1
PROBLEMY POMIAROWE
1.
KLASYCZNY PROBLEM POMIARU
Gdzie:
X(t) - sygnał wej
ś
cia
Y(t) - sygnał wyj
ś
cia
K - przetworzenie sygnału
W klasycznym pomiarze znane s
ą
K i Y(t)
Nie znamy X(t) ?
ZAKŁÓCENIA
X(t) ?
K
Y(t)
2
2. PROBLEM IDENTYFIKACJI NIEZNANEGO
OBIEKTU
(tzw. czarnej skrzynki)
Znane s
ą
sygnały wej
ś
cia i wyj
ś
cia X(t) i Y(t)
Nie znane jest przetworzenie sygnału K ?
ZAKŁÓCENIA
X(t)
K ?
Y(t)
3
PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE
DOKŁADNOŚCI POMIARÓW
•
Ź
ródła: Mi
ę
dzynarodowy Słownik Podstawowych i ogólnych terminów
Metrologii, GUM 1996 (VIM)
•
Polska Norma PN-71/N02050 - „Metrologia. Nazwy i okre
ś
lenia",
Pomiar
Czynno
ś
ci do
ś
wiadczalne - zbiór operacji
maj
ą
cych na celu wyznaczenie warto
ś
ci
wielko
ś
ci.
Cel nie jest w pełni osi
ą
galny, poniewa
Ŝ
procesowi pomiarowemu
towarzysz
ą
zakłócenia o ró
Ŝ
nym charakterze i w zwi
ą
zku z tym warto
ść
prawdziwa wielko
ś
ci mierzonej jest do ko
ń
ca nieznana.
Zespół czynno
ś
ci wykonywanych w celu
ustalenia
miary
okre
ś
lonej
wielko
ś
ci
za
pomoc
ą
iloczynu jednostki miary oraz liczby
okre
ś
laj
ą
cej warto
ść
tej wielko
ś
ci
Miar
ą
wielko
ś
ci jest warto
ść
wyra
Ŝ
enia iloczynem liczby jednostek { } i
jednostki miary [ ].
A = {3,4} [m] = 3,4m
wielko
ść
warto
ść
jednostka miara wielko
ś
ci
W pomiarze bior
ą
udział dwa zbiory wielko
ś
ci:
1. Zbiór W – znane wielko
ś
ci elementy s
ą
uporz
ą
dkowane
wg
warto
ś
ci.
Zbiór
dyskretny.
4
2. Zbiór X wielko
ś
ci mierzonej x sko
ń
czony
lub niesko
ń
czony ale ograniczony
W
i+1
≥≥≥≥
X
≥≥≥≥
W
i
Nierówno
ść
równowa
Ŝ
na pomiarowi
Sens fizyczny nierówno
ś
ci
W
i+1
- W
i
= 2
ε
i
ε
i
-
zale
Ŝ
y od metody i przyrz
ą
du
Zało
Ŝ
enie 2
ε
i
> 0 jest podstawowym
postulatem metrologii, a stwierdzenie
X >
W
i
X <
W
i+1
nazywa si
ę
wynikiem pomiaru.
2
ε
i
- próg czuło
ś
ci
X
x
W
W
i+1
W
i
W
1
W
2
5
Dokładność pomiaru
Stopie
ń
zgodno
ś
ci wyniku pomiaru z
warto
ś
ci
ą
rzeczywist
ą
(prawdziw
ą
)
wielko
ś
ci mierzonej
Dokładno
ść
pomiaru ma charakter jako
ś
ciowy, mo
Ŝ
na
jej zatem przyporz
ą
dkowywa
ć
przymiotniki: du
Ŝ
a, mała,
wysoka, itd.
Nie mo
Ŝ
na jej wprost przyporz
ą
dkowywa
ć
liczby, jak to
cz
ę
sto czyni
ą
wytwórcy aparatury pomiarowej.
Wg PN niedokładno
ść
pomiaru to:
Niedokładno
ść
pomiaru – niedokładno
ść
.
wyra
Ŝ
ona
przez
zespół
bł
ę
dów
granicznych, zawieraj
ą
ca wszystkie bł
ę
dy
systematyczne
oraz
graniczne
bł
ę
dy
przypadkowe.
O niedokładno
ś
ci lub dokładno
ś
ci pomiaru wnioskuje si
ę
na podstawie
niepewno
ś
ci pomiaru (obecnie)
lub bł
ę
dów granicznych
(dawniej).
6
Niepewność pomiaru
Według Przewodnika i VIM
Parametr zwi
ą
zany z wynikiem pomiaru, charakteryzuj
ą
cy rozrzuty
warto
ś
ci, które mo
Ŝ
na w uzasadniony sposób przypisa
ć
wielk.
mierzonej.
