Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-1

Wykład 17

17.

Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II

17.1

Ś

rednia droga swobodna

Ś

rednia droga swobodna to inaczej średnia odległość między miejscami kolejnych

zderzeń

. Zależy od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości.

Rozpatrujemy cząstkę kulistą o średnicy d. Zderzenie będzie miało miejsce gdy odle-
głość między środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka jest "tarczą" o
powierzchni

σ

=

π

d

2

Ta powierzchnia nosi nazwę

całkowitego przekroju czynnego

.

W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v "przemiata" objętość walca

v

t

σ

.

Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to w tym walcu nasza cząstka napo-
tka (zderzy się z)

n

z

=

v

t

σ

n

cząstek.
Ś

rednia droga swobodna to średnia odległość pomiędzy punktami kolejnych zderzeń.

Jest ona równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez licz-
bę zderzeń

n

d

n

n

t

t

2

1

1

π

σ

σ

λ

=

=

=

v

v

(17.1)

To równanie wyprowadzono w oparciu o założenie, że cząstka zderza się z nierucho-
mymi obiektami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w poruszający się cel. Częstość
zderzeń jest większa, a średnia droga swobodna mniejsza

n

d

2

2

1

π

λ

=

(17.2)

Zwróćmy uwagę, że wtedy w równaniu (17.1) dwie występujące tam prędkości są różne:
prędkość w liczniku to prędkość średnia

v

cząsteczek względem naczynia, a prędkość

w mianowniku to średnia prędkość względna

wzgl

v

w stosunku do innych cząsteczek.

Można się przekonać jakościowo, że

wzgl

v

>

v

Np. gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to

wzgl

v

= 2

v

, gdy pod kątem prostym to

v

v

2

=

wzgl

a gdy w tę samą stronę to

wzgl

v

= 0. Uwzględniając rzeczywisty rozkład

prędkości otrzymujemy

v

v

2

=

wzgl

.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-2

Przykład 1

Cząstki powietrza w temperaturze 273 K i pod ciśnieniem 1 atm.
d = 2·10

-8

cm,

v

= 10

5

cm/s, n = 3·10

19

/cm

3

.

Wówczas średnia droga swobodna jest równa 2·10

-5

cm (około 1000d).

Odpowiednia częstość zderzeń wynosi 5·10

9

/s.

17.2

Rozkład prędkości Maxwella

Na poprzednim wykładzie omawialiśmy prędkość średnią kwadratową cząsteczek

gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od tempe-
ratury (cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo prędkości zmieniają się w
wyniku zderzeń).
Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierające-
go N cząsteczek ma postać

kT

m

e

kT

m

N

N

2

2

2

3

2

2

4

)

(

v

v

v

−













=

π

π

(17.3)

W równaniu tym N(

v

)d

v

jest liczbą cząstek o prędkościach z przedziału od

v

do

v

+

d

v

. T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmana, m - masa cząsteczki.

Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć dodając (całkując) liczby dla po-
szczególnych różniczkowych przedziałów prędkości

∫

∞

=

0

d

)

(

v

v

N

N

Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch różnych temperatur.

gdzie -

v

prędkość średnia,

2

v

- prędkość średnia kwadratowa,

v

p

– prędkość najbar-

dziej prawdopodobna.

0

200

400

600

800

1000

__

_

v

v

2

v

p

v (m/s)

N

(v

)

T=300 K

T=70 K

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-3

Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nieskoń-
czoności. Ze wzrostem temperatury rośnie prędkość średnia kwadratowa. Obszar pręd-
kości jest teraz większy. Ponieważ liczba cząstek (pole pod krzywą) jest stała więc roz-
kład się "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperaturą, liczby cząstek o prędkościach więk-
szych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybkości reakcji chemicz-
nych towarzyszących zwiększeniu temperatury. Z równania widać, że rozkład prędkości
zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym więcej szybkich cząsteczek (w danej
temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery niż tlen czy
azot.

17.3

Równanie Van der Waalsa

Równanie stanu gazu doskonałego

pV = nRT

dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy większych gęsto-
ś

ciach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla gazu

oraz że zasięg sił międzycząsteczkowych może być większy niż odległości międzyczą-
steczkowe.

