Matematyka A, klas´
owka, 22 kwietnia 2005
Na rozwia
,
zanie wszystkich zada´
n jest 90 minut
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n
elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Niech A = (1, −2, 7) , B = (5, 2, 3) , C = (0, 0, 0) , D = (1, 1, 1) .
a. Znale´z´c na odcinku AB punkt E taki, ˙ze
−−→
EB = 3
−→
AE .
b. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny prostopad lej do wektora
−−→
AB przechodza
,
cej przez punkt E .
c. Znale´z´c jakikolwiek niezerowy wektor prostopad ly do obu wektor´ow
−−→
AB ,
−−→
CD .
d. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny r´ownoleg lej do prostej CD , na kt´orej le˙za
,
punkt A i B .
e. Znale´z´c odleg lo´s´c punktu B od prostej CD .
2. Znale´z´c wszystkie rozwia
,
zania uk ladu r´owna´
n:
x
1
+ 5x
2
− 3x
3
− 8x
4
=
1;
2x
1
+ 5x
2
− 5x
3
− 7x
4
= −1;
2x
1
+ 7x
2
− 5x
3
− 11x
4
=
1;
2x
1
+ 9x
2
− 7x
3
− 13x
4
= −1.
3. Czy istnieja
,
liczby a, b, c, d takie, ˙ze punkty (−1, −2) , (0, −2) , (1, 0) , (2, 10) le˙za
,
na wykresie
funkcji ax
3
+ bx
2
+ cx + d ? Je´sli istnieja
,
, to znale´z´c je. W przeciwnym przypadku wykaza´c,
˙ze nie istnieja
,
.
4. Znale´z´c A
−1
i B
−1
, je´sli A =
5 3
3 2
i B =
1 −1
0
−1
2 −1
0 −1
2
.
Znale´z´c det
3 0 2 1
0 1 0 0
2 0 2 1
1 0 1 1
.
5. Niech A =
5 −2
4
2
0
2
−2
1 −1
. Rozstrzygna
,
´c dla jakich liczb λ istnieje wektor v ∈ R
3
, v 6= 0
taki, ˙ze Av = λv .
6. Niech A =
cos 60
◦
− sin 60
◦
sin 60
◦
cos 60
◦
. Znale´z´c A
2
, A
3
, A
2005
.