Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 1 -

mgr inż. Marek Motylewicz

1.

Dane

Droga klasy technicznej G 1/2 , Vp = 60 km/h poza terenem zabudowanym

Prędkość miarodajna: Vm = 90 km/h (Vm = 100 km/h dla krętości trasy = 53,40 °/km

i dla drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych poboczy –

zredukowano do wartości Vm = 90 km/h z uwagi na zapis w §13

pkt. 2 Dz.U.99.43.430)

Pomiar trasy:

|AB| = 526,22 m

|BC| = 759,36 m

|CD| = 520,21 m

Kąty zwrotu trasy:

γ

1

= 38,24 °

γ

2

= 52,69 °

B

C

D

A

Rys. 1.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 2 -

mgr inż. Marek Motylewicz

2.

Zaprojektowano dwa łuki poziome o następujących danych

R

min

= 200,00 m (i = 7%)

R

1

= 600,00 m

R

2

= 500,00 m

i

1

= 5%

i

2

= 6%

T

1

=

·

భ

600 ·

,

= 208,00 m

T

2

=

·

మ

500 ·

,

= 247,60 m

Ł

1

=

·

భ

·

భ

°

··,

°

= 400,45 m

Ł

2

=

·

మ

·

మ

°

··,

°

= 459,81 m

C

A

D

B

Rys. 2.

3.

Zestawienie długości trasy (przed wpisaniem krzywych przejściowych)

PPT = 0,00 m

km 7+200,00

PŁK

1

= |AB| – T

1

= 526,22 – 208,00 = 318,22 m

km 7+518,22

SŁK

1

= PŁK

1

+ 0,5 · Ł

1

= 318,22 + 0,5 · 400,45 = 518,45 m

km 7+718,45

KŁK

1

= PŁK

1

+ Ł

1

= 318,22 + 400,45 = 718,67 m

km 7+918,67

PŁK

2

= KŁK

1

+ (|BC| – T

1

– T

2

) = 718,67 + (759,36 – 208,00 – 247,60 m) = 1022,43 m

km 8+222,43

SŁK

2

= PŁK

2

+ 0,5 · Ł

2

= 1022,43 + 0,5 · 459,81 = 1252,34 m

km 8+452,34

KŁK

2

= PŁK

2

+ Ł

2

= 1022,43 + 459,81 = 1482,24 m

km 8+682,24

KPT = KŁK

2

+ (|CD| – T

2

) = 1482,24 + (520,21 – 247,60) = 1754,85 m

km 8+954,85

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 3 -

mgr inż. Marek Motylewicz

4.

Projektowanie układu klotoid symetrycznych nr 1a i 1b dla łuku poziomego nr 1

4.1.

Ustalenie parametru A

1

•

warunek dynamiki: „Klotoida powinna być na tyle duża, aby przyrost

przyspieszenia nie następował zbyt szybko.”

a

V

A

3

p

1

w

∆

≥

gdzie:

V

p

- prędkość projektowa, V

p

= 70 km/h =

19,44 m/s

;

∆

a - przyrost przyspieszenia dośrodkowego,

dla V

p

= 70 km/h wg Dz.U. nr 43 poz. 430 odczytano

∆

a = 0,6 m/s

3

.

stąd obliczono:

65

,

110

6

,

0

44

,

19

A

3

1

w

=

≥

•

warunek geometrii: „Suma katów zwrotu obu klotoid łuku nie może być większa od

kąta zwrotu trasy, gdyż nie byłaby zachowana geometryczna ciągłość łuku. Gdy

suma katów klotoid równa jest kątowi zwrotu trasy, klotoidy stykają się (brak

części łukowej) tworząc krzywą zwaną biklotoidą.”

γ

⋅

≤

R

A

2

w

R

1

= 600 m;

γ

1

= 38,24º = 0,6674 rad

stąd obliczono:

17

,

490

6674

,

0

600

A

2

w

=

⋅

≤

•

warunek estetyki: „

Warunek został ustalony na podstawie oceny istniejących odcinków

dróg. Stwierdzono, że klotoidy o kątach zwrotu od 3° do 30°

dają najlepszą optyczną

płynność trasy.

”

R

A

R

3

1

3

w

≤

≤

stąd obliczono:

00

,

600

A

00

,

200

3

w

≤

≤

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 4 -

mgr inż. Marek Motylewicz

•

warunek minimalnego odsunięcia od stycznej: „

Odsunięcie łuku kołowego powinno

być zauważalne dla kierowcy.

”

4

min

3

4

w

H

R

24

A

⋅

⋅

≥

H

min

= 0,5 m (dopuszczalne 0,2 m)

przyjęto: H

min

= 0,5 m

stąd obliczono:

64

,

225

5

,

0

600

24

A

4

3

4

w

=

⋅

⋅

≥

•

warunek proporcji krzywych: „

Ze względu na płynność trasy między długością klotoid a

długością łuku kołowego powinna zachodzić odpowiednia proporcja.

”

1

n

R

Ł

A

1

n

R

Ł

5

w

+

⋅

≤

≤

+

⋅

gdzie: n

zalecane

= 1 do 2, n

dopuszczalne

= 0,5 do 4

przyjęto: n = 1 ÷ 2

stąd obliczono:

1

1

600

45

,

400

A

1

2

600

45

,

400

5

w

+

⋅

≤

≤

+

⋅

60

,

346

A

00

,

283

5

w

≤

≤

Tabela 4.1. Zestawienie obliczonych przedziałów wartości parametru A

1

110,65 ≤

A

w1

A

w2

≤

490,17

200,00 ≤

A

w3

≤

600,00

225,64 ≤

A

w4

283,00 ≤

A

w5

≤ 346,60

•

Analizując wszystkie powyższe obliczenia przyjęto wartość parametru

A

1

= 300,00 m

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 5 -

mgr inż. Marek Motylewicz

4.2.