J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzględnia te

czynniki. Jeżeli cząstki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostępna
dla cząstek jest mniejsza od objętości naczynia. "Objętość swobodna" jest mniejsza od
objętości naczynia o "objętość własną" cząsteczek b. Jeżeli oznaczymy przez v objętość
przypadającą na jeden mol

v

= V/n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu

p(v – b) = RT

Można również prosto uwzględnić efekt sił międzycząsteczkowych. Siły przyciągania
pomiędzy n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po lewej" z n cząsteczkami (na jed-
nostkę objętości) "po prawej" jest proporcjonalna do n

2

czyli proporcjonalna do 1/

v

2

.

Siła przyciągająca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ciśnieniu, które zo-
stało uwzględnione w równaniu Van der Waalsa

RT

b

a

p

=

−













+

)

(

2

v

v

(17.4)

gdzie stałe a i b wyznaczamy doświadczalnie. (Równanie Van der Waalsa też bywa za-
wodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby się do różnych gazów w
różnych warunkach).
Na rysunku poniżej porównano zachowanie się gazu doskonałego (rysunek po lewej)
w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-4

17.4

Entropia i druga zasada termodynamiki

17.4.1

Procesy odwracalne i nieodwracalne

Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego sprężanie gazu.

1.

Tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy aż ustali się równowaga z otoczeniem.
W czasie takiego procesu ciśnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone bo
nie są jednakowe w całej objętości.

2.

Tłok przesuwamy bardzo powoli, tak że ciśnienie i temperatura gazu są w każdej
chwili dobrze określone. Ponieważ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga nowy
stan równowagi. Możemy złożyć cały proces z ciągu takich małych przesunięć tłoka
i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Jeżeli będziemy
zmniejszać nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym
wszystkie stany pośrednie (pomiędzy początkowym i końcowym) są stanami rów-
nowagi.

Proces typu (1) nazywamy

procesem nieodwracalnym

a proces typu (2)

procesem

odwracalnym

.

Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany

otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego tzn. przebiegający po tej samej
drodze w przeciwnym kierunku

.

17.4.2

Cykl Carnota

Bardzo ważnym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granicę

naszych możliwości zamiany ciepła na pracę.
1)

Gaz znajduje się w stanie p

1

, V

1

, T

1

(punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła

i pozwalamy, żeby gaz rozprężył się izotermicznie do stanu p

2

, V

2

, T

1

(punkt B). Gaz

pobiera ciepło Q

1

.

2)

Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i pozwalamy na dalsze rozprężanie adia-

batyczne gazu (np. zmniejszając obciążenie tłoka) do stanu p

3

, V

3

, T

2

(punkt C). Gaz

wykonuje pracę przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do T

2

.

3)

Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T

2

) i sprężamy gaz izotermicznie do

stanu p

4

, V

4

, T

2

(punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q

2

.

0.05

0.10

0.15

0.20

0

50

100

150

200

250

300

350

400

P

V

0.05

0.10

0.15

0

50

100

150

200

250

300

350

400

P

V

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-5

4)

Cylinder stawiamy na izolują-

cej podstawce i sprężamy adiaba-
tycznie do stanu p

1

, V

1

, T

1

(punkt

A). Siły zewnętrzne wykonują
pracę i temperatura gazu podnosi
się do T

1

.

Wypadkowa praca W wyko-

nana przez układ w czasie pełne-
go cyklu jest opisana przez po-
wierzchnię

zawartą

wewnątrz

krzywej

1,2,3,4.

Wypadkowa

ilość ciepła pobrana przez układ
podczas jednego cyklu wynosi
Q

1

- Q

2

.

Wypadkowa

zmiana

energii wewnętrznej wynosi zero bo stan końcowy pokrywa się z początkowym.
Z pierwszej zasady termodynamiki mamy więc

W = Q

1

– Q

2

Sprawność silnika wynosi

1

2

1

1

2

1

1

T

T

T

Q

Q

Q

Q

W

−

=

−

=

=

η

(17.5)

Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym (maszyna chłodząca).

