore z nastepujacych zbior´

ow sa przestrzeniami liniowymi rzeczywistymi:

{(x, y) ∈

2

:

y

= 2x} , {(x, y) ∈

2

:

|y| = 2|x|} , {(x, y, z) ∈

3

:

x

+ 2y + 3z = 0} ,

{(x, y, z) ∈

3

:

x

+2y +3z = 10} , {(x, y) ∈

2

:

(x+2y)

2

= 0} , {(x, y) ∈

2

:

x

2

+6xy +9y

2

= 0} .

5.

Kt´

ore z nastepujacych zbior´

ow sa przestrzeniami liniowymi rzeczywistymi lub zespolonymi:

(6.1) zbi´

or tych funkcji ciag lych f na (−∞, ∞) , dla kt´

orych f (25) = 0 ;

(6.2) zbi´

or tych ciag´

ow (z

n

) liczb zespolonych, dla kt´

orych z

n

+2

= z

n

+1

+ z

n

+ 25 dla n = 0, 1, 2, . . . ;

(6.3) zbi´

or tych funkcji r´

o˙zniczkowalnych f na (−∞, ∞) , dla kt´

orych f

0

(1) = f (2) .