Dla obliczonego parametru A

1

odczytano z tablic wartości elementów klotoidy

jednostkowej i przeliczono je na wartości rzeczywiste

•

Ustalenie parametru wejściowego do tablic

ଵ

ଵ

ଵ

300

600

0,500

•

Odczytanie z tablic Lipińskiego wartości elementów klotoidy jednostkowej nr 1

i obliczenie wartości rzeczywistych

Tabela 4.2. Wartości klotoidy jednostkowej i obliczenie wartości rzeczywistych

Wartości klotoidy

jednostkowej

Wartości rzeczywiste szukanej klotoidy

(wielkości

liniowe

x A

1

)

τ

1

= 7º 09’ 43’’

τ

1

= 7,1619º

(przeliczone na wartość dziesiętną)

x

1

= 0,499219

X

1

= 149,7657 m

y

1

= 0,020810

Y

1

= 6,2430 m

x

s1

= 0,249870

X

s1

= 74,9610 m

h

1

= 0,005206

H

1

= 1,5618 m

l

1

= 0,500000

L

1

= 150,0000 m

(długość zaprojektowanej klotoidy)

4.3.

Kreślenie układu klotoid symetrycznych nr 1a i 1b dla łuku poziomego nr 1

∆

τ

α

τ

γ

γ

∆

Rys. 3. Przypadek łuku poziomego z symetrycznymi klotoidami

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 6 -

mgr inż. Marek Motylewicz

4.3.1.

Przesuwamy łuk kołowy o wartość H

1

prostopadle od obu stycznych trasy (łuk po

przesunięciu

musi mieć tą samą wartość promienia!!!

)

H

1

= 1,5618 m (prostopadle od obu stycznych)

∆

∆

∆

∆

Rys. 4.

4.3.2.

Obliczamy wartość nowej stycznej T

1’

(wg rys. 3)

ଵᇱ

ଵ

ଵ

·

ଵ

2

600 1,5618 ·

38,24

2

208,54

4.3.3.

Obliczamy wartość przesunięcia poziomego

∆∆∆∆

1111

∆

ଵ

ଵᇱ

ଵ

208,54 208,00 0,54

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 7 -

mgr inż. Marek Motylewicz

4.3.4.

Odmierzamy na rysunku wartości X

s1

oraz 0,5·H

1

; X

1

oraz Y

1

(z tabeli nr 4.2)

W ten sposób wyznaczamy trzy główne punkty projektowanej klotoidy:

−

początek (PKP) – wyznacza go początek X

s1

−

ś

rodek (SKP) – wyznacza go odcięta X

s1

oraz rzędna 0,5·H

1

−

koniec (KKP) – wyznacza go odcięta X

1

oraz rzędna Y

1

∆

∆

B

P

K

P

1

b

S

K

P

1

b

K

Ł

K

/

K

K

P

1

b

PK

P

1

a

S

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/

PŁ

K

Rys. 5.

4.3.5.

Odczytujemy z tablic punkty pośrednie (zakładając krok wartości „l”) i tyczymy

kolejne punkty klotoidy metodą rzędnych i odciętych od PKP (z obu stron)

l

x

y

L [m] = l · A

X [m] = x · A

Y [m] = y · A

0,050

0,050000

0,000021

15,0000

15,0000

0,0063

0,100

0,100000

0,000167

30,0000

30,0000

0,0501

0,150

0,149998

0,000562

45,0000

44,9994

0,1686

0,200

0,199992

0,001333

60,0000

59,9976

0,3999

-

-

-

-

74,9610 = Xs

0,7809 = 0,5H

0,250

0,249976

0,002604

75,0000

74,9928

0,7812

0,300

0,299939

0,004499

90,0000

89,9817

1,3497

0,350

0,349869

0,007144

105,0000

104,9607

2,1432

0,400

0,399744

0,010662

120,0000

119,9232

3,1986

0,450

0,449539

0,015176

135,0000

134,8617

4,5528

0,500

0,499219

0,020810

150,0000 = L

149,7657 = X

6,2430 = Y

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 8 -

mgr inż. Marek Motylewicz

S

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

ŁK

PK

P

1

a

X [m]

Y [m]

1.

15,0000

0,0063

2.

30,0000

0,0501

3.

44,9994

0,1686

4.

59,9976

0,3999

5.

74,9610 = Xs

1

0,7809 = 0,5H

1

6.

74,9928

0,7812

7.

89,9817

1,3497

8.

104,9607

2,1432

9.

119,9232

3,1986

10.

134,8617

4,5528

11.

149,7657 = X

1

6,2430 = Y

1

Rys. 6.

Po obustronnym wpisaniu krzywych (odbicie lustrzane – symetria) otrzymujemy rozwiązanie

zadania – układ klotoid symetrycznych nr 1a i 1b dla łuku poziomego nr 1 (rys. 7)

P

K

P

1

b

S

K

P

1

b

K

Ł

K

/

K

K

P

1

b

B

P K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

Ł K

S

K

P

1

a

Rys. 7.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 9 -

mgr inż. Marek Motylewicz

Na potrzeby wpisania krzywej esowej możemy jednak pominąć

wpisywanie krzywej nr 1b pozostawiając odsunięty łuk nr 1 (rys. 8)

S

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

Ł K

P K

P

1

a

B

Rys. 8.

