3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

1

3.



3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora

=

{



x

,



y

,



xy

}

(3.1)

Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:

Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń

Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt



zapisujemy:



x

,

=

x

cos

2



y

sin

2

2

xy

sin

 cos

(3.2)



y

,

=

x

sin

2



y

cos

2

−2

xy

sin

 cos

(3.3)



x ' y '

=−

x

−

y

sin  cos

xy

cos

2

−sin

2



(3.4)

lub krócej w postaci macierzowej

 '=T





(3.5)

gdzie wektory

 '

i



opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych

obróconych i wyjściowych.

Macierz transformacji zapisujemy w postaci:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater



y



x



xy



yx



y



x



xy



yx

x

y

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

2

T



=

[

c

2

s

2

2 sc

s

2

c

2

−2 sc

−sc sc c

2

−s

2

]

(3.6)

Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy

wówczas



x

,

=



x



y

2





x

−

y

2

cos

2

xy

sin

2

(3.7)



y

,

=



x



y

2

−



x

−

y

2

cos

2−

xy

sin

2

(3.8)



x ' y '

=−



x

−

y

2

sin

2

xy

cos

2

(3.9)

Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej

niezmiennikami, które zapiszemy następująco:



x



y

=

x '



y '

=const.

(3.10)



x



y

−

xy

2

=

x '



y '

−

x ' y '

2

=const.

(3.11)

Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć

ekstremum równania (3.7) względem kąta



. Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:

tg

2

gł

=

2



xy



x

−

y

(3.12)



I , II

=



x



y

2

±







x

−

y

2



2



xy

2

(3.13)

Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt

/4

w

stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:

'

MAX

=







x



y

2



2



xy

2

(3.14)

Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym

składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3

=

{



x



y



xy

}

(3.15)

Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v,

odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:



x

= ∂

u

∂ x



y

= ∂

v

∂ y



xy

= ∂

u

∂ y

 ∂

v

∂ x

(3.16)

Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:

Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego

W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco

=Lu

(3.17)

gdzie wektor

u

=[u , v]

T

, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu

dwuwymiarowego przyjmuje postać:

L

=

[

∂

∂ x

0

0

∂

∂ y

∂

∂ y

∂

∂ x

]

(3.18)

W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

x,u

y,v

∂ u
∂ y

∂ v
∂ x

∂u

∂ y

dy

v∂

v

∂ y

dy

u ∂

u

∂ x

dx

∂ v
∂ x

dx

u

v

dx

dy

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

4



z

=0



xz

=0



yz

=0

(3.19)

Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:



xz

=0



yz

=0

(3.20)

a wartość



z

≠0

Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco



x

=

1

E





x

−

y





y

=

1

E





y

−

x



(3.21)



xy

=

1

G



xy

=

2

1

E



xy



z

=−


E





x



y



(3.22)

lub w postaci relacji odwrotnej



x

=

E

1

−

2





x



y





y

=

E

1

−

2





y



x



(3.23)



xy

=

E

2

1



xy

=

E



1

−

2



xy

(3.24)

gdzie

=

1

−

2

Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci

=C 

(3.25)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

5

gdzie

C

=

1

E

[

1

−

0

−

1

0

0

0

2

1

]

(3.26)

lub odwrotnie

=D 

(3.27)

gdzie

D

=C

−1

=

E

1

−

2

[

1

 0

 1 0
0 0



]

(3.28)

W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:



z

=0



xz

=0



yz

=0



xz

=0



yz

=0

(3.29)

natomiast



z

≠0

(3.30)

Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco



x

=

1

E





x

−

y

−

z





y

=

1

E





y

−

x

−

z



(3.31)



xy

=

2

1

E



xy

(3.32)

oraz

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

6



z

=

1

E



−

x

−

y



z



=0

(3.33)

skąd



z

=





y



x



(3.34)

Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie



x

=

1



E

[

1−

x

−

y

]

(3.35)



y

=

1



E

[

1−

y

−

x

]

(3.36)



xy

=

2

1

E



xy

(3.37)

lub odwracając zależności:



x

=

E

11−2

[

1−

x

−

y

]

(3.38)



y

=

E

11−2

[

1−

y

−

x

]

(3.39)



xy

=

E

2

1



xy

(3.40)

W zapisie macierzowym zapiszemy:

C

=

1



E

[

1

− −

0

− 1− 0

0

0

2

]

(3.41)

oraz

D

=C

−1

=

E

11−2 

[

1

−



0



1

−

0

0

0

1

−2

2

]

(3.42)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater