1

PROBLEMY POMIAROWE

1.

KLASYCZNY PROBLEM POMIARU

Gdzie:
X(t) - sygnał wej

ś

cia

Y(t) - sygnał wyj

ś

cia

K - przetworzenie sygnału

W klasycznym pomiarze znane s

ą

K i Y(t)

Nie znamy X(t) ?

ZAKŁÓCENIA

X(t) ?

K

Y(t)

2

2. PROBLEM IDENTYFIKACJI NIEZNANEGO
OBIEKTU
(tzw. czarnej skrzynki)

Znane s

ą

sygnały wej

ś

cia i wyj

ś

cia X(t) i Y(t)

Nie znane jest przetworzenie sygnału K ?

ZAKŁÓCENIA

X(t)

K ?

Y(t)

3

PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE

DOKŁADNOŚCI POMIARÓW

•

Ź

ródła: Mi

ę

dzynarodowy Słownik Podstawowych i ogólnych terminów

Metrologii, GUM 1996 (VIM)

•

Polska Norma PN-71/N02050 - „Metrologia. Nazwy i okre

ś

lenia",

Pomiar

Czynno

ś

ci do

ś

wiadczalne - zbiór operacji

maj

ą

cych na celu wyznaczenie warto

ś

ci

wielko

ś

ci.

Cel nie jest w pełni osi

ą

galny, poniewa

ż

procesowi pomiarowemu

towarzysz

ą

zakłócenia o ró

ż

nym charakterze i w zwi

ą

zku z tym warto

ść

prawdziwa wielko

ś

ci mierzonej jest do ko

ń

ca nieznana.

Zespół czynno

ś

ci wykonywanych w celu

ustalenia

miary

okre

ś

lonej

wielko

ś

ci

za

pomoc

ą

iloczynu jednostki miary oraz liczby

okre

ś

laj

ą

cej warto

ść

tej wielko

ś

ci

Miar

ą

wielko

ś

ci jest warto

ść

wyra

ż

enia iloczynem liczby jednostek { } i

jednostki miary [ ].

A = {3,4} [m] = 3,4m

wielko

ść

warto

ść

jednostka miara wielko

ś

ci

W pomiarze bior

ą

udział dwa zbiory wielko

ś

ci:

1. Zbiór W – znane wielko

ś

ci elementy s

ą

uporz

ą

dkowane

wg

warto

ś

ci.

Zbiór

dyskretny.

4

2. Zbiór X wielko

ś

ci mierzonej x sko

ń

czony

lub niesko

ń

czony ale ograniczony

W

i+1

≥≥≥≥

X

≥≥≥≥

W

i

Nierówno

ść

równowa

ż

na pomiarowi

Sens fizyczny nierówno

ś

ci

W

i+1

- W

i

= 2

ε

i

ε

i

-

zale

ż

y od metody i przyrz

ą

du

Zało

ż

enie 2

ε

i

> 0 jest podstawowym

postulatem metrologii, a stwierdzenie

X >

W

i

X <

W

i+1

nazywa si

ę

wynikiem pomiaru.

2

ε

i

- próg czuło

ś

ci

X

x

W

W

i+1

W

i

W

1

W

2

5

Dokładność pomiaru

Stopie

ń

zgodno

ś

ci wyniku pomiaru z

warto

ś

ci

ą

rzeczywist

ą

(prawdziw

ą

)

wielko

ś

ci mierzonej

Dokładno

ść

pomiaru ma charakter jako

ś

ciowy, mo

ż

na

jej zatem przyporz

ą

dkowywa

ć

przymiotniki: du

ż

a, mała,

wysoka, itd.
Nie mo

ż

na jej wprost przyporz

ą

dkowywa

ć

liczby, jak to

cz

ę

sto czyni

ą

wytwórcy aparatury pomiarowej.

Wg PN niedokładno

ść

pomiaru to:

Niedokładno

ść

pomiaru – niedokładno

ść

.

wyra

ż

ona

przez

zespół

bł

ę

dów

granicznych, zawieraj

ą

ca wszystkie bł

ę

dy

systematyczne

oraz

graniczne

bł

ę

dy

przypadkowe.

O niedokładno

ś

ci lub dokładno

ś

ci pomiaru wnioskuje si

ę

na podstawie

niepewno

ś

ci pomiaru (obecnie)

lub bł

ę

dów granicznych

(dawniej).

6

Niepewność pomiaru

Według Przewodnika i VIM

Parametr zwi

ą

zany z wynikiem pomiaru, charakteryzuj

ą

cy rozrzuty

warto

ś

ci, które mo

ż

na w uzasadniony sposób przypisa

ć

wielk.

mierzonej.