4.3.6.

Obliczamy długość klotoid nr 1a i 1b (z podstawowego wzoru klotoidy)

L

ଵ

A

ଵ

ଶ

R

ଵ

300

ଶ

600

150,00 m

4.3.7.

Obliczamy styczną T

01

układu krzywa przejściowa – łuk poziomy (wg rys. 3)

଴ଵ

ଵᇱ

௦ଵ

ଵ

∆

ଵ

௦ଵ

208,54 74,9610 283,50

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 10 -

mgr inż. Marek Motylewicz

5.

Projektowanie układu klotoid niesymetrycznych nr 2 i 3 dla łuku poziomego nr 2

5.1.

Ustalenie parametru A

2

i A

3

•

warunek dynamiki: „Klotoida powinna być na tyle duża, aby przyrost

przyspieszenia nie następował zbyt szybko.”

a

V

A

3

p

1

w

∆

≥

gdzie:

V

p

- prędkość projektowa, V

p

= 70 km/h =

19,44 m/s

;

∆

a - przyrost przyspieszenia dośrodkowego,

dla V

p

= 70 km/h wg Dz.U. nr 43 poz. 430 odczytano

∆

a = 0,6 m/s

3

.

stąd obliczono:

65

,

110

6

,

0

44

,

19

A

3

1

w

=

≥

•

warunek geometrii: „Suma katów zwrotu obu klotoid łuku nie może być większa od

kąta zwrotu trasy, gdyż nie byłaby zachowana geometryczna ciągłość łuku. Gdy

suma katów klotoid równa jest kątowi zwrotu trasy, klotoidy stykają się (brak

części łukowej) tworząc krzywą zwaną biklotoidą.”

γ

⋅

≤

R

A

2

w

R

2

= 500 m;

γ

2

= 52,69º = 0,9196 rad

stąd obliczono:

48

,

479

9196

,

0

500

A

2

w

=

⋅

≤

•

warunek estetyki: „

Warunek został ustalony na podstawie oceny istniejących odcinków

dróg. Stwierdzono, że klotoidy o kątach zwrotu od 3° do 30°

dają najlepszą optyczną

płynność trasy.

”

R

A

R

3

1

3

w

≤

≤

stąd obliczono:

00

,

500

A

67

,

166

3

w

≤

≤

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 11 -

mgr inż. Marek Motylewicz

•

warunek minimalnego odsunięcia od stycznej: „

Odsunięcie łuku kołowego powinno

być zauważalne dla kierowcy.

”

4

min

3

4

w

H

R

24

A

⋅

⋅

≥

H

min

= 0,5 m (dopuszczalne 0,2 m)

przyjęto: H

min

= 0,5 m

stąd obliczono:

80

,

196

5

,

0

500

24

A

4

3

4

w

=

⋅

⋅

≥

•

warunek proporcji krzywych: „

Ze względu na płynność trasy między długością klotoid a

długością łuku kołowego powinna zachodzić odpowiednia proporcja.

”

1

n

R

Ł

A

1

n

R

Ł

5

w

+

⋅

≤

≤

+

⋅

gdzie: n

zalecane

= 1 do 2, n

dopuszczalne

= 0,5 do 4

przyjęto: n = 1 ÷ 2

stąd obliczono:

1

1

500

81

,

459

A

1

2

500

81

,

459

5

w

+

⋅

≤

≤

+

⋅

05

,

339

A

83

,

276

5

w

≤

≤

Tabela 5.1. Zestawienie obliczonych przedziałów wartości parametru A

2

i A

3

110,65 ≤

A

w1

A

w2

≤

479,48

166,67 ≤

A

w3

≤

500,00

196,80 ≤

A

w4

276,83 ≤

A

w5

≤ 339,05

•

Analizując wszystkie powyższe obliczenia przyjęto wartość parametru

A

2

= 290,00 m

dla klotoidy nr 2 i wartość parametru

A

3

= 325,00 m dla klotoidy nr 3.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 12 -

mgr inż. Marek Motylewicz

5.2.

Dla obliczonych parametrów A

2

i A

3

odczytano z tablic wartości elementów klotoid

jednostkowych i przeliczono je na wartości rzeczywiste

•

Ustalenie parametru wejściowego do tablic

ଶ

ଶ

ଶ

290

500

0,580

ଷ

ଷ

ଶ

325

500

0,650

•

Odczytanie z tablic Lipińskiego wartości elementów klotoidy jednostkowej nr 2

i obliczenie wartości rzeczywistych

Tabela 5.2. Wartości klotoidy jednostkowej nr 2 i obliczenie wartości rzeczywistych

Wartości klotoidy

jednostkowej

Wartości rzeczywiste szukanej klotoidy

(wielkości

liniowe

x A

2

)

τ

2

= 9º 38’ 14’’

τ

2

= 9,6372º

(przeliczone na wartość dziesiętną)

x

2

= 0,578361

X

2

= 167,7247 m

y

2

= 0,032453

Y

2

= 9,4114 m

x

s2

= 0,289727

X

s2

= 84,0208 m

h

2

= 0,008122

H

2

= 2,3554 m

l

2

= 0,580000

L

2

= 168,2000 m

(długość zaprojektowanej klotoidy)

