Wykład 12 - 13

Kinetyczna teoria gazów.

Temperatura, ciepło, I zasada

termodynamiki. Przemiany

gazowe.

Opis makroskopowy i

mikroskopowy

• Opis fenomenologiczny

– temperatura (zerowa zasada termodynamiki)
– ciepło i praca (pierwsza zasada

termodynamiki)

– prawa gazowe
– procesy odwracalne i nie odwracalne (druga

zasada termodynamiki)

• Opis mikroskopowy – fizyka statystyczna

– kinetyczna teoria gazów
– temperatura jako średnia energia kinetyczna
– entropia (trzecia zasada termodynamiki)

Temperatura

• Intuicyjne pojęcia „zimno”, „ciepło”,
• w fizyce będziemy mówić „niska” i „wysoka”

temperatura,

• pojęcie „ciepło” jest inna wielkością o wymiarze

energii;

• Istnieje taka wielkość, nazwiemy ja temperaturą,

która ma te własność, że ciała pozostawione ze sobą
w kontakcie mają tę samą temperaturę.

• Temperaturę mierzymy:

– za pomocą temperatur charakterystycznych
– za pomocą liniowych zależności różnych wielkości

fizycznych od temperatury.

Pomiar temperatury – temperatury

charakterystyczne

• temperatura zamarzania wody (0

o

Celcjusza)

• wrzenie wody (100

o

Celcjusza)

• temperatura ciała ludzkiego (100

o

Farenheita)

• zamarzanie mieszaniny salmiaku i wody (0

o

Farenheita)

• skraplanie powietrza (azotu) (-192

o

Celcjusza)

• punkt potrójny wody (0.01

o

Celcjusza)

• Temperatura zera bezwzględnego (-273.15

o

Celcjusza)

Pomiar temperatury - termometry

• Rozszerzalność liniowa cieczy – termometr

rtęciowy, termometr alkoholowy

• Termometr gazowy

• istnieje temperatura zera bezwzględnego

-300 -200 -100

0

100

0.0

0.5

1.0

1.5

O

bj

ęt

oś

ć,

V

(T

)/

V

(0

C

)

Temperatura (

o

C)

<-

--

T

0

=-

27

3.

15

o

C

p=const

-300 -200 -100

0

100

0.0

0.5

1.0

1.5

C

iś

ni

en

ie

,

p(

T

)/

p(

0

o

C

)

Temperatura (

o

C)

<-

--

T

0

=-

27

3.

15

o

C

V=const

Skale termometryczne

-300

-200

-100

0

100

0

100

200

300

400

T

C

=5 (T(F)-32

o

F)/9

o

C

<-

--

T

0

=-

32

o

C

Te

m

pe

ra

tu

ra

K

el

w

in

a

(

be

zw

zg

lę

dn

a)

(

K

)

Te

m

pe

ra

tu

ra

F

ar

en

he

ita

(

o

F)

Temperatura (

o

C)

<-

--

T

0

=-

27

3.

15

o

C

T

C

=(T(K)-273.15)

o

C

Termometry

• oparte na zjawisku rozszerzalności cieplnej

– cieczowy
– gazowy
– bimetale

• elektryczne

– oporowe, R(T): metale i półprzewodnikowe termistory,
– termopary (U(T))

• termokolory
• pirometry – widmo świecenia ciał
• topniki (parafina w silniku samochodowym)

Rozszerzalność cieplna ciał

• współczynnik rozszerzalności linowej

• współczynnik rozszerzalności objętościowej

• związek

gaz doskonały



=36.61 10

-4

/K szkło



=0.10 10

-4

/K

woda (20

o

C)



= 2.07 10

-4

/K

kwarc



=0.04 10

-4

/K

metanol



= 12.0 10

-4

/K

miedź



=0.16 10

-4

/K

T

l

l 





1



T

V

V 





1







3











0

1

0

1

1

T

T

l

l

















0

1

0

1

1

T

T

V

V









Zadania

• dlaczego



3



• dlaczego dla gazu doskonałego



=36.61 10

-4

/K

• o ile wydłuży się pręt miedziany przy podgrzaniu

o 100

o

C

• Czy w termometrze metylowym możemy pominąć

rozszerzalność szkła?