Takim parametrem mo

ż

e by

ć

na przykład odchylenie standardowe (lub

jego wielokrotno

ść

) ...

Według ISO 10012-1:1992

Wynik oszacowania zastosowanego do

oznaczania zakresu, wewn

ą

trz którego

powinna si

ę

znajdowa

ć

prawdziwa warto

ść

wielko

ś

ci

mierzonej,

z

danym

prawdopodobie

ń

stwem.

Według PN

Rozrzut wyników pomiaru wyznaczony przez bł

ę

dy graniczne

7

Błąd pomiaru

Ró

ż

nica mi

ę

dzy wynikiem pomiaru a

warto

ś

ci

ą

prawdziw

ą

wielko

ś

ci mierzonej .

Bł

ą

d pomiaru byłby idealnym wska

ź

nikiem stopnia zgodno

ś

ci (czy

raczej niezgodno

ś

ci) wyniku pomiaru i warto

ś

ci prawdziwej, gdyby był w

pełni wyznaczalny.

Warto

ść

bł

ę

du jest niepoznawalna, nie jest bowiem znana warto

ść

prawdziwa wielko

ś

ci mierzonej.

∆∆∆∆

= X

s

– X

p

gdzie:
X

s

- wynik surowy,

X

p

- nieznana warto

ść

prawdziwa w. mierzonej.

Przy powtarzaniu pomiarów warto

ść

bł

ę

du b

ę

dzie si

ę

zmieniała, co

uwidoczni si

ę

w zmienno

ś

ci wyników X

s

: X

s1

, X

s2

, ...

Bł

ą

d

pomiaru

jest

wypadkow

ą

dwóch

składowych:

bł

ę

du systematycznego

∆

s

i bł

ę

du przypadkowego

∆

r

:

8

Błąd systematyczny

Ró

ż

nica mi

ę

dzy

ś

redni

ą

z niesko

ń

czonej liczby

wyników

pomiarów

tej

samej

wielko

ś

ci

mierzonej,

wykonanych

w

warunkach

powtarzalno

ś

ci,

a

warto

ś

ci

ą

prawdziw

ą

wielko

ś

ci mierzonej

∆∆∆∆

s

= X - X

p

Warunki powtarzalno

ś

ci obejmuj

ą

: t

ę

sam

ą

procedur

ę

pomiarow

ą

, tego

samego obserwatora, ten sam przyrz

ą

d pomiarowy, to samo miejsce

powtarzanie w krótkich odst

ę

pach czasu.

Błąd przypadkowy

Ró

ż

nica mi

ę

dzy wynikiem pomiaru a

ś

redni

ą

z

niesko

ń

czonej liczby wyników pomiarów tej

samej wielko

ś

ci mierzonej, wykonanych w

warunkach powtarzalno

ś

ci.

∆∆∆∆

r

= X

s

– X

9

Poprawka

Warto

ść

dodana algebraicznie do surowego

wyniku pomiaru w celu skompensowania bł

ę

du

systematycznego.

Uwagi:

1. Poprawka jest równa warto

ś

ci oszacowanego bł

ę

du

systematycznego ze znakiem przeciwnym.
2. Poniewa

ż

bł

ą

d systematyczny nie mo

ż

e by

ć

znany

dokładnie, kompensacja nie mo

ż

e by

ć

zupełna.

Błędy graniczne

pojedynczego pomiaru w danej serii

Bł

ę

dy kra

ń

cowe (dodatnie i ujemne), dla

których prawdopodobie

ń

stwo P,

ż

e b

ę

d

ą

wi

ę

ksze od bł

ę

du któregokolwiek pomiaru w

danej serii, ma tak

ą

warto

ść

, i

ż

ró

ż

nic

ę

1- P

mo

ż

na uwa

ż

a

ć

za znikom

ą

.

Błędy graniczne

średniej arytmetycznej z jednej serii

pomiarów

Bł

ę

dy kra

ń

cowe (dodatnie i ujemne), dla

których prawdopodobie

ń

stwo P,

ż

e b

ę

d

ą

one

wi

ę

ksze od bł

ę

du

ś

redniej arytmetycznej z

jednej serii pomiarów, ma tak

ą

warto

ść

, i

ż

ró

ż

nic

ę

(1- P) mo

ż

na uwa

ż

a

ć

za znikom

ą

.

10

ZNACZENIE NIEPEWNOŚCI DLA EFEKTYWNEGO

WYKORZYSTANIA WYNIKU POMIARU

Niepewno

ść

podawana w ko

ń

cowym (ostatecznym)

wyniku pomiaru nazywa si

ę

niepewno

ś

ci

ą

rozszerzon

ą

.

Według ISO 14253, niepewno

ść

rozszerzona, to: wielko

ść

okre

ś

laj

ą

ca przedział wokół wyniku pomiaru taki,

ż

e mo

ż

na

oczekiwa

ć

i

ż

obejmuje on du

żą

cz

ęść

rozkładu warto

ś

ci, które

mo

ż

na w uzasadniony sposób przypisa

ć

wielko

ś

ci mierzonej.

Do oznaczania ostatecznej niepewno

ś

ci pomiaru – tzw. niepewno

ś

ci

rozszerzonej, przyj

ę

to du

żą

liter

ę

U.

Graficzne przedstawienie niepewno

ś

ci pomiaru

Podczas pomiaru wielko

ś

ci X o warto

ś

ci x

m

otrzymano wynik x

np

.

Zgodnie z podstawowym postulatem metrologii mo

ż

na napisa

ć

,

ż

e

x

np

≠≠≠≠

x

m

Niezb

ę

dne jest zatem uzupełnienie wyniku x

np

parametrem

charakteryzuj

ą

cym przewidywany zakres zmienno

ś

ci wyników zwi

ą

zany

z ich przypadkowym charakterem.

Dopiero po okre

ś

leniu takiego parametru mo

ż

na, w wiarygodnej postaci,

przedstawi

ć

wynik pomiaru:

x

m

= x

np

±±±±

U lub x

m

∈

∈

∈

∈

[x

np

- U, x

np

+ U]

11

Tak zapisany wynik powinien by

ć

jeszcze

uzupełniony prawdopodobie

ń

stwem przypisanym

przedziałowi. Wtedy interpretacja wyniku pomiaru
jest nast

ę

puj

ą

ca:

[x

np

- U

≤≤≤≤

x

m

≤≤≤≤

x

np

+ U ] = 1-

αααα

gdzie

αααα

jest zazwyczaj mał

ą

warto

ś

ci

ą

,

αααα

< 0,05 i

okre

ś

la

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e

prawdziwa

warto

ść

wielko

ś

ci

mierzonej

le

ż

y

poza

wyznaczonym przedziałem.
Zdarzenie takie b

ę

dzie miało miejsce, je

ż

eli bł

ą

d

pomiaru

b

ę

dzie

wi

ę

kszy

od

wyznaczonej

niepewno

ś

ci pomiaru.

Relacja między błędem pomiaru i

niepewnością pomiaru.

Bł

ą

d pomiaru wg, jest zdefiniowany nast

ę

puj

ą

co:

Bł

ą

d pomiaru, to ró

ż

nica mi

ę

dzy wynikiem pomiaru a warto

ś

ci

ą

prawdziw

ą

wielko

ś

ci mierzonej .

Na rys. przedstawiono graficznie wyniki pomiarów warto

ś

ci x

m

przeprowadzonych w dwóch laboratoriach. Wyznaczone niepewno

ś

ci

pomiarów w obu laboratoriach nie ró

ż

niły si

ę

znacz

ą

co, przyj

ę

to wi

ę

c U

1

= U

2

.

12

Wyniki pomiarów warto

ś

ci x

m

w dwóch równorz

ę

dnych

laboratoriach

Oba wyniki s

ą

wiarygodne, poniewa

ż

warto

ść

prawdziwa

le

ż

y w wyznaczonych przedziałach

[x

np1

– U

1

, x

np2

– U

2

],

ale bł

ę

dy pomiaru

∆∆∆∆

x1

i

∆∆∆∆

x2

s

ą

ró

ż

ne co do warto

ś

ci i co

do znaku.

Niepewno

ść

okre

ś

la przewidywane granice zmienno

ś

ci

ostatecznych bł

ę

dów pomiarów.

Parametr wyznaczaj

ą

cy te granice był dot

ą

d nazywany bł

ę

dem

granicznym i oznaczany mał

ą

liter

ą

„e”

Ka

ż

dy poprawnie sformułowany wynik pomiaru powinien

zawiera

ć

niepewno

ść

pomiaru.

13

Wyrażanie niepewności pomiaru dla wybranych przyrządów pomiarowych

Niepewność pomiaru jest wynikiem błędów o charakterze losowym, które występują

w procesie pomiarowym. Ogólnie błędy pomiarów można podzielić zgodnie z poniższym

schematem:

B

Ł

Ę

D

Y

P

O

M

IA

R

Ó

W

Błąd przypadkowy

Zmienia się w sposób nieprzewidziany, zarówno, co do

wartości bezwzględnej, jak i co do znaku, przy

wykonywaniu dużej liczby pomiarów tej samej wartości w

warunkach praktycznie niezmiennych (w warunkach

powtarzalności).