•

Odczytanie z tablic Lipińskiego wartości elementów klotoidy jednostkowej nr 3

i obliczenie wartości rzeczywistych

Tabela 5.3. Wartości klotoidy jednostkowej nr 3 i obliczenie wartości rzeczywistych

Wartości klotoidy

jednostkowej

Wartości rzeczywiste szukanej klotoidy

(wielkości

liniowe

x A

3

)

τ

3

= 12º 06’ 13’’

τ

3

= 12,1036º

(przeliczone na wartość dziesiętną)

x

3

= 0,647105

X

3

= 210,3091 m

y

3

= 0,045625

Y

3

= 14,8281 m

x

s3

= 0,324517

X

s3

= 105,4680 m

h

3

= 0,011424

H

3

= 3,7128 m

l

3

= 0,650000

L

3

= 211,2500 m

(długość zaprojektowanej klotoidy)

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 13 -

mgr inż. Marek Motylewicz

5.3.

Kreślenie układu klotoid niesymetrycznych nr 2 i 3 dla łuku poziomego nr 2

∆

∆

τ

α

τ

γ

γ

UWAGA:

Wartości T

s2’

oraz T

s3’

mogą być mniejsze od T

2

(ujemne delty)

w zależności od kąta zwrotu

γ

oraz wartości przesunięć łuku H

2

i H

3

Rys. 9. Przypadek łuku poziomego z niesymetrycznymi klotoidami

5.3.1.

Przesuwamy łuk kołowy o wartość H

2

i H

3

prostopadle od obu stycznych trasy

(łuk po przesunięciu

musi mieć tą samą wartość promienia!!!

)

H

2

= 2,3554 m

;

H

3

= 3,7128 m

∆

∆

C

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 14 -

mgr inż. Marek Motylewicz

∆

∆

Rys. 10.

5.3.2.

Obliczamy wartości stycznych T

s2’

oraz T

s3’

oraz wartości przesunięcia

poziomego

∆∆∆∆

2

i

∆

∆

∆

∆

3

(wg rys. 9)

௦ଶᇱ

ଶ

∆

ଶ

∆

ଶ

ଶ

ଶ

ଷ

sin

ଶ

2,3554

52,69°

3,7128

sin 52,69°

,

௦ଶᇱ

ଶ

∆

ଶ

247,60 2,87 250,47

௦ଷᇱ

ଶ

∆

ଷ

∆

ଷ

ଷ

ଶ

ଶ

sin

ଶ

3,7128

52,69°

2,3554

sin 52,69°

!, "#

௦ଷᇱ

ଶ

∆

ଷ

247,60 0,13 247,73

5.3.3.

Odmierzamy na rysunku wartości T

s2’

oraz X

s2

; 0,5·H

2

; X

2

oraz Y

2

(z tabeli 5.2)

oraz wartości T

s3’

oraz X

s3

; 0,5·H

3

; X

3

oraz Y

3

(z tabeli 5.3)

W ten sposób wyznaczamy trzy główne punkty projektowanej klotoidy:

−

początek (PKP) – wyznacza go początek X

s

−

ś

rodek (SKP) – wyznacza go odcięta X

s

(T

s’

) oraz rzędna 0,5·H

−

koniec (KKP) – wyznacza go odcięta X oraz rzędna Y

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 15 -

mgr inż. Marek Motylewicz

KŁ K

2

/ P

KP

3

PK

P

3

SK

P

3

K

K

P

2

/

P

Ł

K

2

S

K

P

2

P

K

P

2

C

∆

∆

Rys. 11.

5.3.4.

Odczytujemy z tablic punkty pośrednie (zakładając krok wartości „l”) i tyczymy

kolejne punkty obu klotoid metodą rzędnych i odciętych od PKP

klotoida nr 2, A = 290,00 m

l

x

y

L [m] = l · A

X [m] = x · A

Y [m] = y · A

0,050

0,050000

0,000021

14,5000

14,5000

0,0061

0,100

0,100000

0,000167

29,0000

29,0000

0,0484

0,150

0,149998

0,000562

43,5000

43,4994

0,1630

0,200

0,199992

0,001333

58,0000

57,9977

0,3866

0,250

0,249976

0,002604

72,5000

72,4930

0,7552

-

-

-

-

84,0208 = Xs

1,1777 = 0,5H

0,300

0,299939

0,004499

87,0000

86,9823

1,3047

0,350

0,349869

0,007144

101,5000

101,4620

2,0718

0,400

0,399744

0,010662

116,0000

115,9258

3,0920

0,450

0,449539

0,015176

130,5000

130,3663

4,4010

0,500

0,499219

0,020810

145,0000

144,7735

6,0349

0,550

0,548743

0,027684

159,5000

159,1355

8,0284

0,580

0,578361

0,032453

168,2000 = L

167,7247 = X

9,4114 = Y

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 16 -

mgr inż. Marek Motylewicz

P

K

P

2

S

K

P

2

2

/

P

Ł

K

2

X [m]

Y [m]

1.

14,5000

0,0061

2.

29,0000

0,0484

3.

43,4994

0,1630

4.

57,9977

0,3866

5.

72,4930

0,7552

6.

84,0208 = Xs

2

1,1777 = 0,5H

2

7.

86,9823

1,3047

8.

101,4620

2,0718

9.

115,9258

3,0920

10.

130,3663

4,4010

11.

144,7735

6,0349

12.

159,1355

8,0284

13.