Takim parametrem mo
Ŝ
e by
ć
na przykład odchylenie standardowe (lub
jego wielokrotno
ść
) ...
Według ISO 10012-1:1992
Wynik oszacowania zastosowanego do
oznaczania zakresu, wewn
ą
trz którego
powinna si
ę
znajdowa
ć
prawdziwa warto
ść
wielko
ś
ci
mierzonej,
z
danym
prawdopodobie
ń
stwem.
Według PN
Rozrzut wyników pomiaru wyznaczony przez bł
ę
dy graniczne
7
Błąd pomiaru
Ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy wynikiem pomiaru a
warto
ś
ci
ą
prawdziw
ą
wielko
ś
ci mierzonej .
Bł
ą
d pomiaru byłby idealnym wska
ź
nikiem stopnia zgodno
ś
ci (czy
raczej niezgodno
ś
ci) wyniku pomiaru i warto
ś
ci prawdziwej, gdyby był w
pełni wyznaczalny.
Warto
ść
bł
ę
du jest niepoznawalna, nie jest bowiem znana warto
ść
prawdziwa wielko
ś
ci mierzonej.
∆∆∆∆
= X
s
– X
p
gdzie:
X
s
- wynik surowy,
X
p
- nieznana warto
ść
prawdziwa w. mierzonej.
Przy powtarzaniu pomiarów warto
ść
bł
ę
du b
ę
dzie si
ę
zmieniała, co
uwidoczni si
ę
w zmienno
ś
ci wyników X
s
: X
s1
, X
s2
, ...
Bł
ą
d
pomiaru
jest
wypadkow
ą
dwóch
składowych:
bł
ę
du systematycznego
∆
s
i bł
ę
du przypadkowego
∆
r
:
8
Błąd systematyczny
Ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy
ś
redni
ą
z niesko
ń
czonej liczby
wyników
pomiarów
tej
samej
wielko
ś
ci
mierzonej,
wykonanych
w
warunkach
powtarzalno
ś
ci,
a
warto
ś
ci
ą
prawdziw
ą
wielko
ś
ci mierzonej
∆∆∆∆
s
= X - X
p
Warunki powtarzalno
ś
ci obejmuj
ą
: t
ę
sam
ą
procedur
ę
pomiarow
ą
, tego
samego obserwatora, ten sam przyrz
ą
d pomiarowy, to samo miejsce
powtarzanie w krótkich odst
ę
pach czasu.
Błąd przypadkowy
Ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy wynikiem pomiaru a
ś
redni
ą
z
niesko
ń
czonej liczby wyników pomiarów tej
samej wielko
ś
ci mierzonej, wykonanych w
warunkach powtarzalno
ś
ci.
∆∆∆∆
r
= X
s
– X
9
Poprawka
Warto
ść
dodana algebraicznie do surowego
wyniku pomiaru w celu skompensowania bł
ę
du
systematycznego.
Uwagi:
1. Poprawka jest równa warto
ś
ci oszacowanego bł
ę
du
systematycznego ze znakiem przeciwnym.
2. Poniewa
Ŝ
bł
ą
d systematyczny nie mo
Ŝ
e by
ć
znany
dokładnie, kompensacja nie mo
Ŝ
e by
ć
zupełna.
Błędy graniczne
pojedynczego pomiaru w danej serii
Bł
ę
dy kra
ń
cowe (dodatnie i ujemne), dla
których prawdopodobie
ń
stwo P,
Ŝ
e b
ę
d
ą
wi
ę
ksze od bł
ę
du któregokolwiek pomiaru w
danej serii, ma tak
ą
warto
ść
, i
Ŝ
ró
Ŝ
nic
ę
1- P
mo
Ŝ
na uwa
Ŝ
a
ć
za znikom
ą
.
Błędy graniczne
średniej arytmetycznej z jednej serii
pomiarów
Bł
ę
dy kra
ń
cowe (dodatnie i ujemne), dla
których prawdopodobie
ń
stwo P,
Ŝ
e b
ę
d
ą
one
wi
ę
ksze od bł
ę
du
ś
redniej arytmetycznej z
jednej serii pomiarów, ma tak
ą
warto
ść
, i
Ŝ
ró
Ŝ
nic
ę
(1- P) mo
Ŝ
na uwa
Ŝ
a
ć
za znikom
ą
.
10
ZNACZENIE NIEPEWNOŚCI DLA EFEKTYWNEGO
WYKORZYSTANIA WYNIKU POMIARU
Niepewno
ść
podawana w ko
ń
cowym (ostatecznym)
wyniku pomiaru nazywa si
ę
niepewno
ś
ci
ą
rozszerzon
ą
.