Błąd systematyczny

Przy wielu pomiarach tej samej wartości pewnej wielkości,

wykonywanych w tych samych warunkach, pozostaje stały

zarówno, co do wartości bezwzględnej, jak i co do znaku

lub zmienia się według określonego prawa wraz ze zmianą

warunków.

Błąd nadmierny

Wynika z nieprawidłowego wykonania pomiaru, np.:

•

Z fałszywie odczytanego wskazania,

•

Z użycia uszkodzonego przyrządu,

•

Z niewłaściwego zastosowania przyrządu.

Na poniższym diagramie Ishikawy można zaobserwować sześć kategorii źródeł

błędów pomiarowych, związanych z różnymi elementami procesu pomiarowego:

1.

Nieścisłości w definicji wielkości mierzonej,

2.

Błędy instrumentalne,

3.

Błędy obserwacji,

4.

Błędy metody,

5.

Błędy środowiskowe,

6.

Błędy obliczeniowe.

Błędy w poszczególnych grupach mogą mieść charakter zarówno przypadkowy, jak i

systematyczny. Ich wypadkową jest błąd pomiaru, który może być rozpatrywany jako

zmienna losowa.

14

.

Błąd

pomiaru

Niepewność

pomiaru

Nieścisłość definicji
wielkości mierzonej

Błędy odczytania

(obserwacji)

Błędy tarciowe

Luzy w mechanizmach

Zmiany wymiarów i
innych właściwości
przyrządu w czasie
oraz pod wpływem
zewnętrznych
warunków otoczenia

Błędy montażowe

Błędy wzorcowania

Błędy wykonania

podziałki

Błędy nieliniowości

Rozdzielczość
optyczna

Zdolność rozróżniania

odległości

Paralaksa

Interpolacja

Błędy

metody

Błędy

ś

rodowiskowe

Błędy

metody

Metody przybliżone

Uproszczone
formuły

Oddziaływanie
przyrządu na wielkość
mierzoną

Zapylenie

Wilgotność

Ciśnienie

Temperatura

Promieniowanie

jonizujące

Drgania

Pola magnetyczne

i elektryczne

Zaokrąglenia

Błędy

instrumentalne

15

Podstawowe terminy i definicje

•

Wartość oczekiwana – wartość zgodna ze zdefiniowaną, jest nazywana często wartością

rzeczywista; jest to wartość, która może być uzyskana w wyniku doskonałego pomiaru;

•

Wartość oznaczana – wartość uzyskana w wyniku zastosowania danej procedury analitycznej;

wynik pomiaru to najczęściej średnia arytmetyczna z uzyskanych wartości oznaczanych;

•

Dokładność pomiaru – stopień zgodności pomiędzy wynikiem pojedynczego pomiaru a

wartością rzeczywista;

•

Poprawność pomiaru – stopień zgodności pomiędzy wynikiem analizy (średnią) a wartością

rzeczywista;

•

Precyzja pomiaru – zgodność pomiędzy uzyskiwanymi niezależnymi pomiarami;

•

Niepewność pomiaru (uncertainty) – parametr związany z wynikiem pomiaru, który

charakteryzuje rozrzut wartości, które można w sposób uzasadniony przypisać wielkości

mierzonej;

•

Standardowa niepewność pomiaru (standard uncertainty) - niepewność pomiaru

przedstawiona i obliczona jako odchylenie standardowe;

•

Złożona standardowa niepewność (combined standard uncertainty) – standardowa niepewność

wyniku y pomiaru, której wartość jest obliczona na podstawie niepewności parametrów

wpływających na wartość wyniku analizy z zastosowaniem prawa propagacji niepewności;

•

Rozszerzona niepewność (expanded uncertainty) – wielkość określająca przedział wokół

uzyskanego wyniku analizy, w którym można, na odpowiednim, przyjętym poziomie istotności

(prawdopodobieństwa) oczekiwać wystąpienia wartości rzeczywistej;

•

Współczynnik rozszerzenia (coverage factor) – wartość liczbowa użyta do wymnożenia

złożonej standardowej niepewności pomiaru w celu uzyskania rozszerzonej niepewności, wartość

współczynnika zależy od przyjętego poziomu prawdopodobieństwa (np.: dla 95 % wynosi 2) i

najczęściej jest wybierana z przedziału 2-3;

•

System zarządzania pomiarami – zbiór wzajemnie powiązanych lub wzajemnie oddziałujących

elementów niezbędnych do osiągnięcia potwierdzenia metrologicznego i ciągłego sterowania

procesami pomiarowymi.