167,7247 = X

2

9,4114 = Y

2

Rys. 12.

klotoida nr 3, A = 325,00 m

l

x

y

L [m] = l · A

X [m] = x · A

Y [m] = y · A

0,050

0,050000

0,000021

16,2500

16,2500

0,0068

0,100

0,100000

0,000167

32,5000

32,5000

0,0543

0,150

0,149998

0,000562

48,7500

48,7494

0,1827

0,200

0,199992

0,001333

65,0000

64,9974

0,4332

0,250

0,249976

0,002604

81,2500

81,2422

0,8463

0,300

0,299939

0,004499

97,5000

97,4802

1,4622

-

-

-

-

105,4680 = Xs 1,8564 = 0,5H

0,350

0,349869

0,007144

113,7500

113,7074

2,3218

0,400

0,399744

0,010662

130,0000

129,9168

3,4652

0,450

0,449539

0,015176

146,2500

146,1002

4,9322

0,500

0,499219

0,020810

162,5000

162,2462

6,7633

0,550

0,548743

0,027684

178,7500

178,3415

8,9973

0,600

0,598059

0,035917

195,0000

194,3692

11,6730

0,650

0,647105

0,045625

211,2500 = L

210,3091 = X

14,8281 = Y

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 17 -

mgr inż. Marek Motylewicz

X [m]

Y [m]

1.

16,2500

0,0068

2.

32,5000

0,0543

3.

48,7494

0,1827

4.

64,9974

0,4332

5.

81,2422

0,8463

6.

97,4802

1,4622

7.

105,4680 = Xs

3

1,8564 = 0,5H

3

8.

113,7074

2,3218

9.

129,9168

3,4652

10.

146,1002

4,9322

11.

162,2462

6,7633

12.

178,3415

8,9973

13.

194,3692

11,6730

14.

210,3091 = X

3

14,8281 = Y

3

SK

P

3

3

KŁ

K

2

/ P

KP

3

Rys. 13.

Po wpisaniu klotoid o parametrach A

2

= 290 i A

3

= 325 otrzymujemy rozwiązanie zadania –

układ klotoid niesymetrycznych nr 2 i 3 dla łuku poziomego nr 3 (rys. 14)

K Ł

K

2

/ P

K P

3

PK

P

3

S K

P

3

K

K

P

2

/

P

Ł

K

2

S

K

P

2

P

K

P

2

C

Rys. 14.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 18 -

mgr inż. Marek Motylewicz

Na potrzeby wpisania krzywej esowej możemy jednak pominąć

wpisywanie krzywej nr 2 pozostawiając odsunięty łuk nr 2 (rys. 15)

C

SK

P

3

PK

P

3

KŁ

K

2

/ P

K P

3

Rys. 15.

5.3.5.

Obliczamy długość klotoid nr 2 i 3 (z podstawowego wzoru klotoidy)

L

ଶ

A

ଶ

ଶ

R

ଵ

290

ଶ

500 168,20 m

L

ଷ

A

ଷ

ଶ

R

ଵ

325

ଶ

500 211,25 m

5.3.6.

Obliczamy styczne T

02

i T

03

układu krzywa przejściowa – łuk poziomy (wg rys. 9)

଴ଶ

௦ଶᇱ

௦ଶ

ଶ

∆

ଶ

௦ଶ

250,47 84,0208 334,49

଴ଷ

௦ଷᇱ

௦ଷ

ଶ

∆

ଷ

௦ଷ

247,73 105,4680 353,20

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 19 -

mgr inż. Marek Motylewicz

6.

Projektowanie krzywej esowej łączącej łuki poziome nr 1 i nr 2

Rys. 16.

6.1.

Sprawdzenie potrzeby wpisania krzywej esowej

C

P

K

P

2

S

K

P

2

K

K

P

2

/

P

Ł

K

2

S K

P

3

P K

P

3

K Ł K

2

/ P

K P

3

S

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

Ł K

1

P K

P

1

a

B

K

Ł

K

1

/

K

K

P

1

b

S

K

P

1

b

P

K

P

1

b

Rys. 17.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 20 -

mgr inż. Marek Motylewicz

T

01

+ T

02

≤ |BC|

Jeżeli warunek jest spełniony nie ma potrzeby projektowania krzywej esowej, lecz

można ją zaprojektować.

283,50 + 334,49 =

617,99 m < 759,36 m

Warunek spełniony. Zadecydowano jednak o wpisaniu krzywej esowej z uwagi na

poprawę płynności trasy (odcinek prosty pomiędzy punktami PKP

1b

oraz PKP

2

miałby

długość 141,37 m)

6.2.

Obliczenie parametru A

E

krzywej esowej

K

Ł

K

2

/

P K

P

3

P K

P

3

SK

P

3

C

D

S

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

Ł

K

P

K

P

1

a

A

B

Rys. 18.

Po połączeniu środków okręgów tworzących łuki nr 1 i nr 2 odczytano długość odcinka

E = 44,03 m – odległość pomiędzy okręgami.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 21 -

mgr inż. Marek Motylewicz

2

ଵ

·

ଶ

ଵ

ଶ

2 · 600 · 500

600 500 6000,00

ଵ

ଶ

0,5 · 0,5

ଵ

0,5 ·

ଶ

0,5

600 500 0,5 · 44,03 · 0,5 · 44,03

6000 600 0,5 · 44,03 · 6000 500 0,5 · 44,03

0,02609475

!"#0,02609475 1,494780° 0,02608883 "!%

&

ா

2√3 · · 2√3 · 0,02608883 · 6000 542,24618330

Parametr szukanej krzywej wynosi:

(

ா

&

ா

·

ଵ

·

ଶ

ଵ

ଶ

542,24618330 · 600 · 500

600 500

)*+, ,,*-.*

6.3.