• Mocowanie trzpieni stalowych:

–



=0.1 10

-4

/K,

– moduł sprężystości Younga Y=300 GPa
– rożnica temperatur 300

o

C:

Y

S

F

l

l

1





Ciepło i praca:

formy przekazywania energii

Pierwsza zasada termodynamiki

(zasada zachowania energii)

Q

W

U







U-energia wewnętrzna układu
W- praca wykonana nad układem
Q – ciepło dostarczone do układu

pdV

Fdx

dW









dT

c

n

dT

mc

dQ

mol

mol

m





c- ciepło właściwe

dT

c

n

dT

mc

dU

mol

mol

m





Joul i kaloria,

mechaniczny równoważnik ciepła

• Ciepło pracę i energię wyrażamy w

jednostkach energii: Joulach (J)

• Historycznie dla ciepła używano kalorii

1 kcal=1000 cal=4186 J
1J=0.24 cal

Przewodnictwo cieplne,

forma przekazu ciepła.

 - współczynnik przewodzenia ciepła
cegła =0.5 W/m/K
drewno

=0.2 W/mK

słoma =0.06 W/m/K
styropian

=0.04 W/m/K

0

1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

T

e

m

p

e

ra

tu

ra

(

o

C

)

Położenie, x ( m)

Q

w

T

S

dt

dQ

P









T

gradient

T

dx

dT

w

T









Formy przekazu ciepła

• przewodnictwo cieplne

– dyfuzja gorących cząstek w gazach
– transport (dyfuzja) gorących elektronów w metalach
– rozchodzenie się (dyfuzja) drgań sieci.

– każda granica ośrodków jest bariera dla przewodzenia ciepła

• konwekcja - dominuje w gazach

– wąska szpara miedzy szybami
– futro
– styropian

• promieniowanie (fizyka kwantowa)

– folie odbijające

 

 

T

k

B

e

c













3

4

2

1



Kalorymetria,

bilans cieplny.

• ciepło właściwe
• ciepło topnienia (w stałej

temperaturze)

– pobierane przy topnieniu
– oddawane przy krzepnięciu

• ciepło parowania (w stałej

temperaturze)

– pobierane przy parowaniu
– oddawane przy skraplaniu.

m

c

Q

m

c

Q

T

m

c

Q

p

p

t

t

m









Jeśli W=0 to Q

oddane

=Q

pobrane

Ile lodu m

x

o temperaturze T

0

=0

o

C należy wrzucić

do 1 litra (m

0

=1kg) wody o temperaturze 20

o

C

aby uzyskać temperaturę T

k

=5

o

C.

c

m

=4200 J/(kgK), c

t

=330 000 J/kg

















kg

T

T

c

c

T

T

c

m

m

T

T

c

m

c

m

T

T

c

m

k

m

t

k

p

m

x

k

m

x

t

x

k

p

m

18

.

0

0

0

0

0



















Praca wykonana nad układem

pdV

d

p

d

dW

















x

S

x

F

0

2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

dW=pdV

C

is

ni

en

ie

(

P

a)

Objetość ( m

3

)

p(V)

Przy ściskaniu wkładamy pracę,
zwiększamy energię wewnętrzną,
ale układ może oddawać ciepło.

Praca zależy od szczegółów cyklu,
(drogi na wykresie p-V) a nie tylko
od stanu początkowego i
końcowego.

Energia wewnętrzna jest funkcją
stanu początkowego i końcowego.
Jaki jest konieczny zestaw
parametrów?

Ściskanie izotermiczne i

adiabatyczne

• Szybkie ściskanie, bez

wymiany ciepła z otoczeniem

powoduje wzrost temperatury.

• Ściskanie izotermiczne musi

być bardzo powolne

• Ściskanie adiabatyczne

wymaga większej pracy, bo

część włożonej energii
potrzebna jest na podgrzanie.

• Rozprężanie adiabatyczne

chłodzi gaz.

0

T=const



U=W-Q

izoterma

p=1/V

C

iś

ni

en

ie

Objętość

Q=0



U=W

adiabata

p=1/V



ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu i stałej objętości

.

O ile ogrzeje się pręt stalowy gdy

ściśniemy go o jeden procent?

moduł sprężystości Younga Y=300 GPa

ciepło właściwe c=400 J/kgK

gęstość r=7500 kg/m

3

Y

S

F

l

l

1













2

2

01

.

0

0

01

.

0

0

01

.

0

2

01

.

0

2

1

VY

l

l

SY

l

ld

l

SY

Fdl

W

l

l



















 

SY

l

l

l

F



















K

kgK

J

m

kg

Pa

c

Y

mc

VY

mc

U

T

m

m

m

5

01

.

0

/

400

/

7500

2

10

300

01

.

0

2

01

.