Według ISO 14253, niepewno
ść
rozszerzona, to: wielko
ść
okre
ś
laj
ą
ca przedział wokół wyniku pomiaru taki,
Ŝ
e mo
Ŝ
na
oczekiwa
ć
i
Ŝ
obejmuje on du
Ŝą
cz
ęść
rozkładu warto
ś
ci, które
mo
Ŝ
na w uzasadniony sposób przypisa
ć
wielko
ś
ci mierzonej.
Do oznaczania ostatecznej niepewno
ś
ci pomiaru – tzw. niepewno
ś
ci
rozszerzonej, przyj
ę
to du
Ŝą
liter
ę
U.
Graficzne przedstawienie niepewno
ś
ci pomiaru
Podczas pomiaru wielko
ś
ci X o warto
ś
ci x
m
otrzymano wynik x
np
.
Zgodnie z podstawowym postulatem metrologii mo
Ŝ
na napisa
ć
,
Ŝ
e
x
np
≠≠≠≠
x
m
Niezb
ę
dne jest zatem uzupełnienie wyniku x
np
parametrem
charakteryzuj
ą
cym przewidywany zakres zmienno
ś
ci wyników zwi
ą
zany
z ich przypadkowym charakterem.
Dopiero po okre
ś
leniu takiego parametru mo
Ŝ
na, w wiarygodnej postaci,
przedstawi
ć
wynik pomiaru:
x
m
= x
np
±±±±
U lub x
m
∈
∈
∈
∈
[x
np
- U, x
np
+ U]
11
Tak zapisany wynik powinien by
ć
jeszcze
uzupełniony prawdopodobie
ń
stwem przypisanym
przedziałowi. Wtedy interpretacja wyniku pomiaru
jest nast
ę
puj
ą
ca:
[x
np
- U
≤≤≤≤
x
m
≤≤≤≤
x
np
+ U ] = 1-
αααα
gdzie
αααα
jest zazwyczaj mał
ą
warto
ś
ci
ą
,
αααα
< 0,05 i
okre
ś
la
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e
prawdziwa
warto
ść
wielko
ś
ci
mierzonej
le
Ŝ
y
poza
wyznaczonym przedziałem.
Zdarzenie takie b
ę
dzie miało miejsce, je
Ŝ
eli bł
ą
d
pomiaru
b
ę
dzie
wi
ę
kszy
od
wyznaczonej
niepewno
ś
ci pomiaru.
Relacja między błędem pomiaru i
niepewnością pomiaru.
Bł
ą
d pomiaru wg, jest zdefiniowany nast
ę
puj
ą
co:
Bł
ą
d pomiaru, to ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy wynikiem pomiaru a warto
ś
ci
ą
prawdziw
ą
wielko
ś
ci mierzonej .
Na rys. przedstawiono graficznie wyniki pomiarów warto
ś
ci x
m
przeprowadzonych w dwóch laboratoriach. Wyznaczone niepewno
ś
ci
pomiarów w obu laboratoriach nie ró
Ŝ
niły si
ę
znacz
ą
co, przyj
ę
to wi
ę
c U
1
= U
2
.
12
Wyniki pomiarów warto
ś
ci x
m
w dwóch równorz
ę
dnych
laboratoriach
Oba wyniki s
ą
wiarygodne, poniewa
Ŝ
warto
ść
prawdziwa
le
Ŝ
y w wyznaczonych przedziałach
[x
np1
– U
1
, x
np2
– U
2
],
ale bł
ę
dy pomiaru
∆∆∆∆
x1
i
∆∆∆∆
x2
s
ą
ró
Ŝ
ne co do warto
ś
ci i co
do znaku.
Niepewno
ść
okre
ś
la przewidywane granice zmienno
ś
ci
ostatecznych bł
ę
dów pomiarów.
Parametr wyznaczaj
ą
cy te granice był dot
ą
d nazywany bł
ę
dem
granicznym i oznaczany mał
ą
liter
ą
„e”
Ka
Ŝ
dy poprawnie sformułowany wynik pomiaru powinien
zawiera
ć
niepewno
ść
pomiaru.
13
WyraŜanie niepewności pomiaru dla wybranych przyrządów pomiarowych
Niepewność pomiaru jest wynikiem błędów o charakterze losowym, które występują
w procesie pomiarowym. Ogólnie błędy pomiarów moŜna podzielić zgodnie z poniŜszym
schematem:
B
Ł
Ę
D
Y
P
O
M
IA
R
Ó
W
Błąd przypadkowy
Zmienia się w sposób nieprzewidziany, zarówno, co do
wartości bezwzględnej, jak i co do znaku, przy
wykonywaniu duŜej liczby pomiarów tej samej wartości w
warunkach praktycznie niezmiennych (w warunkach
powtarzalności).