17.4.3

Druga zasada termodynamiki

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część

pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konsekwen-
cji ta ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstru-
ować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pracę? Mogli-
byśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończone) ilości
ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowa-
nie słoneczne.

Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w

drugiej zasadzie

termodynamiki

. Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady

1)

Nie można zbudować perpetum mobile drugiego rodzaju.

2)

Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wów-

czas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.
3)

ś

adna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami

T

1

i

T

2

nie mo-

ż

e mieć sprawności większej niż (

T

1

-

T

2

)/

T

1

.

4)

W układzie zamkniętym entropia nie może maleć.

Rozpatrzmy następujący schemat (pokazany na rysunku poniżej),w którym super

silnik o sprawności większej od silnika Carnota napędza ten silnik. Efektem końcowym
jest przeniesienie dwóch jednostek ciepła z

zimniejszego do cieplejszego zbiornika.

A

B

C

D

Q

1

Q

2

W

T

1

T

2

V

p

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-6

17.4.4

Termodynamiczna skala temperatur

Pokazaliśmy więc, że sprawność silnika Carnota jest równa

1

2

1

1

2

1

1

T

T

T

Q

Q

Q

Q

W

−

=

−

=

=

η

Wynika stąd, że

T

1

/

T

2

=

Q

1

/

Q

2

Zatem stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciepła można wyznaczyć mierząc
przenoszenie ciepła podczas jednego cyklu Carnota. Powyższy wzór stanowi definicję

termodynamicznej skali temperatur

.

17.4.5

Entropia

•

Zerowa zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem

temperatury

•

Pierwsza zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem

energii wewnętrznej

•

Druga zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem

entropii

Entropia jest

miarą nieuporządkowania

układu cząstek. Im większy jest stan niepo-

rządku położeń i prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ bę-
dzie w tym stanie.
Przykłady sytuacji gdy nieuporządkowanie rośnie bo tracimy część zdolności do klasy-
fikacji cząstek.

•

Rozprężanie swobodne

•

Przepływ ciepła do wyrównania temperatur

Z definicji entropia

S układu jest równa

T

1

(gor

ą

cy zbiornik)

Q

1

=4

Q

1

'

=6

Silnik
Carnota

η

=0.5

Super
silnik

η

S

=0.75

W=3

Q

2

=1

Q

2

'

=3

T

2

(zimny zbiornik)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-7

S = kln

ω

(17.6)

gdzie k - stała Boltzmana,

ω

- prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie

(w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów).
Zgodnie z definicją prawdopodobieństwa układ częściej będzie w stanie o większym
prawdopodobieństwie niż w stanie o mniejszym prawdopodobieństwie. Układ więc "po-
szukuje" stanów o większym prawdopodobieństwie, a w miarę wzrostu

ω

rośnie rów-

nież S. Stąd

∆

S

≥

0

To jest czwarte sformułowanie drugiej zasady termodynamiki. Pokażmy, że pozostałe
sformułowania są mu równoważne.

∆

S = S

2

- S

1

= kln

ω

2

- kln

ω

1

∆

S = kln(

ω

2

/

ω

1

)

Rozpatrzmy teraz swobodne rozprężanie gazu od objętości V

1

do objętości końcowej V

2

.

Względne prawdopodobieństwo znalezienia jednej cząstki w V

1

w porównaniu do V

2

jest

2

1

.

1

2

1

V

V

cz

=













ω

ω

Dla N cząstek stosunek prawdopodobieństw

N

Ncz

V

V













=













2

1

.

2

1

ω

ω

Otrzymujemy więc

∆

S =Nkln(V

2

/

V

1

)

Podzielmy i pomóżmy równanie przez

T; otrzymamy wtedy

T

V

V

NkT

S

1

2

ln

=

∆

Wyrażenie w liczniku jest równe ilości ciepła

∆

Q dostarczonego do układu aby ten

przeszedł do stanu końcowego w sposób odwracalny (rozprężanie izotermiczne).

T

Q

S

T

Q

S

d

d

d

lub

=

∆

=

∆

(17.7)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-8

więc ostatecznie

∫

=

T

Q

S

d

(17.8)

gdzie d

Q jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym.