Dla obliczonego parametr A

E

odczytano z tablic wartości elementów klotoid

jednostkowych i przeliczono je na wartości rzeczywiste

•

Ustalenie parametru wejściowego do tablic

/

ଵா

(

ா

ଵ

384,558608

600

0,640931

/

ଶா

(

ா

ଶ

384,558608

500

0,769117

•

Odczytanie z tablic Lipińskiego wartości elementów klotoidy jednostkowej nr 1E

(należy interpolować aby odczytać dokładne wartości) i obliczenie wartości

rzeczywistych

Schemat interpolacyjny 1:

l

τ

∆

x

∆

y

∆

x

s

∆

h

∆

r

∆

0,640000

931

11°44’03”

+2’03”

2’12”

0,637321

+911

979

0,043560

+190

204

0,319553

+463

497

0,010906

+47

51

1,562500

-2270

-2438

0,640931

11°46’06”

0,638232

0,043750

0,320016

0,010953

1,560230

2

·

12

·

·

3

·

ଶ

U

W

A

G

A

:

D

la

łu

k

ó

w

p

o

zi

o

m

y

ch

o

ró

w

n

y

ch

p

ro

m

ie

n

ia

ch

n

ie

o

b

li

cz

a

si

ę

ty

ch

d

an

y

ch

,

a

p

ar

am

et

r

A

o

b

li

cz

a

si

ę

b

ez

p

o

śr

ed

n

io

z

e

w

zo

ru

(

R

=

R

1

=

R

2

):

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 22 -

mgr inż. Marek Motylewicz

Tabela 6.1. Wartości klotoidy jednostkowej nr 1E i obliczenie wartości rzeczywistych

Wartości klotoidy

jednostkowej

Wartości rzeczywiste szukanej klotoidy

(wielkości

liniowe

x A

E

)

τ

1Ε

= 11º 46’ 06”

τ

1Ε

= 11,768333º

(przeliczone na wartość dziesiętną)

x

1E

= 0,638232

X

1E

= 245,437610 m

y

1E

= 0,043750

Y

1E

= 16,824439 m

x

s1E

= 0,320016

X

s1E

= 123,064907 m

h

1E

= 0,010953

H

1E

= 4,212070 m

r

1E

= 1,560230

R

1E

= 600,000000 m

l

1E

= 0,640931

L

1E

= 246,475533 m

(długość zaprojektowanej klotoidy)

•

Odczytanie z tablic Lipińskiego wartości elementów klotoidy jednostkowej nr 2E

(należy interpolować aby odczytać dokładne wartości) i obliczenie wartości

rzeczywistych

Schemat interpolacyjny 2:

l

τ

∆

x

∆

y

∆

x

s

∆

h

∆

r

∆

0,769000

117

16°56’28”

+0’19”

2’39”

0,762304

+112

957

0,075321

+34

291

0,383382

+58

493

0,018889

+9

74

1,300390

-198

-1689

0,769117

16°56’47”

0,762416

0,075355

0,383440

0,018898

1,300192

Tabela 6.2. Wartości klotoidy jednostkowej nr 2E i obliczenie wartości rzeczywistych

Wartości klotoidy

jednostkowej

Wartości rzeczywiste szukanej klotoidy

(wielkości

liniowe

x A

E

)

τ

2Ε

= 16º 56’ 74’’

τ

2Ε

= 16,946389º

(przeliczone na wartość dziesiętną)

x

2E

= 0,762416

X

2E

= 293,193636 m

y

2E

= 0,075355

Y

2E

= 28,978414 m

x

s2E

= 0,383440

X

s2E

= 147,455153 m

h

2E

= 0,018898

H

2E

= 7,267389 m

r

2E

= 1,300192

R

2E

= 500,000000 m

l

2E

= 0,769117

L

2E

= 295,770563 m

(długość zaprojektowanej klotoidy)

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 23 -

mgr inż. Marek Motylewicz

6.4.

Obliczenie kąta

δδδδ

i długości odcinka F

0

1

௦ଵ

1

௦ଶ

"

ଵ

2

ଵ

"

ଶ

2

ଶ

0

0,320016 0,383440

1,560230 0,010953 1,300192 0,018898 0,243387

0 !"#0,243387 13,67910448°

3 4

௦ଵ

· 0

௦ଵ

ଵ

5

ଵ

· 0

௦ଵ

3 600 4,212070 · 0,243387 123,064907 23,992456

UWAGA

: Dla łuków poziomych o równych promieniach F = 0.

6.5.

Wykreślenie krzywej esowej łączącej dwa łuki poziome o promieniach R

1

i R

2

6.5.1.

Odłożenie obliczonego kąta

δδδδ

od prostej łączącej środki okręgów R

1

i R

2

B

A

P K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

Ł K

S

K

P

1

a

C

S K

P

3

P K

P

3

K

Ł

K

2

/

P K

P

3

= δ

δ =

Rys. 19.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 24 -

mgr inż. Marek Motylewicz

6.5.2.