•

Proces pomiarowy – zbiór operacji do określenia wartości wielkości.

•

Wyposażenie pomiarowe – przyrząd pomiarowy, oprogramowanie, wzorzec jednostki miary,

materiał odniesienia lub aparatura pomocnicza lub ich kombinacja, niezbędne do

przeprowadzenia procesu pomiarowego.

•

Właściwość metrologiczna - cecha wyróżniająca, która może wpływać na wynik pomiaru.

Przykładowe właściwości wyposażenia pomiarowego zawierają:

16

- zakres,

- czułość,

- dokładność,

- stabilność,

- histerezę,

- dryft,

- rozdzielczość,

- próg pobudliwości.

•

Potwierdzenie metrologiczne – zbiór operacji wymaganych do zapewnienia, że wyposażenie

pomiarowe jest zgodne z wymaganiami związanymi z jego zamierzonym użyciem.

o

UWAGA: Potwierdzenie metrologiczne obejmuje zwykle wzorcowanie i weryfikację,

wszelkie niezbędne adiustacje lub naprawy i późniejsze ponowne wzorcowanie, porównanie

z wymaganiami metrologicznymi związanymi z zamierzonym użyciem wyposażenia, jak też

wszelkie wymagane plombowanie i etykietowanie.[6]

•

Czułość - iloraz przyrostu odpowiedzi przyrządu pomiarowego przez odpowiadający mu

przyrost sygnału wejściowego.

•

Stabilność – zdolność przyrządu pomiarowego do utrzymywania stałych w czasie charakterystyk

metrologicznych.

•

Histereza pomiarowa – błąd odwracalności charakteryzujący się różnicą wskazań przyrządu

pomiarowego, gdy tę samą wartość wielkości mierzonej otrzymuje się raz przy zwiększaniu

wartości wielkości mierzonej, drugi raz – przy jej zmniejszaniu.

•

Dryft – powolna zmiana charakterystyki metrologicznej przyrządu pomiarowego.

•

Rozdzielczość – najmniejsza różnica wskazania urządzenia wskazującego, która może być

zauważona w wyraźny sposób .

•

Próg pobudliwości – największa zmiana sygnału wejściowego nie wywołująca wykrywalnej

zmiany odpowiedzi przyrządu pomiarowego, gdy zmiana sygnału wejściowego jest powolna i

monotoniczna Zakres wskazań – zbiór wartości ograniczony skrajnymi wskazaniami. W

przypadku wskazań analogowych zbiór ten może być nazywany zakresem podziałki.[1]

•

Funkcja metrologiczna – funkcja z odpowiedzialnością administracyjną i techniczną za

określenie i wdrożenie systemu zarządzania pomiarami.

•

Spójność pomiarowa – właściwość wyniku pomiaru lub wzorca jednostki miary polegająca na

tym, że można je powiązać z określonymi odniesieniami (na ogół z wzorcami państwowymi lub

międzynarodowymi jednostkami miary) za pomocą nieprzerwanego łańcucha porównań, z

których wszystkie charakteryzują się określoną niepewnością. [4]

17

Głownie kategorie składowych wyniku pomiaru

Podział metod pomiarowych. Opracowanie własne na podstawie

Nie zależnie od obranej metody pomiaru, wynik w ogólnej postaci składa się z wyniku

surowego, sumarycznej poprawki oraz niepewności pomiaru. Taką zależność formułuje się

następująco:

)

(

)

(

Y

U

P

Y

Y

s

±

∑

+

=

gdzie:

s

Y

- wynik surowy (przed korekcją błędów systematycznych),

∑

P

- poprawka sumaryczna, kompensująca wyznaczalne błędy systematyczne,

)

(Y

U

- niepewność (rozszerzona) pomiaru wielkości Y .

W przypadku pomiaru bezpośredniego, wynik surowy

s

Y

we wzorze może być wskazaniem

przyrządu. Dwa składniki (

s

Y i

∑

P

) są obciążone niepewnościami cząstkowymi

)

(

∑

P

U

i

)

(

s

Y

U

,

których wypadkową będzie niepewność pomiaru

)

(Y

U

. W konkretnym pomiarze, każdy z tych

składników traktuje się jako jeden wynik z serii możliwych do uzyskania. Zatem ogólnie wynik

surowy można zapisać w formie:

)

(

s

s

Y

U

Y

±

a poprawkę sumaryczną w postaci:

)

(

∑

±

∑

P

U

P

Metoda pomiarowa bezpośrednia

Metoda,

dzięki

której

wartość

mierzonej wielkości otrzymuje się
bezpośrednio,

bez

potrzeby

wykonywania dodatkowych obliczeń
opartych na zależności funkcyjnej
wielkości

mierzonej

od

innych

wielkości.