0

2

2

3

9

2

2























0

2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

S

iła

, F

Odkształcenie l/l

o

W=F



l

SY



l/l

0

Opis fenomenologiczny

doświadczeń

• prawo Boyle’a (T=const)

• prawo Charles’a (p=const)

• prawo Clapeyrona (V=const)

const

T

P

const

T

V

const

pV







Równanie stanu gazu

RT

n

pV

m



R=8.32 J/(mol K) - stała gazowa

Gaz doskonały

• Cząsteczki punktami materialnymi, a

przynajmniej objętość cząstek znacznie
mniejsza od objętości gazu;

• duża liczba cząstek – możemy (musimy)

stosować opis statystyczny;

• brak oddziaływania cząstka-cząstka, a jeśli

występują zderzenia to są elastyczne;

• chaotyczny ruch cząstek.

ciśnienie –

średnia siła ścianek, potrzebna do

zmiany pędu

cząstek przy odbiciu;

temperatura – miara energii kinetycznej cząstek.

Ciśnienie

• objętość - l

3

• n cząstek o masie m

• zmiana pędu jednej cząstki

przy pojedynczym odbiciu

• zmiana pędu jednej cząstki

w jednostce czasu (na jedną

ścianę)

• ciśnienie





...

2

2

2

2

2

2

2

1

3

2

2

0





























x

x

t

x

x

x

x

t

i

x

v

v

l

m

l

F

p

l

mv

v

l

mv

t

mv

F

mv

średnia siła

x

czas= zmiana

pędu

2

2

2

3

3

1

v

v

V

Nm

v

l

Nm

p

x

x









2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

3

...

x

z

y

x

x

x

x

v

v

v

v

v

N

v

v

v















Prędkość termiczna cząstek

(średnia)

• skaluje się z odwrotnością pierwiastka masy,
• energia kinetyczna prawie taka sama dla

cząstek o różnych masach,

• prędkość cząstek bliska szybkości

rozchodzenia się dźwięku  mało zderzeń

T

k

v

m

B



2

3

2

2

s

m

kg

K

K

J

m

T

k

v

p

B

/

700

2

10

67

.

1

300

/

10

38

.

1

3

3

27

23

2

















Temperatura

Dla jednego mola

2

3

2

2

v

m

N

pV 

RT

n

pV

m



mol

cząząst

N

A

/

10

02

.

6

23





RT

v

m

N

A



2

3

2

2

K

J

N

R

k

A

Boltzman

/

10

38

.

1

23









T

k

v

m

B



2

3

2

2

Temperatura:

podwojona energia na jeden stopień
swobody/stała k

B

Energia wewnętrzna i ciepło

właściwe

RT

v

m

N

A



2

3

2

2

RT

n

v

m

N

m



2

3

2

2

RT

n

v

m

N

U

m

2

3

2

2





RT

n

N

U

m

ss

2

1



Ciepło właściwe przy stałej

objętości

R

N

dT

dU

n

c

ss

m

v

2

1

1





Ciepło właściwe gazu

10

100

1000

10000

0

1

2

3

4

5

6

7

2 mody

ruchu

drgajacego

2 osie

ruchu

obrotowego

3 kierunki

ruchu

postępowego

c

v

=7/2 R

c

v

=5/2 R

m

ol

ow

e

ci

ep

ło

w

ła

śc

iw

e/

(

R

/2

)

Temperatura ( K)

c

v

=3/2 R

ciepło własciwe wodoru

Stopnie pokazują istnienie efektów kwantowych

Momenty swobody

• punkt materialny

– 3

• sztywna cząstka 2-atomowa

– 5

• większa drobina

– 6

• dwa drgające atomy

– 7

2

2

3

x

v

v 

obr

y

obr

x

r

r

v

v

2

2

2

2

2

2

3













obr

r

v

v

2

2

2

2

3

3











drgań

obr

z

r

v

v

2

2

2

2

2

2

2

2

3















Zasada ekwipartycji energii

RT

N

n

U

swobody

stopie

ń

jeden

na

T

k

ss

mol

B

2

1

2

1







Ciepło właściwe przy stałej

objętości i stałym ciśnieniu.

0

W

1,2

=p( V

2

-V

1

)



U=c

v



T+W

1,2

V

2

V

1

T

f

=T

0

+



T

T

0

C

iś

ni

en

ie

Objętość



U=c

v



T

V

p

T

c

U

v

p











T

R

V

p







T

R

T

c

U

v

p











R

c

T

U

c

v

p

p











R

N

c

ss

v

2

1



R

N

c

ss

p

















1

2

ss

ss

v

p

N

N

c

c

2









Cieplne właściwości gazów

Cząsteczk

a

Gaz

c

p

J/mol K

c

v

J/mol K

c

p

-c

v

J/mol K

=c

p

/c

v

1-atomowa

He

A

20.7
20.7

12.4
12.4

8.3
8.3

1.67
1.67

2-atomowa

H

2

O

2

28.6
29.3

20.3
20.9

8.3
8.4

1.41
1.40

duża

CO

2

NH

3

C

2

H

6

36.8
36.7
51.5

28.3
27.7
42.9

8.5
9.0
8.6

1.30
1.31
1.20

R=8.32 J/mol K

Równanie adiabaty

0

T=const



U=W-Q

izoterma

p=1/V

C

iś

ni

en

ie

Objętość

Q=0



U=W

adiabata

p=1/V



V

p

T

c

n

V

p

U

Q

v

m



















0

0

Warunek adiabatyczności

pV

p

T

nR

nRT

pV













równanie stanu gazu

nR

pV

V

p

T

nc

V

p

v

















 równanie adiabaty

v

p

v

c

c

pV

V

p

c

V

p















const

V

p

V

V

c

c

p

p

v

p



























ln

ln

0



const

pV 



v

p

c

c





v

p

c

c

R





I zasada i równanie stanu gazu

przemiana izochoryczna

0

<--- p

2

p

1

---->

T

2

izochora

V

1

=V

v

izoterma

T

1

=const

C

iś

ni

en

ie

, p

Objętość, V

2

2

1

1

T

p

T

p

nRT

pV





równanie stanu gazu

0



W

praca





1

2

T

T

nc

Q

v





pobrane ciepło





1

2

T

T

nc

U

v







energia

I zasada i równanie stanu gazu

przemiana izobaryczna

0

<-

--

V

2

V

1

--

--

>

T

2

izobara

p=const

izoterma

T

1

=const

C

iś

ni

en

ie

, p

Objętość, V

2

2

1

1

T

V

T

V

nRT

pV





równanie stanu gazu





1

2

V

V

p

W





praca





1

2

T

T

c

Q

v





pobrane ciepło



 







1

2

1

2

1

2

T

T

nc

V

V

p

T

T

nc

U

p

v

















energia

I zasada i równanie stanu gazu

przemiana izotermiczna

0

<-

--

V

2

<-

--

V

1

izoterma

T=const

C

iś

ni

en

ie

, p

Objętość, V

2

2

1

1

V

p

V

p

nRT

pV





równanie stanu gazu









2

1

2

1

V

V

V

V

v

dV

nRT

pdV

W

praca wykonana przez gaz

W

Q 



pobrane ciepło

0



U

energia wewnętrzna

1

2

ln

V

V

nRT

W 

I zasada i równanie stanu gazu

przemiana adiabatyczna

0

T

2

V

1

izoterma

T

1

C

iś

ni

en

ie

, p

Objętość, V

Q=0

adiabata

p=1/V



V

2

nRT

pV 

równanie stanu gazu









2

1

2

1

V

V

V

V

V

dV

nRT

pdV

W



praca wykonana przez gaz

0



Q

pobrane ciepło

W

U 





energia wewnętrzna























1

2

1

1

1

1

1







V

V

nRT

W





2

2

1

1

V

p

V

p



równanie adiabaty

Przemiany (prawa) gazowe

• izobaryczna,

p=const

V



T

• izotermiczna

T=const

P



1/V

• izochoryczna

V=const

P



T

0

izobara

p=const

izochora

V=const

p



T

izoterma

T=const

p=1/V

C

iś

ni

en

ie

, p

Objętość, V

Q=0

adiabata

p=1/V



0

izobara

p=const

izochora

V=const

p



T

izoterma

T=const

p=1/V

C

iś

ni

en

ie

, p

Temperatura, T

0

izobara

p=const

V



T

izochora

V=const

p



T

izoterma

T=const

p=1/V

O

bj

ęt

oś

ć,

V

Temperatura, T

Równanie stanu gazu

w równowadze termodynamicznej:

• n ilość moli
• R –stała gazowa (uniwersalna dla gazu

doskonałego)

nRT

pV 

parametry stanu, p,V,T

Równowaga termodynamiczna:

podukładu (jednorodne parametry stanu)

podukładu z otoczeniem (równe temperatury)

statyczna (po nieskończonym czasie)
w trakcie procesu

funkcje stanu

• p, V, T

• energia wewnetrzna, U

• entropia

Ciepło i praca
nie są funkcjami stanu!