Błąd systematyczny
Przy wielu pomiarach tej samej wartości pewnej wielkości,
wykonywanych w tych samych warunkach, pozostaje stały
zarówno, co do wartości bezwzględnej, jak i co do znaku
lub zmienia się według określonego prawa wraz ze zmianą
warunków.
Błąd nadmierny
Wynika z nieprawidłowego wykonania pomiaru, np.:
•
Z fałszywie odczytanego wskazania,
•
Z uŜycia uszkodzonego przyrządu,
•
Z niewłaściwego zastosowania przyrządu.
Na poniŜszym diagramie Ishikawy moŜna zaobserwować sześć kategorii źródeł
błędów pomiarowych, związanych z róŜnymi elementami procesu pomiarowego:
1.
Nieścisłości w definicji wielkości mierzonej,
2.
Błędy instrumentalne,
3.
Błędy obserwacji,
4.
Błędy metody,
5.
Błędy środowiskowe,
6.
Błędy obliczeniowe.
Błędy w poszczególnych grupach mogą mieść charakter zarówno przypadkowy, jak i
systematyczny. Ich wypadkową jest błąd pomiaru, który moŜe być rozpatrywany jako
zmienna losowa.
14
.
Błąd
pomiaru
Niepewność
pomiaru
Nieścisłość definicji
wielkości mierzonej
Błędy odczytania
(obserwacji)
Błędy tarciowe
Luzy w mechanizmach
Zmiany wymiarów i
innych właściwości
przyrządu w czasie
oraz pod wpływem
zewnętrznych
warunków otoczenia
Błędy montaŜowe
Błędy wzorcowania
Błędy wykonania
podziałki
Błędy nieliniowości
Rozdzielczość
optyczna
Zdolność rozróŜniania
odległości
Paralaksa
Interpolacja
Błędy
metody
Błędy
ś
rodowiskowe
Błędy
metody
Metody przybliŜone
Uproszczone
formuły
Oddziaływanie
przyrządu na wielkość
mierzoną
Zapylenie
Wilgotność
Ciśnienie
Temperatura
Promieniowanie
jonizujące
Drgania
Pola magnetyczne
i elektryczne
Zaokrąglenia
Błędy
instrumentalne
15
Podstawowe terminy i definicje
•
Wartość oczekiwana – wartość zgodna ze zdefiniowaną, jest nazywana często wartością
rzeczywista; jest to wartość, która moŜe być uzyskana w wyniku doskonałego pomiaru;
•
Wartość oznaczana – wartość uzyskana w wyniku zastosowania danej procedury analitycznej;
wynik pomiaru to najczęściej średnia arytmetyczna z uzyskanych wartości oznaczanych;
•
Dokładność pomiaru – stopień zgodności pomiędzy wynikiem pojedynczego pomiaru a
wartością rzeczywista;
•
Poprawność pomiaru – stopień zgodności pomiędzy wynikiem analizy (średnią) a wartością
rzeczywista;
•
Precyzja pomiaru – zgodność pomiędzy uzyskiwanymi niezaleŜnymi pomiarami;
•
Niepewność pomiaru (uncertainty) – parametr związany z wynikiem pomiaru, który
charakteryzuje rozrzut wartości, które moŜna w sposób uzasadniony przypisać wielkości
mierzonej;
•
Standardowa niepewność pomiaru (standard uncertainty) - niepewność pomiaru
przedstawiona i obliczona jako odchylenie standardowe;
•
ZłoŜona standardowa niepewność (combined standard uncertainty) – standardowa niepewność
wyniku y pomiaru, której wartość jest obliczona na podstawie niepewności parametrów
wpływających na wartość wyniku analizy z zastosowaniem prawa propagacji niepewności;
•
Rozszerzona niepewność (expanded uncertainty) – wielkość określająca przedział wokół
uzyskanego wyniku analizy, w którym moŜna, na odpowiednim, przyjętym poziomie istotności
(prawdopodobieństwa) oczekiwać wystąpienia wartości rzeczywistej;
•
Współczynnik rozszerzenia (coverage factor) – wartość liczbowa uŜyta do wymnoŜenia
złoŜonej standardowej niepewności pomiaru w celu uzyskania rozszerzonej niepewności, wartość
współczynnika zaleŜy od przyjętego poziomu prawdopodobieństwa (np.: dla 95 % wynosi 2) i
najczęściej jest wybierana z przedziału 2-3;
•
System zarządzania pomiarami – zbiór wzajemnie powiązanych lub wzajemnie oddziałujących
elementów niezbędnych do osiągnięcia potwierdzenia metrologicznego i ciągłego sterowania
procesami pomiarowymi.