Entropia S jest termodynamiczną funkcją zależną tylko od początkowego i końcowego
stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami

(termodynamiczna defini-

cja entropii).

Z tego punktu widzenia szczególnie interesujące są procesy adiabatyczne nie zwią-

zane z przepływem ciepła pomiędzy układem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym
dQ = 0, więc dla procesu odwracalnego dS = 0 na podstawie równania (17.8).

Oznacza to, że

entropia układu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodzą pro-

cesy odwracalne, jest stała

. Jednocześnie można pokazać, że

dla procesu adiabatyczne-

go nieodwracalnego, entropia układu rośnie

.

Można uogólnić zasadę wzrostu entropii na układy nieizolowane adiabatycznie

tzn. takie, które wymieniają ciepło z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz układ i oto-
czenie razem jako jeden "większy" układ ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy

0

d

d

≥

+

o

S

S

gdzie dS

o

jest zmianą entropii otoczenia. Zmienia się więc entropia naszego układu i

otoczenia. Jeżeli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciepła dQ z otoczenia
do naszego układu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia układu rośnie o tę samą
wartość dQ/T, więc całkowita zmiana entropii jest równa zeru.

Zatem posługując się entropią (zgodnie z drugą zasadą termodynamiki) możemy

stwierdzić czy

dany proces może zachodzić w przyrodzie

.

Przykład
Stosując wzór (17.8) można pokazać, np. że ciepło przepływa z ciała gorącego do zim-
nego a nie odwrotnie. Dwa identyczne ciała o T

1

i T

2

kontaktujemy termicznie. Po chwi-

li temperatury wynoszą odpowiednio T

1

- dT

1

, T

2

+ dT

2

wskutek przepływu ciepła:

dQ

1

= -mcdT

1

i

dQ

2

= mcdT

2

Ponieważ dQ

1

= – dQ

2

więc dT

1

= – dT

2

= dT

Zmiana entropii każdego z ciał jest równa

dS

1

= – mcdT/T

1

i

dS

2

= mcdT/T

2

Wypadkowa zmiana entropii wynosi

dS = mcdT(1/T

2

– 1/T

1

)

skąd zmiana temperatury

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-9













−

=

2

1

2

1

d

d

T

T

S

mc

T

T

T

dS jest dodatnia więc dT ma taki sam znak jak (T

1

– T

2

). Tak więc jeżeli T

1

> T

2

to cie-

pło przepływa z ciała o T

1

do ciała o T

2

.

Przypuśćmy, że ten strumień ciepła dQ

1

został użyty do napędzania silnika Carnota pra-

cującego pomiędzy T

1

i T

2

. Wówczas zgodnie z wyrażeniem na sprawność

1

2

1

1

d

d

T

T

T

Q

W

−

=

można uzyskać pracę mechaniczną

S

T

T

T

Q

T

W

d

1

1

d

d

2

1

2

1

2

=













−

=

Można pokazać całkiem ogólnie, że jeżeli w układzie zamkniętym zawierającym ciała
o różnych temperaturach następuje wzrost entropii dS to towarzyszy temu strata energii
mechanicznej dW równa iloczynowi dS i temperatury najchłodniejszego ciała.
Uwaga: możliwe jest lokalne zmniejszenie entropii, kiedy jednak bierze się pod uwagę
wszystkie części układu (układ zamknięty) to wypadkowa zmiana entropii będzie równa
zeru lub będzie dodatnia.