Metoda pomiarowa pośrednia

Metoda,

dzięki

której

wartość

mierzonej wielkości otrzymuje się
pośrednio z pomiarów bezpośrednich
innych

wielkości

związanych

odpowiednio z wielkością mierzoną.

METODY

POMIAROWE

18

Niepewność

)

(

s

Y

U

wynika z rozrzutu wskazań przyrządów, a

)

(

∑

P

U

jest skutkiem tego, że

błędy systematyczne są wyznaczane na podstawie ograniczonej serii i gdyby takie serie powtarzać

otrzymałoby się pewien rozrzut wartości poprawki sumarycznej. Zatem uzyskane w wyniku badań i

analiz, pojedyncze wartości są realizacjami zmiennych losowych ciągłych, których rozkłady są

przedstawione na rysunku.

Ilustracja graficzna złożenia dwóch niepewności

b)

rozkład wyników surowych

a)

rozkład poprawek sumarycznych

c)

rozkład wyników pomiarów

19

Obliczanie niepewności pomiaru dla suwmiarki cyfrowej

Do wyznaczenia niepewności pomiaru została użyta suwmiarka cyfrowa firmy Mitutoyo.

Zakres pomiarowy: 0÷150 mm,

Rozdzielczość: 0,01 mm,

Numer seryjny 950207,

Dokładność suwmiarki określona normą DIN 862:1988

Suwmiarka została sprawdzona w sześciu punktach pomiarowych, w każdym punkcie

pomiarowym zostało wykonane 10 pomiarów.

Punkty

pomiarow

e

↓

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1,02

1,02

1,01

1,01

1,02

1,01

1,02

1,03

1,02

1,02

1,01

1,48

1,47

1,48

1,48

1,47

1,48

1,47

1,47

1,48

1,48

1,47

24,5

24,50

24,49

24,49

24,49

24,49

24,48

24,49

24,49

24,50

24,50

75

75,00

75,01

75,01

75,00

75,00

74,99

75,00

75,01

75,01

75,00

100

100,00 100,00 100,01 100,01 100,00 100,01 100,00 100,01 100,00 100,01

150

150,00 150,00 150,00 150,01 150,01 149,99 149,99 150,01 150,01 150,00

Z otrzymanych wyników, dla każdego punktu pomiarowego, otrzymano następujące średnie

arytmetyczne:

Punkt pomiarowy

Średnia dla danego punktu pomiarowego

1,02

1,020

1,48

1,480

24,5

24,49

75

75,00

100

100,01

150

150,00

Równanie pomiaru

t

L

P

l

l

E

w

r

w

ip

s

∆

⋅

⋅

+

+

−

=

α

gdzie:

ip

l - wartość wskazana przez suwmiarkę dla punktu pomiarowego p,

w

l - długość użytej płytki wzorcowej,

w

L - długość nominalna płytki wzorcowej,

r

P - poprawka ze względu na rozdzielczość suwmiarki,

20

α

- współczynnik rozszerzalności suwmiarki o płytki wzorcowej,

t

∆

- różnica temperatur pomiędzy suwmiarką i płytką wzorcową.

Równanie niepewności pomiaru

Poniższe równanie uwzględnia składowe niepewności pochodzące od wyników

wpływających na błąd pomiaru.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

4

2

2

3

2

2

2

1

t

u

L

P

u

l

u

l

u

E

u

w

r

w

p

s

∆

+

⋅

+

+

+

=

α

Opis wielkości wejściowych

Niepewność wynikająca z błędu wskazania

ip

l - wartość wskazana przez suwmiarkę dla punktu pomiarowego p,

Pomiar został przeprowadzony 10 – krotnie w każdym punkcie pomiarowym. W celu

wyznaczenia składowej niepewności, należy wyznaczyć, na podstawie serii pomiarów, odchylenie

standardowe od wartości średniej według poniższego wzoru:

0075

,

0

)

1

(

]

)

(

[

1

1

2

=

−

−

=

∑ ∑

=

=

n

m

l

l

s

m

j

n

l

ix

ip

gdzie:

ip

l - wynik pojedynczego pomiaru,

jp

l

- wartość średnia z pomiarów w j-tym punkcie pomiarowym,

n

- liczba pomiarów w danym punkcie pomiarowym n=10,

m

- liczba punktów pomiarowych m=6.