•
Proces pomiarowy – zbiór operacji do określenia wartości wielkości.
•
WyposaŜenie pomiarowe – przyrząd pomiarowy, oprogramowanie, wzorzec jednostki miary,
materiał odniesienia lub aparatura pomocnicza lub ich kombinacja, niezbędne do
przeprowadzenia procesu pomiarowego.
•
Właściwość metrologiczna - cecha wyróŜniająca, która moŜe wpływać na wynik pomiaru.
Przykładowe właściwości wyposaŜenia pomiarowego zawierają:
16
- zakres,
- czułość,
- dokładność,
- stabilność,
- histerezę,
- dryft,
- rozdzielczość,
- próg pobudliwości.
•
Potwierdzenie metrologiczne – zbiór operacji wymaganych do zapewnienia, Ŝe wyposaŜenie
pomiarowe jest zgodne z wymaganiami związanymi z jego zamierzonym uŜyciem.
o
UWAGA: Potwierdzenie metrologiczne obejmuje zwykle wzorcowanie i weryfikację,
wszelkie niezbędne adiustacje lub naprawy i późniejsze ponowne wzorcowanie, porównanie
z wymaganiami metrologicznymi związanymi z zamierzonym uŜyciem wyposaŜenia, jak teŜ
wszelkie wymagane plombowanie i etykietowanie.[6]
•
Czułość - iloraz przyrostu odpowiedzi przyrządu pomiarowego przez odpowiadający mu
przyrost sygnału wejściowego.
•
Stabilność – zdolność przyrządu pomiarowego do utrzymywania stałych w czasie charakterystyk
metrologicznych.
•
Histereza pomiarowa – błąd odwracalności charakteryzujący się róŜnicą wskazań przyrządu
pomiarowego, gdy tę samą wartość wielkości mierzonej otrzymuje się raz przy zwiększaniu
wartości wielkości mierzonej, drugi raz – przy jej zmniejszaniu.
•
Dryft – powolna zmiana charakterystyki metrologicznej przyrządu pomiarowego.
•
Rozdzielczość – najmniejsza róŜnica wskazania urządzenia wskazującego, która moŜe być
zauwaŜona w wyraźny sposób .
•
Próg pobudliwości – największa zmiana sygnału wejściowego nie wywołująca wykrywalnej
zmiany odpowiedzi przyrządu pomiarowego, gdy zmiana sygnału wejściowego jest powolna i
monotoniczna Zakres wskazań – zbiór wartości ograniczony skrajnymi wskazaniami. W
przypadku wskazań analogowych zbiór ten moŜe być nazywany zakresem podziałki.[1]
•
Funkcja metrologiczna – funkcja z odpowiedzialnością administracyjną i techniczną za
określenie i wdroŜenie systemu zarządzania pomiarami.
•
Spójność pomiarowa – właściwość wyniku pomiaru lub wzorca jednostki miary polegająca na
tym, Ŝe moŜna je powiązać z określonymi odniesieniami (na ogół z wzorcami państwowymi lub
międzynarodowymi jednostkami miary) za pomocą nieprzerwanego łańcucha porównań, z
których wszystkie charakteryzują się określoną niepewnością. [4]
17
Głownie kategorie składowych wyniku pomiaru
Podział metod pomiarowych. Opracowanie własne na podstawie
Nie zaleŜnie od obranej metody pomiaru, wynik w ogólnej postaci składa się z wyniku
surowego, sumarycznej poprawki oraz niepewności pomiaru. Taką zaleŜność formułuje się
następująco:
)
(
)
(
Y
U
P
Y
Y
s
±
∑
+
=
gdzie:
s
Y
- wynik surowy (przed korekcją błędów systematycznych),
∑
P
- poprawka sumaryczna, kompensująca wyznaczalne błędy systematyczne,
)
(Y
U
- niepewność (rozszerzona) pomiaru wielkości Y .
W przypadku pomiaru bezpośredniego, wynik surowy
s
Y
we wzorze moŜe być wskazaniem
przyrządu. Dwa składniki (
s
Y i
∑
P
) są obciąŜone niepewnościami cząstkowymi
)
(
∑
P
U
i
)
(
s
Y
U
,
których wypadkową będzie niepewność pomiaru
)
(Y
U
. W konkretnym pomiarze, kaŜdy z tych
składników traktuje się jako jeden wynik z serii moŜliwych do uzyskania. Zatem ogólnie wynik
surowy moŜna zapisać w formie:
)
(
s
s
Y
U
Y
±
a poprawkę sumaryczną w postaci:
)
(
∑
±
∑
P
U
P
Metoda pomiarowa bezpośrednia
Metoda,
dzięki
której
wartość
mierzonej wielkości otrzymuje się
bezpośrednio,
bez
potrzeby
wykonywania dodatkowych obliczeń
opartych na zaleŜności funkcyjnej
wielkości
mierzonej
od
innych
wielkości.