Odłożenie obliczonych wartości odcinków H

1E

oraz H

2E

na przedłużeniu prostych

powstałych po odłożeniu kąta

δδδδ

w miejscu przecięcia się tych prostych z łukami

Połączenie końców odcinków H

1E

oraz H

2E

daje nam styczną główną krzywej esowej

(jasnoniebieska linia).

K

Ł

K

2

/

PK

P

3

P K

P

3

S K

P

3

C

D

S

K

P

1 a

K

K

P

1

a

/ P

Ł

K

P

K

P

1

a

A

B

Rys. 20.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 25 -

mgr inż. Marek Motylewicz

6.5.3.

Odłożenie obliczonego odcinka F (wzdłuż stycznej) od punktu przecięcia prostej

łączącej okręgi R

1

i R

2

ze styczną główną w stronę okręgu o większym promieniu

Wyznaczony punkt jest początkiem układu współrzędnych (wyznacza oś Y)

B

A

P

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/ P

Ł

K

S

K

P

1

a

D

C

S K

P

3

P K

P

3

K

Ł

K

2

/

PK

P

3

Rys. 21.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 26 -

mgr inż. Marek Motylewicz

6.5.4.

Odłożenie od początku układu współrzędnych odcinków Xs

1E

i 0,5Hs

1E

; X

1E

i Y

1E

oraz Xs

2E

i 0,5Hs

2E

; X

2E

i Y

2E

Po tej czynności mamy już 5 punktów przez które przebiegać będzie krzywa esowa

(łącznie z początkiem układu współrzędnych – punkt przegięcia krzywej)

K

ŁK

2

/

PK

P

3

P K

P

3

S K

P

3

C

D

S

K

P

1 a

K

K

P

1

a

/ P

Ł

K

P

K

P

1

a

A

B

P

K

E

S

K

E

K

K

E

Rys. 22.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 27 -

mgr inż. Marek Motylewicz

6.5.5.

Aby dokładnie wykreślić krzywe odczytujemy z tablic punkty pośrednie

(zakładając krok wartości „l”) i tyczymy kolejne punkty obu klotoid 1E i 2E

metodą rzędnych i odciętych od początku układu współrzędnych

klotoida nr 1E, A

E

= 384,558608 m

l

x

y

L [m] = l · A

X [m] = x · A

Y [m] = y · A

0,050

0,050000

0,000021

19,227930

19,227930

0,008076

0,100

0,100000

0,000167

38,455861

38,455861

0,064221

0,150

0,149998

0,000562

57,683791

57,683022

0,216122

0,200

0,199992

0,001333

76,911722

76,908645

0,512617

0,250

0,249976

0,002604

96,139652

96,130423

1,001391

0,300

0,299939

0,004499

115,367582

115,344124

1,730129

-

-

-

-

123,064907 = Xs 2,106035 = 0,5H

0,350

0,349869

0,007144

134,595513

134,545136

2,747287

0,400

0,399744

0,010662

153,823443

153,724996

4,100164

0,450

0,449539

0,015176

173,051374

172,874092

5,836061

0,500

0,499219

0,020810

192,279304

191,978964

8,002665

0,550

0,548743

0,027684

211,507234

211,023844

10,646121

0,600

0,598059

0,035917

230,735165

229,988737

13,812192

0,640931

0,638232

0,043750

246,475533 = L

245,437610 = X

16,824439 = Y

klotoida nr 2E, A

E

= 384,558608 m

l

x

y

L [m] = l · A

X [m] = x · A

Y [m] = y · A

0,050

0,050000

0,000021

19,227930

19,227930

0,008076

0,100

0,100000

0,000167

38,455861

38,455861

0,064221

0,150

0,149998

0,000562

57,683791

57,683022

0,216122

0,200

0,199992

0,001333

76,911722

76,908645

0,512617

0,250

0,249976

0,002604

96,139652

96,130423

1,001391

0,300

0,299939

0,004499

115,367582

115,344124

1,730129

0,350

0,349869

0,007144

134,595513

134,545136

2,747287

-

-

-

-

147,455153 = Xs 3,633695 = 0,5H

0,400

0,399744

0,010662

153,823443

153,724996

4,100164

0,450

0,449539

0,015176

173,051374

172,874092

5,836061

0,500

0,499219

0,020810

192,279304

191,978964

8,002665

0,550

0,548743

0,027684

211,507234

211,023844

10,646121

0,600

0,598059

0,035917

230,735165

229,988737

13,812192

0,650

0,647105

0,045625

249,963095

248,849798

17,545486

0,700

0,695810

0,056922

269,191026

267,579725

21,889845

0,750

0,744089

0,069916

288,418956

286,145830

26,886800

0,769117

0,762416

0,075355

295,770563 = L

293,193636 = X

28,978414 = Y

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 28 -

mgr inż. Marek Motylewicz

S

K

E

K

K

E

P

K

E

X [m]

Y [m]

1.

19,227930

0,008076

2.

38,455861

0,064221

3.

57,683022

0,216122

4.

76,908645

0,512617

5.

96,130423

1,001391

6.

115,344124

1,730129

7.

134,545136

2,747287

8.

147,455153 = Xs

2E

3,633695 = 0,5H

2E

9.

153,724996

4,100164

10.

172,874092

5,836061

11.

191,978964

8,002665

12.

211,023844

10,646121

13.

229,988737

13,812192

14.

248,849798

17,545486

15.

267,579725

21,889845

16.

286,145830

26,886800

17.

293,193636 = X

2E

28,978414 = Y

2E

X [m]

Y [m]

1.

19,227930

0,008076

2.

38,455861

0,064221

3.

57,683022

0,216122

4.

76,908645

0,512617

5.

96,130423

1,001391

6.

115,344124

1,730129

7.

123,064907 = Xs

1E

2,106035 = 0,5H

1E

8.

134,545136

2,747287

9.

153,724996

4,100164

10.

172,874092

5,836061

11.

191,978964

8,002665

12.

211,023844

10,646121

13.

229,988737

13,812192

14.

245,437610 = X

1E

16,824439 = Y

1E

Rys. 23.

Po wpisaniu obu krzywych 1E i 2E otrzymujemy rozwiązanie zadania – wykreśloną krzywą

esową łączącą łuki poziome nr 1 i nr 2:

K Ł

K

2

/

P K

P

3

P K

P

3

SK

P

3

C

S

K

P

1

a

K

K

P

1

a

/

P

Ł K

P

K

P

1

a

A

B

K

Ł

K

1

/

P

K

E

K

K

E

/

P

Ł

K

2

S

K

E

Rys. 24.

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 29 -

mgr inż. Marek Motylewicz

7.

Obliczenie skrócenia trasy po wpisaniu krzywych przejściowych

= ϕ

ϕ =

τ

2Ε

=

= τ

1Ε

δ =

= δ

C

B

Rys. 25.

7.1.

Obliczenia długości łuku poziomego nr 1 po skróceniu

Nowy kąt zwrotu łuku poziomego nr1:

Kąt

ϕ

odczytano z rysunku (kąt pomiędzy prostą łączącą środki okręgów tworzących

łuki poziome nr 1 i nr 2 oraz pomiędzy pierwotnym położeniem promienia R

1

prostopadłego do odcinka |BC|) i wynosi on 15,2180°

38,24 7,1619 11,7683 13,6791 15,2180 20,8487°

Ł

,

180°

600 · · 20,8487°

180°

218,3271

7.2.

Obliczenie długości łuku poziomego nr 2 po skróceniu

Nowy kąt zwrotu łuku poziomego nr2:

Kąt

ϕ

odczytano z rysunku (kąt pomiędzy prostą łączącą środki okręgów tworzących

łuki poziome nr 1 i nr 2 oraz pomiędzy pierwotnym położeniem promienia R

2

prostopadłego do odcinka |BC|) i wynosi on 15,2180°

52,69 12,1036 16,9464 13,6791 15,2180 25,1789°

Ł

,

180°

500 · · 25,1789°

180°

219,7274

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 30 -

mgr inż. Marek Motylewicz

7.3.

Obliczenie skrócenia trasy

| | !

Ł

| "| !

!

Ł

|"#| !

௦௧௔௥௔

526,22 208,00 400,45 759,36 208,00 247,60 459,81 520,21 247,60

$

%&'(, )' *

| | !

Ł

,

Ł

,

|"#| !

௡௢௪௔

526,22 283,50 150,00 218,3271 542,2462 219,7274 211,25 520,21 353,20

$

%&'%, +) *

∆

1754,85 1751,28 -, '& *

8.

Zestawienie długości trasy

PPT

= 0,00 m

km 7+200,00

PKP

1a

= |AB| – T

01

= 526,22 – 283,50 = 242,72 m

km 7+442,72

SKP

1a

= PKP

1a

+ 0,5 · L

1

= 242,72 + 0,5 · 150,00 = 317,72 m

km 7+517,72

KKP

1a

/ PŁK

1

= PKP

1a

+ L

1

= 242,72 + 150,00 = 392,72 m

km 7+592,72

SŁK

1

= PŁK

1

+ 0,5 · Ł

1,nowy

= 392,72 + 0,5 · 218,3271 = 501,88 m

km 7+701,88

KŁK

1

/ PKE

= PŁK

1

+ Ł

1,nowy

= 392,72 + 218,3271 = 611,05 m

km 7+811,05

SKE

= PKE + L

1E

= 611,05 + 246,4755 = 857,53 m

km 8+057,53

KKE / PŁK

2

= PKE + L

E

= 611,05 + 542,2462 = 1153,30 m

km 8+353,30

SŁK

2

= PŁK

2

+ 0,5 · Ł

2,nowy

= 1153,30 + 0,5 · 219,7274 = 1263,16 m

km 8+463,16

KŁK

2

/ KKP

3

= PŁK

2

+ Ł

2,nowy

= 1153,30 + 219,7274 = 1373,03 m

km 8+573,03

SKP

3

= KKP

3

+ 0,5 · L

3

= 1373,03 + 0,5 · 211,25 = 1478,66 m

km 8+678,66

PKP

3

= KKP

3

+ L

3

= 1373,03 + 211,25 = 1584,28 m

km 8+784,28

KPT

= PKP

3

+ (|CD| – T

03

) = 1584,28 + (520,21 – 353,20) = 1751,28 m

km 8+951,28

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami,

łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej łączącej oba łuki

Politechnika Białostocka - ZID

- 31 -

mgr inż. Marek Motylewicz

9.

Wytyczenie hektometrów na osi trasy

S

Ł

K

1

S

Ł

K

2

P

K

P

1

a

K P

T

PK

P

3

S K

P

3

K

ŁK

2

/

P K

P

3

K

K

E

/

P

Ł

K

2

S

K

E

K

Ł

K

1

/

P

K

E

K

K

P

1

a

/

P

ŁK

S

K

P

1a

P

P

T

B

A

C

D

Rys. 26.