Niepewność standardowa wyznaczona jest następująco:

m

n

s

l

u

p

µ

4

,

2

1000

)

(

=

⋅

=

Niepewność spowodowana błędem wzorca

Błędy długości środkowych płytek wzorcowych oraz niepewność ich wzorcowania podane są

w świadectwie wzorcowania płytek. Ponieważ badany przyrząd nie wymaga uwzględnienia

poprawek dla długości środkowych płytek, przyjęto wartości graniczne odczytane z tablicy normy

PN-EN ISO 3650.

Sprawdzenie zakresu płytki wzorcowej klasy „2” z zakresu 0÷150, gdzie odchyłka długości

ś

rodkowej wynosi:

m

l

s

µ

6

,

1

±

=

.

21

Przyjmując rozkład normalny wyznaczamy niepewność według wzoru:

m

l

l

u

s

w

µ

8

,

0

2

6

,

1

2

)

(

=

=

=

Niepewność wynikająca z rozdzielczości przyrządu

Stosując rozkład prostokątny, niepewność wnoszoną przez rozdzielczość opisuje wzór:

m

mm

d

P

u

r

µ

9

,

2

0029

,

0

3

005

,

0

3

2

)

(

≅

=

=

=

Niepewność standardowa spowodowana różnicą temperatur

Suwmiarka i wzorce przed wzorcowaniem są utrzymywane przez pewien czas w tej samej

temperaturze. Dochodzi wówczas do stabilizacji temperaturowej. Zakładając, że w pomieszczeniu

jest utrzymywana temperatura

C

C

o

o

1

20

±

, temperatura suwmiarki i wzorca będzie utrzymywana w

zakresie

,

1 C

o

±

stąd

.

1

0

C

t

±

=

∆

Przyjmując rozkład prostokątny:

C

C

t

u

o

o

577

,

0

3

1

)

(

=

=

∆

Rozszerzalność cieplna

Został przyjęty standardowy współczynnik rozszerzalności cieplnej dla stali, który wynosi

.

10

5

,

11

1

6

−

−

⋅

⋅

=

C

α

22

Budżet niepewności

Ogólny budżet niepewności pomiaru

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

Wartość ze

ś

redniej z

pomiarów

m

µ

4

,

2

Metoda A

1,0

m

µ

4

,

2

w

l

Długość

płytki

wzorcowej

m

µ

8

,

0

Rozkład normalny

-1,0

m

µ

8

,

0

−

t

∆

0

C

o

577

,

0

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

m

L

w

µ

⋅

⋅

−

3

10

0

,

7

r

P

0

m

µ

9

,

2

Rozkład prostokątny

1,0

m

µ

9

,

2

s

E

Różnica

pomiędzy

wymiarem

nominalnym

płytki a

wskazaniem

przyrządu

pomiarowego

Budżet niepewności pomiaru dla pierwszego punktu pomiarowego

B

UDśET

N

IEPEWNOŚCI

–

DZIAŁKA ELEMENTARNA

0,01

mm

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

1,02

2,4

Metoda

A

1,0

2,4

w

l

1,02

0,8

Rozkład normalny

-1,0

-0,8

t

∆

0

0,577

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

0,009

r

P

0

2,9

Rozkład prostokątny

1,0

2,9

s

E

0,00

3,81

23

Budżet niepewności pomiaru dla drugiego punktu pomiarowego

B

UDśET

N

IEPEWNOŚCI

–

DZIAŁKA ELEMENTARNA

0,01

mm

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

1,48

2,4

Metoda

A

1,0

2,4

w

l

1,48

0,8

Rozkład normalny

-1,0

-0,8

t

∆

0

0,577

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

0,010

r

P

0

2,9

Rozkład prostokątny

1,0

2,9

s

E

0,00

3,81

Budżet niepewności pomiaru dla trzeciego punktu pomiarowego

B

UDśET

N

IEPEWNOŚCI

–

DZIAŁKA ELEMENTARNA

0,01

mm

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

24,49

2,4

Metoda

A

1,0

2,4

w

l

24,5

0,8

Rozkład normalny

-1,0

-0,8

t

∆

0

0,577

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

0,163

r

P

0

2,9

Rozkład prostokątny

1,0

2,9

s

E

-0,01

3,82

24

Budżet niepewności pomiaru dla czwartego punktu pomiarowego

B

UDśET

N

IEPEWNOŚCI

–

DZIAŁKA ELEMENTARNA

0,01

mm

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

75,00

2,4

Metoda

A

1,0

2,4

w

l

75,00

0,8

Rozkład normalny

-1,0

-0,8

t

∆

0

0,577

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

0,498

r

P

0

2,9

Rozkład prostokątny

1,0

2,9

s

E

0,00

3,84

Budżet niepewności pomiaru dla piątego punktu pomiarowego

B

UDśET

N

IEPEWNOŚCI

–

DZIAŁKA ELEMENTARNA

0,01

mm

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

100,01

2,4

Metoda

A

1,0

2,4

w

l

100,00

0,8

Rozkład normalny

-1,0

-0,8

t

∆

0

0,577

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

0,664

r

P

0

2,9

Rozkład prostokątny

1,0

2,9

s

E

0,01

3,87

25

Budżet niepewności pomiaru dla szóstego punktu pomiarowego

B

UDśET

N

IEPEWNOŚCI

–

DZIAŁKA ELEMENTARNA

0,01

mm

S

YMBOL

WIELKOŚCI

E

STYMATA

WIELKOŚCI

W

ARTOŚĆ

NIEPEWNOŚCI

STANDARDOWEJ

R

OZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W

SPÓŁCZYNNIK

WRAśLIWOŚCI

U

DZIAŁ W

NIEPEWNOŚCI

ZŁOśONEJ

ip

l

150,00

2,4

Metoda

A

1,0

2,4

w

l

150,00

0,8

Rozkład normalny

-1,0

-0,8

t

∆

0

0,577

Rozkład prostokątny

1

6

10

5

,

11

−

−

⋅

⋅

⋅

C

L

w

0,996

r

P

0

2,9

Rozkład prostokątny

1,0

2,9

s

E

0,00

3,94

Niepewność rozszerzona

Na poziomie ufności

95

,

0

1

=

−

α

, niepewność rozszerzoną wyznacza się z następującego

wzoru:

)

(

)

(

s

s

E

u

k

E

U

⋅

±

=

gdzie: k - współczynnik rozszerzenia (

2

=

k

).

Z tego wynika, iż niepewności rozszerzone dla poszczególnych punktów pomiarowych

wynoszą:

Punkt pomiarowy

Niepewność rozszerzona

1,02

7,62

m

µ

1,48

7,62

m

µ

24,50

7,64

m

µ

75,00

7,68

m

µ

100,00

7,74

m

µ

150,00

7,88

m

µ

Na podstawie danych zawartych w powyższej tabeli otrzymuje się wykres niepewności. W

ś

wiadectwach wzorcowania podaje się niepewności albo dla każdego punktu pomiarowego, albo

jedną uogólnioną niepewność wyznaczoną na podstawie regresji liniowej tak jak zostało wyznaczone

na rysunku poniżej. Stąd niepewność uogólniona wynosi:

6025

,

7

0016

,

0

)

(

+

±

=

L

E

U

s

, czyli:

26

]

[

6

,

1

6

,

7

)

(

m

L

E

U

s

µ

⋅

+

±

=

gdzie:

L – wyrażona jest w metrach

]

[

m .

Wykres niepewności

y = 0,0016L + 7,6025

7,55

7,6

7,65

7,7

7,75

7,8

7,85

7,9

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

Punkt pomiarowy

N

ie

p

ew

n

o

ść

r

o

zs

ze

rz

o

n

a

Analiza wyników

Analiza wyników badania została oparta na piątym punkcie pomiarowym, ponieważ w

przypadku pozostałych punktów pomiarowych wyniki są analogiczne. Poniższy histogram

przedstawia graficzny udział składowych niepewności standardowych dla piątego punktu

pomiarowego. Z wykresu wynika, iż największy wpływ na wartość niepewności pomiaru dla

suwmiarki cyfrowej ma niepewność wynikająca z rozdzielczości przyrządu

)

(

r

P

u

oraz niepewność,

na którą ma wpływ błąd wskazania

)

(

p

l

u

. Pozostałe dwie niepewności standardowe (spowodowana

błędem wzorca

)

(

w

l

u

, spowodowana różnicą temperatur

)

( t

u

∆

) mają nieznaczny wpływ na

omawianą wielkość, ale pominięcie ich w analizie byłoby nieuzasadnione, ponieważ odpowiadałoby

przypadkowi, kiedy powtarzalność jest idealna.

27

Przedstawienie graficzne udziału składowych niepewności

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

u(lp)

u(lw)

u(

∆

t)

u(Pr)

Składowe niepewności

W

a

rt

o

śc

i

li

c

z

b

o

w

e

[

u

m

]

Zgodnie z przyjętą normą DIN 862:1988 dopuszczalne błędy graniczne dla suwmiarki w zakresie do
150 mm wynoszą E

g

= ± 30 µm.