Metoda pomiarowa pośrednia
Metoda,
dzięki
której
wartość
mierzonej wielkości otrzymuje się
pośrednio z pomiarów bezpośrednich
innych
wielkości
związanych
odpowiednio z wielkością mierzoną.
METODY
POMIAROWE
18
Niepewność
)
(
s
Y
U
wynika z rozrzutu wskazań przyrządów, a
)
(
∑
P
U
jest skutkiem tego, Ŝe
błędy systematyczne są wyznaczane na podstawie ograniczonej serii i gdyby takie serie powtarzać
otrzymałoby się pewien rozrzut wartości poprawki sumarycznej. Zatem uzyskane w wyniku badań i
analiz, pojedyncze wartości są realizacjami zmiennych losowych ciągłych, których rozkłady są
przedstawione na rysunku.
Ilustracja graficzna złoŜenia dwóch niepewności
b)
rozkład wyników surowych
a)
rozkład poprawek sumarycznych
c)
rozkład wyników pomiarów
19
Obliczanie niepewności pomiaru dla suwmiarki cyfrowej
Do wyznaczenia niepewności pomiaru została uŜyta suwmiarka cyfrowa firmy Mitutoyo.
Zakres pomiarowy: 0÷150 mm,
Rozdzielczość: 0,01 mm,
Numer seryjny 950207,
Dokładność suwmiarki określona normą DIN 862:1988
Suwmiarka została sprawdzona w sześciu punktach pomiarowych, w kaŜdym punkcie
pomiarowym zostało wykonane 10 pomiarów.
Punkty
pomiarow
e
↓
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,02
1,02
1,01
1,01
1,02
1,01
1,02
1,03
1,02
1,02
1,01
1,48
1,47
1,48
1,48
1,47
1,48
1,47
1,47
1,48
1,48
1,47
24,5
24,50
24,49
24,49
24,49
24,49
24,48
24,49
24,49
24,50
24,50
75
75,00
75,01
75,01
75,00
75,00
74,99
75,00
75,01
75,01
75,00
100
100,00 100,00 100,01 100,01 100,00 100,01 100,00 100,01 100,00 100,01
150
150,00 150,00 150,00 150,01 150,01 149,99 149,99 150,01 150,01 150,00
Z otrzymanych wyników, dla kaŜdego punktu pomiarowego, otrzymano następujące średnie
arytmetyczne:
Punkt pomiarowy
Średnia dla danego punktu pomiarowego
1,02
1,020
1,48
1,480
24,5
24,49
75
75,00
100
100,01
150
150,00
Równanie pomiaru
t
L
P
l
l
E
w
r
w
ip
s
∆
⋅
⋅
+
+
−
=
α
gdzie:
ip
l - wartość wskazana przez suwmiarkę dla punktu pomiarowego p,
w
l - długość uŜytej płytki wzorcowej,
w
L - długość nominalna płytki wzorcowej,
r
P - poprawka ze względu na rozdzielczość suwmiarki,
20
α
- współczynnik rozszerzalności suwmiarki o płytki wzorcowej,
t
∆
- róŜnica temperatur pomiędzy suwmiarką i płytką wzorcową.
Równanie niepewności pomiaru
PoniŜsze równanie uwzględnia składowe niepewności pochodzące od wyników
wpływających na błąd pomiaru.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
4
2
2
3
2
2
2
1
t
u
L
P
u
l
u
l
u
E
u
w
r
w
p
s
∆
+
⋅
+
+
+
=
α
Opis wielkości wejściowych
Niepewność wynikająca z błędu wskazania
ip
l - wartość wskazana przez suwmiarkę dla punktu pomiarowego p,
Pomiar został przeprowadzony 10 – krotnie w kaŜdym punkcie pomiarowym. W celu
wyznaczenia składowej niepewności, naleŜy wyznaczyć, na podstawie serii pomiarów, odchylenie
standardowe od wartości średniej według poniŜszego wzoru:
0075
,
0
)
1
(
]
)
(
[
1
1
2
=
−
−
=
∑ ∑
=
=
n
m
l
l
s
m
j
n
l
ix
ip
gdzie:
ip
l - wynik pojedynczego pomiaru,
jp
l
- wartość średnia z pomiarów w j-tym punkcie pomiarowym,
n
- liczba pomiarów w danym punkcie pomiarowym n=10,
m
- liczba punktów pomiarowych m=6.
Niepewność standardowa wyznaczona jest następująco:
m
n
s
l
u
p
µ
4
,
2
1000
)
(
=
⋅
=
Niepewność spowodowana błędem wzorca
Błędy długości środkowych płytek wzorcowych oraz niepewność ich wzorcowania podane są
w świadectwie wzorcowania płytek. PoniewaŜ badany przyrząd nie wymaga uwzględnienia
poprawek dla długości środkowych płytek, przyjęto wartości graniczne odczytane z tablicy normy
PN-EN ISO 3650.
Sprawdzenie zakresu płytki wzorcowej klasy „2” z zakresu 0÷150, gdzie odchyłka długości
ś
rodkowej wynosi:
m
l
s
µ
6
,
1
±
=
.
21
Przyjmując rozkład normalny wyznaczamy niepewność według wzoru:
m
l
l
u
s
w
µ
8
,
0
2
6
,
1
2
)
(
=
=
=
Niepewność wynikająca z rozdzielczości przyrządu
Stosując rozkład prostokątny, niepewność wnoszoną przez rozdzielczość opisuje wzór:
m
mm
d
P
u
r
µ
9
,
2
0029
,
0
3
005
,
0
3
2
)
(
≅
=
=
=
Niepewność standardowa spowodowana róŜnicą temperatur
Suwmiarka i wzorce przed wzorcowaniem są utrzymywane przez pewien czas w tej samej
temperaturze. Dochodzi wówczas do stabilizacji temperaturowej. Zakładając, Ŝe w pomieszczeniu
jest utrzymywana temperatura
C
C
o
o
1
20
±
, temperatura suwmiarki i wzorca będzie utrzymywana w
zakresie
,
1 C
o
±
stąd
.
1
0
C
t
±
=
∆
Przyjmując rozkład prostokątny:
C
C
t
u
o
o
577
,
0
3
1
)
(
=
=
∆
Rozszerzalność cieplna
Został przyjęty standardowy współczynnik rozszerzalności cieplnej dla stali, który wynosi
.
10
5
,
11
1
6
−
−
⋅
⋅
=
C
α
22
BudŜet niepewności
Ogólny budŜet niepewności pomiaru
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
Wartość ze
ś
redniej z
pomiarów
m
µ
4
,
2
Metoda A
1,0
m
µ
4
,
2
w
l
Długość
płytki
wzorcowej
m
µ
8
,
0
Rozkład normalny
-1,0
m
µ
8
,
0
−
t
∆
0
C
o
577
,
0
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
m
L
w
µ
⋅
⋅
−
3
10
0
,
7
r
P
0
m
µ
9
,
2
Rozkład prostokątny
1,0
m
µ
9
,
2
s
E
RóŜnica
pomiędzy
wymiarem
nominalnym
płytki a
wskazaniem
przyrządu
pomiarowego
BudŜet niepewności pomiaru dla pierwszego punktu pomiarowego
B
UDśET
N
IEPEWNOŚCI
–
DZIAŁKA ELEMENTARNA
0,01
mm
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
1,02
2,4
Metoda
A
1,0
2,4
w
l
1,02
0,8
Rozkład normalny
-1,0
-0,8
t
∆
0
0,577
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
0,009
r
P
0
2,9
Rozkład prostokątny
1,0
2,9
s
E
0,00
3,81
23
BudŜet niepewności pomiaru dla drugiego punktu pomiarowego
B
UDśET
N
IEPEWNOŚCI
–
DZIAŁKA ELEMENTARNA
0,01
mm
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
1,48
2,4
Metoda
A
1,0
2,4
w
l
1,48
0,8
Rozkład normalny
-1,0
-0,8
t
∆
0
0,577
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
0,010
r
P
0
2,9
Rozkład prostokątny
1,0
2,9
s
E
0,00
3,81
BudŜet niepewności pomiaru dla trzeciego punktu pomiarowego
B
UDśET
N
IEPEWNOŚCI
–
DZIAŁKA ELEMENTARNA
0,01
mm
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
24,49
2,4
Metoda
A
1,0
2,4
w
l
24,5
0,8
Rozkład normalny
-1,0
-0,8
t
∆
0
0,577
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
0,163
r
P
0
2,9
Rozkład prostokątny
1,0
2,9
s
E
-0,01
3,82
24
BudŜet niepewności pomiaru dla czwartego punktu pomiarowego
B
UDśET
N
IEPEWNOŚCI
–
DZIAŁKA ELEMENTARNA
0,01
mm
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
75,00
2,4
Metoda
A
1,0
2,4
w
l
75,00
0,8
Rozkład normalny
-1,0
-0,8
t
∆
0
0,577
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
0,498
r
P
0
2,9
Rozkład prostokątny
1,0
2,9
s
E
0,00
3,84
BudŜet niepewności pomiaru dla piątego punktu pomiarowego
B
UDśET
N
IEPEWNOŚCI
–
DZIAŁKA ELEMENTARNA
0,01
mm
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
100,01
2,4
Metoda
A
1,0
2,4
w
l
100,00
0,8
Rozkład normalny
-1,0
-0,8
t
∆
0
0,577
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
0,664
r
P
0
2,9
Rozkład prostokątny
1,0
2,9
s
E
0,01
3,87
25
BudŜet niepewności pomiaru dla szóstego punktu pomiarowego
B
UDśET
N
IEPEWNOŚCI
–
DZIAŁKA ELEMENTARNA
0,01
mm
S
YMBOL
WIELKOŚCI
E
STYMATA
WIELKOŚCI
W
ARTOŚĆ
NIEPEWNOŚCI
STANDARDOWEJ
R
OZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
W
SPÓŁCZYNNIK
WRAśLIWOŚCI
U
DZIAŁ W
NIEPEWNOŚCI
ZŁOśONEJ
ip
l
150,00
2,4
Metoda
A
1,0
2,4
w
l
150,00
0,8
Rozkład normalny
-1,0
-0,8
t
∆
0
0,577
Rozkład prostokątny
1
6
10
5
,
11
−
−
⋅
⋅
⋅
C
L
w
0,996
r
P
0
2,9
Rozkład prostokątny
1,0
2,9
s
E
0,00
3,94
Niepewność rozszerzona
Na poziomie ufności
95
,
0
1
=
−
α
, niepewność rozszerzoną wyznacza się z następującego
wzoru:
)
(
)
(
s
s
E
u
k
E
U
⋅
±
=
gdzie: k - współczynnik rozszerzenia (
2
=
k
).
Z tego wynika, iŜ niepewności rozszerzone dla poszczególnych punktów pomiarowych
wynoszą:
Punkt pomiarowy
Niepewność rozszerzona
1,02
7,62
m
µ
1,48
7,62
m
µ
24,50
7,64
m
µ
75,00
7,68
m
µ
100,00
7,74
m
µ
150,00
7,88
m
µ
Na podstawie danych zawartych w powyŜszej tabeli otrzymuje się wykres niepewności. W
ś
wiadectwach wzorcowania podaje się niepewności albo dla kaŜdego punktu pomiarowego, albo
jedną uogólnioną niepewność wyznaczoną na podstawie regresji liniowej tak jak zostało wyznaczone
na rysunku poniŜej. Stąd niepewność uogólniona wynosi:
6025
,
7
0016
,
0
)
(
+
±
=
L
E
U
s
, czyli:
26
]
[
6
,
1
6
,
7
)
(
m
L
E
U
s
µ
⋅
+
±
=
gdzie:
L – wyraŜona jest w metrach
]
[
m .
Wykres niepewności
y = 0,0016L + 7,6025
7,55
7,6
7,65
7,7
7,75
7,8
7,85
7,9
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
Punkt pomiarowy
N
ie
p
ew
n
o
ść
r
o
zs
ze
rz
o
n
a
Analiza wyników
Analiza wyników badania została oparta na piątym punkcie pomiarowym, poniewaŜ w
przypadku pozostałych punktów pomiarowych wyniki są analogiczne. PoniŜszy histogram
przedstawia graficzny udział składowych niepewności standardowych dla piątego punktu
pomiarowego. Z wykresu wynika, iŜ największy wpływ na wartość niepewności pomiaru dla
suwmiarki cyfrowej ma niepewność wynikająca z rozdzielczości przyrządu
)
(
r
P
u
oraz niepewność,
na którą ma wpływ błąd wskazania
)
(
p
l
u
. Pozostałe dwie niepewności standardowe (spowodowana
błędem wzorca
)
(
w
l
u
, spowodowana róŜnicą temperatur
)
( t
u
∆
) mają nieznaczny wpływ na
omawianą wielkość, ale pominięcie ich w analizie byłoby nieuzasadnione, poniewaŜ odpowiadałoby
przypadkowi, kiedy powtarzalność jest idealna.
27
Przedstawienie graficzne udziału składowych niepewności
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
u(lp)
u(lw)
u(
∆
t)
u(Pr)
Składowe niepewności
W
a
rt
o
śc
i
li
c
z
b
o
w
e
[
u
m
]
Zgodnie z przyjętą normą DIN 862:1988 dopuszczalne błędy graniczne dla suwmiarki w zakresie do
150 mm wynoszą E
g
= ± 30 µm.