Matematyka A, klas´

owka, 22 kwietnia 2005

Na rozwia

,

zanie wszystkich zada´

n jest 90 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Niech A = (1, −2, 7) , B = (5, 2, 3) , C = (0, 0, 0) , D = (1, 1, 1) .

a. Znale´z´c na odcinku AB punkt E taki, ˙ze

−−→

EB = 3

−→

AE .

b. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny prostopad lej do wektora

−−→

AB przechodza

,

cej przez punkt E .

c. Znale´z´c jakikolwiek niezerowy wektor prostopad ly do obu wektor´ow

−−→

AB ,

−−→

CD .

d. Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny r´ownoleg lej do prostej CD , na kt´orej le˙za

,

punkt A i B .

e. Znale´z´c odleg lo´s´c punktu B od prostej CD .

2. Znale´z´c wszystkie rozwia

,

zania uk ladu r´owna´

n:











x

1

+ 5x

2

− 3x

3

− 8x

4

=

1;

2x

1

+ 5x

2

− 5x

3

− 7x

4

= −1;

2x

1

+ 7x

2

− 5x

3

− 11x

4

=

1;

2x

1

+ 9x

2

− 7x

3

− 13x

4

= −1.

3. Czy istnieja

,

liczby a, b, c, d takie, ˙ze punkty (−1, −2) , (0, −2) , (1, 0) , (2, 10) le˙za

,

na wykresie

funkcji ax

3

+ bx

2

+ cx + d ? Je´sli istnieja

,

, to znale´z´c je. W przeciwnym przypadku wykaza´c,

˙ze nie istnieja

,

.

4. Znale´z´c A

−1

i B

−1

, je´sli A =

5 3
3 2

i B =





1 −1

0

−1

2 −1

0 −1

2



.

Znale´z´c det







3 0 2 1
0 1 0 0
2 0 2 1
1 0 1 1





.

5. Niech A =





5 −2

4

2

0

2

−2

1 −1



. Rozstrzygna

,

´c dla jakich liczb λ istnieje wektor v ∈ R

3

, v 6= 0

taki, ˙ze Av = λv .

6. Niech A =

cos 60

◦

− sin 60

◦

sin 60

◦

cos 60

◦

. Znale´z´c A

2

, A

3

, A

2005

.