17.5

Stan równowagi, zjawiska transportu

17.5.1

Stan równowagi

Stan równowagi układu to taki stan, w którym żaden z parametrów potrzebnych do

makroskopowego opisu układu nie zależy od czasu. Dla układu jednorodnego (np. gazu)
w stanie równowagi wystarcza znajomość dwu podstawowych parametrów stanu np.
ciśnienie i objętość.
Opis komplikuje się gdy mamy układ niejednorodny np. ciecz w równowadze z parą.
Dla danej temperatury stan równowagi tego układu jest możliwy przy różnych objęto-
ś

ciach układu (od objętości zależy ilość fazy ciekłej i gazowej). Natomiast temperatura i

ciśnienie przestają być niezależne. W każdej temperaturze równowaga jest możliwa tyl-
ko przy określonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyższym istnieje tylko ciecz, przy
niższym para. Podobnie ciecz i ciało stałe mogą istnieć w równowadze tylko w tempera-
turze topnienia, która jest funkcją ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w rów-
nowadze z parą nasyconą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi
pokazane na rysunku poniżej.
Literą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury top-
nienia z ciśnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zależność dla kilku nietypowych sub-
stancji, które przy topnieniu zmniejszają objętość np. lód.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-10

Krzywa b + b' pokazuje zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P na-
zywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało stałe – para, a odci-
nek b krzywa równowagi ciecz – para. W punkcie potrójnym mogą istnieć wszystkie
trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ciśnieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16 K
(O

°

C). Krzywa b kończy się w punkcie krytycznym K powyżej którego nie istnieje róż-

nica pomiędzy gazem i cieczą. Dlatego żeby skroplić gaz trzeba obniżyć temperaturę
poniżej temperatury krytycznej.

17.5.2

Zjawiska transportu

Dotychczas zajmowaliśmy się właśnie układami w stanie równowagi. Teraz zapo-

znamy się z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą gdy układ dąży do
takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (trans-
portem):

•

materii

•

energii

•

pędu

•

ładunku elektrycznego

Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybliżeniu za pomocą rów-
nania różniczkowego, które

przedstawia propagację pewnej wielkości fizycznej

ϕ

mają-

cą na celu osiągnięcie równowagi

x

K

j

∂

∂ϕ

−

=

(17.8)

gdzie j jest gęstością strumienia wielkości

ϕ

(gęstość prądu), K jest stałą charakteryzują-

cą daną sytuację fizyczną. Stałą K wiążemy z właściwościami mikroskopowymi rozpa-
trywanego układu statystycznego, z tzw. współczynnikami transportu. Wiążą się one
z nośnikami np. cząsteczkami gazu, elektronami w metalu.

•

Dyfuzja w gazie

czyli przenoszenie cząstek w kierunku obszarów o mniejszej kon-

centracji n (dążenie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji

gradn

D

x

n

D

j

D

−

=

−

=

∂

∂

p

T

a

a'

b

b'

K

P

I

II

III

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-11

gdzie j

D

gęstość strumienia cząstek, n - koncentracja cząstek. Równanie to znane jest

pod nazwą prawa Ficka.
Współczynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu)

λ

v

3

1

=

D

•

Przewodnictwo cieplne

czyli transport energii, wskutek ruchu cząstek w kierunku

obszaru o niższej T (dążenie do wyrównania temperatury).
Równanie (prawo Fouriera) ma postać

gradT

x

T

j

Q

κ

∂

∂

κ

−

=

−

=

gdzie j

Q

jest gęstością strumienia ciepła,

κ

jest współczynnikiem przewodnictwa ciepl-

nego. Dla rozrzedzonego gazu

λ

κ

V

c

nv

3

1

=

•

Lepkość gazu

polegająca na przenoszeniu pędu między warstwami gazu o różnych

prędkościach (dążenie do wyrównania prędkości).
Równanie (prawo Newtona) ma postać

gradu

x

u

j

p

η

∂

∂

η

−

=

−

=

gdzie u jest prędkością (unoszenia) warstwy. Współczynnik lepkości dla rozrzedzonego
gazu wynosi

λ

η

m

nv

3

1

=

•

Przewodnictwo elektryczne

czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ru-

chu elektronów (dążenie do wyrównania potencjałów elektrycznych). Równanie (prawo
Ohma) ma postać

gradV

σ

ρ

σ

−

=

=

=

E

E

j

1

gdzie przewodność elektryczna

σ

jest dana wyrażeniem

v

m

nq

m

nq

λ

τ

σ

2

2

=

=

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

17-12

Uwaga: wszystkie współczynniki transportu zależą od temperatury (poprzez prędkość
ś

rednią, średnią drogę swobodną itd.)